Dokumen tersebut membahas tentang lingkaran, termasuk definisi lingkaran, persamaan lingkaran berpusat di titik tertentu dan berjari-jari tertentu, kedudukan titik terhadap lingkaran, persamaan garis singgung lingkaran melalui suatu titik pada lingkaran atau di luar lingkaran, serta garis singgung lingkaran jika diketahui gradiennya.

1. Bab 4
Lingkaran
November 26, 2014

2. Memotong Dua Titik
Melalui Titik Di luar
Lingkaran
Persamaan Garis
Singgung
Kedudukan Titik
terhadap Lingkaran
Melalui Titik Bergradien m
Singgung
Di Satu Titik=
Menyinggung
Bentuk
Umum
Pada Di Dalam Di Luar
Persamaan
Lingkaran
Tidak
Memotong
Pusat P
(a,b)
Pusat O
(0,0)
Kedudukan Garis
Terhadap Lingkaran
Lingkaran
November 26, 2014

3. 1. Gambarlah sebuah lingkaran. Dari gambar yang kalian
buat, jelaskan apa yang dimaksud dengan busur
lingkaran, titik pusat, jari-jari, tali busur, diameter, sudut
pusat, sudut keliling, tembereng, dan garis singgung
lingkaran. Tunjukkan dengan gambar.
2. Tentukan luas dan keliling lingkaran yang mempunyai
panjang jari-jari 21 cm.
3. Buatlah garis dan persamaan x + y = 5 pada bidang
Cartesius. Berbentuk apakah garis itu?
November 26, 2014

4. Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik (pada bidang
datar) yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu.
Titik tertentu itu disebut titik
pusat lingkaran.
Jarak yang sama disebut jari-jari
lingkaran.
Titik C adalah titik pusat.
Jarak titik-titik itu ke pusat
lingkaran dinamakan jari-jari
lingkaran.
C
P
Q
R
S
November 26, 2014

5. 1. Persamaan Lingkaran Berpusat di O(0,
0) dan Berjari-jari r
Persamaan lingkaran berpusat di O(0, 0) dan berjari-jari r
adalah
Jika L himpunan titik-titik pada lingkaran berpusat di O dan
berjari-jari r maka:
L = {(x, y) | x2 + y2 = r2}
November 26, 2014
x2 + y2 = r2

6. Contoh:
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan
melalui titik P(6, 8).
Jawab:
Lingkaran berpusat di O(0, 0).
Titik P(6, 8), berarti x = 6 dan y = 8.
Akibatnya, r2 = 62 + 82 = 100.
Jadi, persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 = 100.
November 26, 2014

7. 2. Persamaan Lingkaran Berpusat di P(a,
b) dan Berjari-jari r
Persamaan lingkaran berpusat di P(a, b) dan berjari-jari r
adalah
Jika L himpunan titik-titik pada lingkaran berpusat di P dan
berjari-jari r maka:
November 26, 2014
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
{(x, y) | (x – a)2 + (y – b)2 = r2}

8. Contoh:
Tentukan persamaan lingkaran
yang berpusat di P(4, 6) dan
menyinggung garis x = 2.
Jawab:
Pusat P(4, 6) dan menyinggung
garis x = 2. Jadi, jari-jari
lingkaran adalah 4 – 2 = 2.
(x – 4)2 + (y – 6)2 = 22
(x – 4)2 + (y – 6)2 = 4
November 26, 2014
Û

9. x2 + y2 + 2Ax+ 2By + C = 0
Lingkaran dengan persamaan x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0
mempunyai pusat P(–A, –B) dan jari-jari
November 26, 2014

10. Contoh:
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x2 + y2 – 6x – 4y – 3 = 0.
Jawab:
x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0.
2A = –6 A = –3
2B = –4 B = –2
C = –3
P(–A, –B) = P(–(–3), –(–2)) = P(3, 2)
November 26, 2014
Û
Û

11. 1. Kedudukan Titik terhadap Lingkaran
a. Kedudukan Titik terhadap Lingkaran Berpusat di O(0, 0)
Titik A dan P di dalam lingkaran.
Titik C dan R di luar lingkaran.
Titik B dan Q pada lingkaran.
Kedudukan tersebut ditentukan
berdasar ketentuan berikut.
November 26, 2014

