Dokumen ini membahas tentang cara menyusun persamaan lingkaran dan garis singgungnya. Diberikan berbagai contoh serta rumus untuk menghitung persamaan lingkaran dengan pusat tertentu dan jari-jari yang ditentukan. Selain itu, dijelaskan juga tentang metode untuk menentukan persamaan garis singgung baik dari titik di dalam lingkaran maupun dari titik di luar lingkaran.

1. Oleh : ALFIN HIDAYATUR RAHMIKA PERSAMAAN LINGKARAN PMT 4A UIN SUSKA

2. STANDAR KOMPETENSI Kemampuan Menyusun Persamaan Lingkaran dan Garis Singgungnya

3. Kompetensi Dasar Peserta didik mampu menyusun persamaan lingkaran yang memenuhi persyaratan yang ditentukan Menentukan Persamaan garis Singgung pada Lingkaran dengan Berbagai situasi

4. ada apa dengan lingkaran ? Lingkaran adalah tempat kedudukan titik yang berjarak sama terhadap titik tertentu Titik tertentu biasa disebut pusat lingkaran Jarak titik terhadap titik tertentu disebut jari-jari . .

5. PERSAMAAN LINGKARAN Lingkaran dengan pusat (0,0) 3. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran 2. Lingkaran dengan pusat (a,b)

6. Persamaan Lingkaran dengan pusat (0,0) T(x,y) o r x 2 + y 2 = r 2 Persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan Jari-jari r adalah Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari-jari 5 satuan contoh Jawab : Persamaannya adalah X 2 +Y 2 = 25

7. Perhatikan beberapa Contoh lain berikut ini 1. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan melalui titik (6,5) Jawab pusat (0,0) dan melalui titik (6,5) maka r 2 = 6 2 + 5 2 = 61 sehingga persamaanya x 2 + y 2 = 61 Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan menyinggung garis 4x – 3y = 25 2 Jawab r p r = jarak pusat ke p = jarak pusat ke garis 4(0) – 3(0) -25) 4 2 + 3 2 = = 5 Jadi persamaannya adalah x 2 + y 2 = 25

8. Kedudukan titik (x 1 , y 1 ) terhadap Lingkaran x 2 +y 2 = r 2 Tempat Kedudukan titik p(x 1 ,y 1 ) terhadap lingkaran x 2 + y 2 = r 2 diperlihatkan gambar di bawah ini p (x 1 ,y 1 ) . . . p(x 1 ,y 1 ) p(x 1 ,y 1 ) . . . Titik p di dalam lingkaran jika x 1 2 + y 1 2 <r 2 Titik p pada lingkaran jika x 1 2 + y 1 2 =r 2 Titik p di luar lingkaran jika x 1 2 + y 1 2 <r 2

9. Persamaan Lingkaran dengan pusat (a,b) Persamaan lingkaran dengan pusat (a,b) dan Jari-jari r adalah (x-a) 2 +(y-b) 2 = r 2 r a b contoh Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (2,4) dan melalui titik (5,8) jawab lingkaran dengan pusat (2,4) dan melalui titik (5,8) berarti r merupakan jarak antara (2,4) dengan (5,8) r 2 = (2-5) 2 +(4-8) 2 =-3 2 + 4 2 = 25 Sehingga persamaanya Sehingga persamaanya (x-2) 2 + (y-4) 2 = 25

10. Bentuk umum persamaan lingkaran Bentuk umum persamaan lingkaran adalah x 2 + y 2 + Ax +By +C = 0 Dengan pusat (- 1 / 2 A, - 1 / 2 B) dan jari jari r = ¼ A 2 + ¼ B 2 - C contoh Diketahui persamaan lingkaran x 2 + y 2 -6x +2y + 1 = , tentukan pusat dan jari-jari lingkaran tersebut Jawab Pusat (-1/2(-6), -1/2(2))= (3,1) r = 3

11. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA LINGKARAN 1. Garis Singgung Melalui suatu Titik pada Lingkaran 3. Garis Singgung suatu Lingkaran dengan Gradien m 2. Garis Singgung suatu Titik di luar Lingkaran

12. Garis Singgung Melalui suatu Titik pada Lingkaran a). Pada Lingkaran x 2 + y 2 = r 2 b). Pada Lingkaran (x-a) 2 +(y-b) 2 = r 2 c). Pada Lingkaran x 2 + y 2 + Ax +By +C = 0

13. Persamaan Garis Singgung Melalui titik pada Lingkaran Persamaan garis singgung melalui (x 1 , y 1 ) pada lingkaran x 2 + y 2 = r 2 x 1 x + y 1 y = r 2 0 x y Jika persamaan lingkaran x 2 + y 2 = r 2 dan titik singgungnya (x 1 , y 1 ) maka persamaan garis singgungnya adalah Contoh Carilah persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 = 25 melalui titik (3,4) Jawab lingkaran x 2 + y 2 = 25 dengan titik singgung (3,4) persamaan garis singgungnya adalah x 1 x + y 1 y = 25 ↔  3x + 4y = 25

14. Persamaan Garis Singgung Melalui titik pada Lingkaran Persamaan garis singgung melalui (x 1 , y 1 ) pada lingkaran (x-a) 2 +(y-b) 2 = r 2 Andaikan persamaan lingkaran (x-a) 2 +(y-b) 2 = r 2 dan titik singgungnya (x 1 , y 1 ) maka persamaan garis singgungnya adalah (x 1 -a)(x-a) +(y 1 -b)(y- b) = r 2 (a, b) x y Tentukan persamaan garis singgung lingkaran ( x–2) 2 + (y+3) 2 = 8 melalui titik (4,-1) contoh lingkaran ( x–2) 2 + (y+3) 2 = 8 dengan titik singgung (4,-1) adalah ( x 1 –2) ( x–2) + (y 1 +3)(y+3) = 8 ↔ 2( x–2) + 2(y+3) = 8 ↔ 2x + 2y = 6 atau x + y = 3 Jawab .

