Dokumen tersebut membahas tentang limit fungsi pada ruang metrik. Ruang metrik didefinisikan sebagai himpunan yang dilengkapi dengan fungsi jarak. Fungsi dikatakan memiliki limit jika nilai fungsinya mendekati nilai tertentu ketika argumennya mendekati suatu titik. Konsep ini diperluas ke ruang metrik dengan memperhatikan jarak antar titik. Limit fungsi di ruang metrik memiliki sifat yang serupa dengan di bilangan riil walaupun situ

1. LIMIT FUNGSI DI RUANG METRIK
Disusun untuk memenuhi
tugas mata kuliah Analisis Real
oleh
Nida Shafiyanti (3125111218)
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Negeri Jakarta
2013

2. Daftar Isi
1 PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang dan Permasalahan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Tujuan Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Sistematika Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 PEMBAHASAN 3
2.1 Fungsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.1 Pemetaan (Fungsi) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.2 Limit Fungsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Ruang Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Himpunan Buka, Himpunan Tutup . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4 Limit Fungsi di Ruang Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 KESIMPULAN 9
i

3. ABSTRACT
Suatu fungsi memetakan keluaran f(x) untuk setiap masukan x. Fungsi terse-
but memiliki limit L pada titik masukan p bila f(x) ”dekat” pada L ketika x dekat
pada p. Bila masukan yang dekat pada p ternyata dipetakan pada keluaran yang
sangat berbeda, fungsi f dikatakan tidak memiliki limit. Dan memiliki limit jika
sebaliknya. Kajian lebih lanjut menunjukkan bahwa konsep limit fungsi di ruang
metrik adalah serupa dengan apa yang diketahui di bilangan real. Akan tetapi,
tidak bisa langsung memperoleh sifat-sifat kelinieran serta yang lainnya karena
situasinya jelas berbeda.
Kata kunci: limit fungsi, ruang metrik.
ii

4. 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Permasalahan
Analisis matematis, dalam matematika disebut dengan analisis (saja). Merupakan
kajian secara taat azas (rigorous) dari kalkulus. Dalam hal ini dilakukan analisis
rinci dari besaran peubah maupun fungsi di dalamnya berdasarkan pendefinisian
pengertian besaran kecil dan ∆. Dengan pendefinisian tersebut dikaji limit (lim-
it barisan, limit fungsi), teori diferensiasi, integrasi, deret takhingga, dan fungsi
analitik. Teori-teori yang dipelajari di dalamnya dalam kerangka bilangan real,
bilangan kompleks, dan fungsi real, fungsi kompleks. Disamping itu secara lanjut
dikaji pula dalam kerangka ruang obyek matematis (ruang topologi) yang mem-
pertimbangkan jaraknya (ruang metrik).
Sistem bilangan real serta berbagai hal terkait telah dipelajari pada kuli-
ah Analisis Real. Hampir keseluruhan topik yang dipelajari tidak terlepas dari
gagasan nilai mutlak. Diketahui konsep nilai mutlak memegang peranan penting
dalam merumuskan konsep-konsep lainnya seperti limit dan kekontinuan.
Fungsi yang lebih umum dari pada nilai mutlak yaitu apa yang disebut metrik,
selalu bisa dirumuskan pada sebarang himpunan. Dengan cara serupa, metrik ini
dapat digunakan untuk merumuskan konsep-konsep lain sebagaimana yang telah
diketahui di sistem bilangan real.
1.2 Tujuan Penulisan
Tujuan dari penulisan ini adalah untuk mempelajari lmit fungsi di ruang metrik.
Diantaranya mengetahui mengenai penndefinisian dari fungsi serta limitnya. Ke-
mudian mengkaji contoh-contoh fungsi pada ruang metrik. Kajian lebih lanjut
menunjukkan bahwa konsep limit fungsi di ruang metrik adalah serupa dengan
apa yang diketahui di bilangan real.
1.3 Sistematika Penulisan
Di dalam penyusunan tugas akhir ini secara keseluruhan terdiri dari 3 bagian
yang dilengkapi oleh abstrak, daftar isi, dan lampiran-lampiran yang mendukung.
Secara garis besar, sistematika pembahasan pada tugas akhir ini adalah sebagai
berikut : Bagian 1 Pendahuluan, pada bab ini dikemukakan tentang latar be-
lakang masalah pembuatan tugas akhir, perumusan masalah yang dihadapi di
dalam menyusun tugas akhir, tujuan tugas akhir dan sistematika pembahasan la-
poran tugas akhir yang menerangkan sekilas dari isi tiap bab yang terdapat pada
1