12. 1) Titik A(p, q) terletak di dalam lingkaran berpusat
O(0, 0) jika x2 + y2 < r2.
2) Titik A(p, q) terletak pada lingkaran berpusat
O(0, 0) jika x2 + y2 = r2.
3) Titik A(p, q) terletak di luar lingkaran berpusat
O(0, 0) jika x2 + y2 > r2.
November 26, 2014

13. b. Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran Berpusat di P(a, b)
1) Titik A(p, q) terletak di
dalam lingkaran yang
berpusat di P(a, b) jika
(x – a)2 + (y – b)2 < r2.
1) Titik A(p, q) terletak pada
lingkaran yang berpusat di
P(a, b) jika
(x – a)2 + (y – b)2 = r2.
1) Titik A(p, q) terletak di luar
lingkaran yang berpusat di
P(a, b) jika
(x – a)2 + (y – b)2 > r2.
X
Y
b
a
L’
0
P(a, b)
L
November 26, 2014

14. Contoh:
Tentukan kedudukan titik
a. K(2, 3) terhadap lingkaran L : x2 + y2 = 25;
b. K(4, 5) terhadap lingkaran L : (x – 1)2 + (x – 3)2 = 9.
Jawab:
Titik K(2, 3); Lingkaran L berpusat di O(0, 0).
22 + 32 = 13 < 25
Titik K terletak di dalam lingkaran L.
a.Titik K(4, 5); Lingkaran L berpusat di P(1, 3).
(4 – 1)2 + (5 – 3)2 = 13 > 9
Titik K di luar lingkaran L.
November 26, 2014

15. Misal persamaan lingkaran L = x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0
dan garis g : y = mx + n.
Substitusi persamaan g ke L memperoleh bentuk
ax2 + bx + c = 0, dengan diskriminan.
D = b2 – 4ac
Kedudukan garis ditentukan nilai D.
Jika D < 0, garis g tidak memotong dan tidak menyinggung
lingkaran L.
Jika D = 0, garis g menyinggung lingkaran L.
Jika D > 0, garis g memotong di dua titik pada lingkaran L.
November 26, 2014
2. Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran

16. Contoh:
Tentukan kedudukan garis y = 2x terhadap lingkaran x2 + y2 = 25.
Jawab:
Substitusi y = 2x ke persamaan x2 + y2 = 25 sehingga diperoleh
x2 + (2x)2 = 25
5x2 – 25 = 0
Û
D = 02 – 4(5)(–25) = 500 > 0.
5x2 – 25 = 0
5(x - )(x + ) = 0
x1 = − dan x2 = .
Substitusikan x1 dan x2 ke y = 2x sehingga diperoleh titik
potongnya, yaitu (− , −2 ) dan ( , 2 ).
November 26, 2014
Û
5 5
5 5 5 5
5 5

17. 1. Garis Singgung melalui Suatu Titik pada Lingkaran
Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = r2 di titik
R(x1, y1) seperti pada gambar adalah
November 26, 2014
x1x + y1y = r2

18. Persamaan garis singgung lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2 di
titik Q(x1, y1) seperti pada gambar di atas adalah
(x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) = r2
November 26, 2014

19. Contoh 1:
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 4 di titik
A(1, ).
Jawab:
Titik A(1, ) terletak pada lingkaran x2 + y2 = 4 (tunjukkan).
3
Dengan menggunakan rumus x1x + y1y = r2, diperoleh
1(x) + y = 4
x + y – 4 = 0
Jadi, persamaan garis singgung yang dimaksud adalah
x + y – 4 = 0.
November 26, 2014
3
3
3
3
Û

20. Contoh 2:
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran
(x – 1)2 + (y – 2)2 = 4 di titik B(–1, 2).
Jawab:
(x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) = r2
(–1 – 1)(x – 1) + (2 – 2)(y – 2) = 4
(–2)(x – 1) + (2 – 2)(y – 2) = 4
–2(x – 1) = 4
–2x = 2
x = –1
Û
Û
Û
Jadi, garis singgung yang dimaksud adalah x = –1.
November 26, 2014
Û

21. 1) Persamaan garis singgung di titik R(x1, y1) pada
lingkaran x2 + y2 = r2.
x1x + y1y = r2
2) Persamaan garis singgung di titik R(x1, y1) pada
lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2.
(x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) = r2
1) Persamaan garis singgung di titik R(x1, y1) pada
lingkaran x2 + y2+ 2Ax + 2By + C = 0.
x1x + y1y + A(x1 + x) + B(y1 + y) + C = 0
November 26, 2014
Agar mudah diingat!