15. Persamaan Garis Singgung Melalui titik pada Lingkaran Persamaan garis singgung melalui (x 1 ,y 1 ) pada lingkaran x 2 + y 2 + Ax +By+C = 0 Persamaan Lingkaran x 2 + y 2 + Ax +By +C = 0 dengan titik singgung (x 1 , y 1 ) maka persamaan garis singungnya adalah x 1 x + y 1 y + ½A(x + x 1 ) + ½B(y +y 1 ) + C = 0 contoh Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 + 2x -4y -5 = 0 melalui titik (2 , 1) Jawab lingkaran x 2 + y 2 + 2x -4y -5 = 0 dengan titik singgung (2 , 1) adalah x 1 x + y 1 y +½ .2(x + x 1 ) + ½ .-4(y + y 1 ) -5 = 0 2x + y + (x +2) – 2(y +1) – 5 = 0 ↔3x – y = 5

16. Garis Singgung suatu Titik di luar Lingkaran Dimisalkan persamaan melalui A(x 1 ,y 1 ) dengan gradien m yaitu y – y 1 = m(x – x 1 ) atau y = m(x – x 1 ) + y 1 Substitusikan persamaan di atas pada persamaan lingkaran Hitunglah nilai m dengan syarat Diskriminan D= 0 (ingat syarat menyinggung D = 0 ) Jika titik (x 1 ,y 1 ) terletak di luar lingkaran maka terlebih langgkahnya adalah : . A(x,y)

17. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x 2 +y 2 =4 terhadap titik (4,0) Contoh Misal Garis singgung lingkaran x 2 +y 2 =4 melalui titik (4,0) dengan gradien m adalah y – 0 = m(x – 4) atau y = m(x – 4) subtitsikan ke x 2 +y 2 =4 sehingga persamaan menjadi x 2 + (m(x – 4)) 2 =4 ↔ x 2 + m 2 (x 2 – 8x+16) =4 ↔ x 2 + m 2 x 2 – 8m 2 x +16m 2 =4 Syarat menyinggung D = 0 didapat m = sehingga persamannya adalah y = (x – 4)

18. Garis Singgung suatu Titik di luar Lingkaran Untuk menentukan persamaan garis singgung dari titik A(x 1 ,y 1 ) Diluar lingkaran baik dengan pusat O(0,0) ataupun dengan pusat di P(a,b) diperlukan langkah-langkah sebagai berikut : Membuat garis kutub dari titik A terhadap lingkaran Mencari koordinat titik potong garis kutub dengan lingkaran Menentukan persamaan garis singgung di titik potong antara garis kutub dan lingkaran tersebut Garis kutub

19. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 = 9 terhadap titik B(3,1) Jawab Persamaan garis kutub B (3,1) terhadap lingkaran x 2 + y 2 = 9 adalah 3x + 1y = 9 ↔y = 9 -3x y = 9 -3x dipotongkan pada lingkaran x 2 + y 2 = 9 X 2 + y 2 = 9 ↔ x 2 + (9 - 3x) 2 = 9 X 2 + 81 – 54x + 9x 2 = 9 10 X 2 - 54x +72 = 0 ↔ 5x 2 - 27x + 36 = 0 (5x – 12 )(x – 3 ) = 0 X = 12/5 atau x = 3 Untuk x = 12/5 maka y = 9/5 sehingga persamaannya 12x +9y -45 =0 Untuk x = 3 maka y = 0 sehingga persamaannya 3x -9 =0 contoh

20. Persamaan Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien m Persamaan garis singgung x 2 + y 2 = r 2 dengan gradien m adalah : Contoh Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 = 36 dengan gradien 4 Jawab lingkaran x 2 + y 2 = 36 dengan gradien 4 berarti m =4 dan r = 6 Persamaannya adalah atau

21. Persamaan Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien m Persamaan garis singgung (x-a) 2 + (y-b) 2 = r 2 dengan gradien m adalah : Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (x-5) 2 + (y-3) 2 = 49 yang sejajar dengan garis Y – 2x =6 contoh Jawab Lingkaran (x-5) 2 + (y-3) 2 = 49 berarti r= 7, m = gradien garis y – 2x = 6 yaitu 6 sehingga persaman garis singgungnya adalah ↔

22. Latihan Tentukan persaman lingkaran dengan pusat (0,0) dan menyinggung sumbu y Carilah persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat (3,4) dan melalui titik(6,8) Diketahui lingkaran dengan diameternya melalui titik(-2,3) dan (6,9) tentukan persamaannya Jika diketahui sebuah lingkaran dengan pusat (4,8) dan menyinggung garis y=12 tentukanpersamaannya Carilah persamaan garis singgung lingkaran x 2 +y 2 =13 pada titik (3,-2) Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x 2 +y 2 = 169 yang berabsis 5 Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (x-1) 2 + (y+4) 2 = 100 dititik (-5,4) Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (x-3) 2 + (y+2) 2 = 9 yang bergradien 2 Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 -2x +4y -4 = 0 yang tegak lurus garis 3x – 4y – 5 =0 Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 -20y+60=0 yang melalui titik (-3,-1)

23. TERIMA KASIH SEMOGA SUKSES