5. laporan tugas akhir ini. Bagian 2 Pembahasan, pada bab ini dibahas mengenai
limit, limit fungsi dan ruang metrik serta bagaimana generalisasi fungsi real dalam
ruang metrik. Bagian 3 Kesimpulan, bab ini merupakan bab akhir laporan yang
memuat kesimpulan dari seluruh proses penyelesaian tugas akhir ini. Terakhir,
daftar pustaka pada bagian akhir makalah.
2

6. 2 PEMBAHASAN
2.1 Fungsi
2.1.1 Pemetaan (Fungsi)
Diketahui X dan Y adalah himpunan–himpunan dan A merupakan himpunan
bagian X (A⊂X)
Definisi 2.1.1. Suatu pemetaan (fungsi) f dari A ke Y adalah suatu aturan
yang pada setiap anggota dari A menentukan dengan tunggal satu anggota dari
Y. Himpunan A dinamakan daerah sumber (domain) disajikan dengan D(f) dan
Y disebut daerah kawan (kodomain).
f : A → Y
D(f) → Y
Apabila x ⊂ D(f), maka kawannya (tunggal) y ⊂ Y disajikan dengan fx (ditulis
y=fx) dikataan bahwa x dibawa ke fx
f : D(f) → Y
x → fx
Dan himpunan anggota-anggota dari Y yang mempunyai kawan dalam D(f) dise-
but daerah hasil (range) diajikan dengan R(f).
R(f) = {y ∈ Y |y = fx ∀x ∈ D(f)}
Gambar / figure 1
Definisi 2.1.2. Jika setiap y ∈ Y mempunyai kawan di dalam D(f) atau dengan
kata lain jika setiap y ∈ Y berasal dari suati x ∈ D(f) maka fungsi ini disebut
fungsi A onto Y (A = D(f)).
Sehingga berlaku Y = R(f) (Daerah hasil (range) berhimpit dengan daerah kawan
(kodomain)).
3

7. 2.1.2 Limit Fungsi
Ingat definisi limit dan kontinuitas fungsi nilai riil pada variabel real.
Definisi 2.1.3. Misalkan f adalah fungsi bernilai real, p ∈ R dan ada interval I
yang memuat p , kecuali kemungkinan untuk p adalah dalam domain f.
Kemudian limit f, x mendekati p adalah L jika dan hanya jika
(∀x)( > 0 ⇒ (∃δ = δ( ))(δ > 0 ∧ (∀x)(0 < |x − p| < δ ⇒ |f(x) − L| < )))
Dalam kasus ini, dapat dituliskan
lim
x→p
f(x) = L
Definisi 2.1.4. Misalkan f adalah fungsi bernilai real dan p ∈ dom(f). Kemudian
f kontinu pada p jika dan hanya jika
lim
x→p
f(x) = f(p)
Definisi 2.1.5. Misalkan f adalah fungsi bernilai real, dom(f) = A dan p ∈ A
(i.e p adalah titik limit dari domain f). Maka limit dari f
(∀ )( > 0 ⇒ (∃δ = δ( ) > 0)[(∀x)(x ∈ A ∧ 0 < |x − p| < δ ⇒ |f(x) − L| < ])
Contoh 1. Dengan menggunakan definisi, buktikan limx→3(2x2
+ 4x + 1) = 31
Sebelum dibuktikan, akan di ilustrasikan beberapa ”perluasan” pekerjaan awal
atau analisis pendahuluan untuk mengarahakan pada bukti tersebut. Akan ditun-
jukkan bahwa, untuk setiap > 0 akan mendapat δ > 0, sehingga 0 < |x − 3| <
δ ⇒ |(2x2
+ 4x + 1) − 31| < . Cara termudah adalah dengan menghasilkan δ
sebagai fungsi dari . Perhatikan bahwa,
|(2x2
+ 4x + 1) − 31| = |2x2
+ 4x − 30| = 2|x − 3||x + 5|
Misalkan tempatkan batasan pertama pada δ yang mengharuskan bahwa δ ≤ 1,
kemudian 0 < |x − 3| < δ ≤ 1 ⇒ |x + 5| = |(x − 3) + 8| ≤ |x − 3| + 8 < 9 sekarang
|(2x2
+ 4x + 1) − 31| = 2|x − 3||x + 5| < 2 · δ · 9 ≤
dimana δ ≤ 18
. Untuk mendapatkan kedua batas akan diberlakukan δ =maks{1, 18
}.
Maka terbukti.
Sekarang untuk > 0 diberikan δ =maks{1, 18
}. Maka
0 < |x − 3| < δ ≤ 1 ⇒ |x + 5| = |(x − 3) + 8| ≤ |x − 3| + 8 < 9
dan
|(2x2
+ 4x + 1) − 31| = 2|x − 3||x + 5| < 2 · δ · 9 ≤ 18 ·
18
=
Karena > 0 sebarang, dapat disimpulkan untuk setiap > 0, terdapat δ =min{1, 18
} >
0, sehingga 0 < |x−3| < δ ⇒ |(2x2
+4x+1)−31| < ; i.e., limx→3(2x2
+4x+1) =
31.
4