22. 2. Garis Singgung Lingkaran jika diketahui Gradiennya
Nilai n ditentukan dengan
langkah-langkah berikut.
Langkah 1:
Substitusikan y = mx + n ke persamaan x2 + y2 = r2
Persamaan kuadrat hasil substitusi variabel x, yaitu
(1 + m2)x2 + 2mnx + (n2 – r2) = 0.
November 26, 2014
Misal persamaan ling-karan
L : x2 + y2 = r2
dan garis singgungnya
y = mx + n.

23. Langkah 2:
Tentukan nilai diskriminan D.
D = 0 (karena garis menyinggung lingkarannya).
D = –4(n2 – r2 – m 2r2) = 0 sehingga diperoleh
Langkah 3:
Dengan menyubstitusikan nilai n1 dan n2 diperoleh
persamaan garis singgung .
Persamaan garis singgung lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2
dengan gradien m adalah sebagai berikut.
November 26, 2014

24. Contoh:
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 10
dengan gradien 3.
Jawab:
r =
m = 3.
Jadi, persamaan garis singgungnya ada 2, yaitu
1.
2.
November 26, 2014
10
ÛÛ
Û
Û

25. 3. Garis Singgung Melalui Titik di Luar Lingkaran
Persamaan garis singgung yang melalui titik C di luar lingkaran seperti
pada gambar adalah
y – y1 = m(x – x1) atau y = mx – mx1 + y1.
November 26, 2014

26. Langkah-langkahnya:
Langkah 1:
Substitusikan y = mx – mx1 + y1 ke persamaan lingkaran
sehingga diperoleh persamaan kuadrat.
Langkah 2:
Tentukan nilai diskriminan D dari persamaan yang
diperoleh pada Langkah 1.
Karena persamaan garis singgung, syaratnya D = 0.
Dengan demikian, akan diperoleh nilai m.
Langkah 3:
Substitusikan kedua nilai m ke persamaan y= mx – mx1 + y1
sehingga diperoleh dua persamaan garis singgung yang
dimaksud.
November 26, 2014

27. Contoh:
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25
yang ditarik dari titik (10, 0) di luar lingkaran.
Jawab:
Gradien m melalui titik (10, 0) di luar lingkaran.
y = mx – mx1 + y1 y = mx – m(10) + 0 y = mx – 10m.
Langkah 1:
Substitusikan y = mx – 10m ke persamaan lingkaran
x2 + y2 = 25
x2 + (mx – 10m)2 = 25
x2 + (m2x2 – 20m2x + 100m2) – 25 = 0
(1 + m2)x2 – 20m2x + (100m2 – 25) = 0
November 26, 2014
Û Û
Û Û

28. Langkah 2:
Nilai diskriminan D = b2 – 4ac
= (–20m2)2 – 4(1 + m2)(100m2 – 25)
= 400m4 – 400m2+ 100 – 400m4 + 100m2
= –300m2 + 100
Û
D = 0 –300m2 + 100 = 0
300m2 = 100
November 26, 2014
Û

29. Langkah 3:
Substitusikan m1 dan m2 ke y = mx – 10m.
Jadi, persamaan garis singgung yang dimaksud adalah
Û
dan
November 26, 2014
Û

30. Persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat (a, b),
jari-jari r, dan melalui titik (x1, y1) adalah
y – y1 = m(x – x1), dengan
Persamaan garis singgung lingkaran berpusat
O(0, 0), jari-jari r, dan melalui titik (x1, y1) adalah
y – y1 = m(x – x1), dengan
November 26, 2014

31. Contoh:
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran
(x – 1)2 + (y – 2)2 = 4 yang melalui titik (8, 0).
Jawab:
Diketahui a = 1, b = 2, r = 2, x1 = 8, dan y1 = 0.
Kita tentukan gradien (m) terlebih dahulu.
November 26, 2014

32. Jadi, persamaan garis singgung yang dimaksud adalah
y – y1 = m(x – x1)
y – 0 = 0(x – 8)
y = 0
dan
November 26, 2014
Û
Û
Û