8. 2.2 Ruang Metrik
Pada bab ini akan diperlihatkan fungsi yang lebih umum dari pada nilai mutlak
yaitu apa yang disebut metrik. Metrik ini selalu bisa dirumuskan pada sebarang
himpunan. Dengan cara serupa, metrik ini dapat digunakan untuk merumuskan
konsep-konsep lain sebagaimana yang telah diketahui di sistem bilangan real.
Definisi 2.2.1. Misal X adalah himpunan tidak kosong. Suatu fungsi bernilai
real d yang didefinisikan pada X ×X yaitu pasangan berurutan dalam X, disebut
metrik atau fungsi jarak pada X jika dan hanya jika fungsi tersebut memenuhi
aksioma-aksioma berikut, yaitu untuk setiap a, b, c ∈ X:
(i) d(a, b) ≥ 0
(ii) d(a, b) = 0. Jika dan hanya jika a = b Definit Positif
(iii) d(a, b) = d(b, a) Simetris
(iv) d(a, b) ≤ d(a, c) + d(c, b) Ketaksamaan Segitiga
Bilangan Real d(a, b) disebut jarak dari a ke b.
Himpunan X yang dilengkapi dengan suatu metrik d, dituliskan dengan (X, d)
disebut Ruang Metrik (Metric Space). Anggota ruang metrik (X, d) disebut
titik atau point dan untuk setiap a, b ∈ X ada bilangan non-negatif d(a, b) yaitu
jarak titik a dengan b.
Contoh 2. Perhatikan himpunan bilangan real R yang dilengkapi dengan fungsi
d(a, b) = |a − b|
Dengan menggunakan sifat-sifat fungsi nilai mutlak dapat dibuktikan bahwa d
suatu metrik di R.
Bukti:
1. d(a, b) = |a − b| ≥ 0 dan d(a, b) = 0 jika dan hanya jika a = b.
2. d(a, b) = |a − b| = |b − a| = d(b, a)
3. |a − b| + |b − c| ≥ |a − b + b − c| = |a − c|
atau d(a, c) ≤ d(a, b) + d(b, c) , a < b < c
4. d(a, b) = |a − b| > 0 jika a = b
Contoh 3. (R, d) dengan R adalah sistem bilangan riil dan metrik d dinamakan
metrik biasa yang didefinisikan sebagai:
d(x, y) = |x − y| ∀x, y ∈ R
5

9. Contoh 4. (R2
, d) dengan R2
dinamakan bidang Euclidean dapat kita ambil
pasangan-pasangan berurutan dari bilangan riil, ditulis x = (x1, x2) dan y =
(y1, y2),.......
dan metrik Euclidean didefinisikan sebagai
d(x, y) = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
2.3 Himpunan Buka, Himpunan Tutup
Pada garis bilangan real, telah diperkenalkan mengenai konsep interval buka
maupun interval tutup. Dan selanjutnya, konsep ini akan diperumum di ruang
metrik dengan sebutan bola buka dan bola tutup.
Definisi 2.3.1. Misalkan a ∈ X dan r > 0. Bola buka dengan pusat a dan
jari-jari r adalah himpunan
Br(a) = {x ∈ X : ρ(x, a) < r}
Serupa dengan ini, bola tutup dengan pusat a dan jari-jari r adalah himpunan
Br(a) = {x ∈ X : ρ(x, a) r}
Selanjutnya, sifat buka dan tutup ini akan diterapkan pula untuk sebarang
himpunan pada ruang metrik.
1. Suatu himpunan V ⊂ X disebut buka jika untuk setiap x ∈ V terdapat
r > 0. sehingga bola buka Br(x) termuat di V .
2. Suatu himpunan E ⊂ X dikatakan tutup jika Ec
= X adalah buka.
Suatu bola buka B(a, r) sering disebut lingkungan-r dari a. Adapun lingkun-
gan dari a adalah sebarang subhimpunan yang memuat B(a, r). Berdasarkan
definisi, a merupakan suatu elemen di sebarang lingkungannya.
Titik x0 ∈ M ⊂ X disebut titik dalam dari M jika M merupakan suatu
lingkungan dari x0. Himpunan semua titik dalam dari M disebut interior dari M.
Lebih lanjut, dapat diperiksa bahwa interior M suatu himpunan buka terbesar
yang dimuat oleh M.
2.4 Limit Fungsi di Ruang Metrik
Pada bagian ini akan dibahas mengenai konsep limit fungsi di ruang metrik.
6

10. Definisi 2.4.1. Misalkan (X, ρ) dan (Y, τ) masing-masing adalah ruang metrik,
dan a suatu titik limit dari (X, ρ). Perhatikan fungsi f : X → Y . f(x) dikatakan
konvergen ke L untuk x menuju a, jika untuk setiap > 0 terdapat δ > 0 sehingga
0 < ρ(x, a) < δ ⇒ τ(f(x), L) <
Dalam hal ini kita menuliskan
lim
x→a
f(x) = L
dan L disebut limit dari f(x) untuk x menuju a.
Akibat 2.4.1. Diberikan S ruang metrik dan A ∈ S, dan misalkan f : A → R .
Jika
f → L karena p → p0 pada A dan f → M karena p → p0 pada A
buktikan bahwa L = M.
Bukti: Akan dibuktikan, f → L karena x → a dan f → M karena x → a,
maka L = M. Untuk L = M, ambil = 1
2
· |L − M|. Dengan menggunakan
definisi limit, terdapat nilai positif δ1 dan δ2 maka 0 < |x − a| < δ1 shingga
|f(x) − L| < dan 0 < |x − a| < δ2 sehingga |f(x) − M| < . Ambil x0 ∈ R maka
0 < |x0 − a| <min{δ1, δ2}. Kemudian, |L − M| ≤ |L − f(x0)| + |M − f(x0)| < 2 .
Kontradiksi dengan hukum trikotomi.
Akibat 2.4.2. Diberikan f dan g fungsi bernilai real, dengan domain A dan ruang
metrik (S, d), a ∈ (S, d). Jika limp→p0 f(p) = L dan limp→p0 g(p) = M, dengan
p ∈ A. Maka limp→p0 (f + g)(p) = L + M.
Bukti: Akan ditunjukan, jika limx→a f(x) = L dan limx→a g(x) = M, lalu
limx→a(f + g)(p) = L + M. Ambil > 0, maka ada bilangan positif δ1 dan
δ2 sehingga 0 < |x − a| < δ1 berimplikasi |f(x) − L| < 2
dan 0 < |x − a| < δ2
berimplikasi |g(x) − M| < 2
. Untuk δ =min{δ1, δ2}, 0 < |x − a| < δ berimplikasi
pada |(f + g)(x) − (L + M)| ≤ |f(x) − L| + |g(x) − M| < .
Penjelasan diatas telah memperlihatkan bahwa konsep limit fungsi di ruang
metrik adalah serupa dengan apa yang diketahui di bilangan real. Sehinnga,
tidak bisa langsung memperoleh sifat-sifat kelinieran serta yang lainnya karena
situasinya jelas berbeda. Namun demikian, jika diasumsikan Y = R tentu dapat
memperoleh beberapa sifat limit yang serupa.
Sekarang,akan dibahas mengenai kekontinuan fungsi di ruang metrik.
Definisi 2.4.2. Misalkan (X, ρ) dan (Y, τ) masing-masing adalah ruang metrik,
dan a suatu elemen di (X, ρ). Perhatikan fungsi f : X → Y . f(x) dikatakan
kontinu di a, jika untuk setiap > 0 terdapat δ > 0 sehingga
ρ(x, a) < δ ⇒ τ(f(x), f(a)) <
7

11. Dalam hal ini jika f kontinu di setiap a ∈ X maka f dikatakan kontinu.
Bagian ini akan ditutup dengan dua teorema berkaitan dengan kekontinuan fungsi
di ruang metrik.
Teorema 2.4.1. Perhatikan fungsi f : X → Y dengan a ∈ X. Fungsi f kontinu
di a jika dan hanya jika berlaku bahwa untuk setiap barisan xn di X yang konver-
gen ke a berimplikasi f(xn) konvergen ke f(a).
Teorema 2.4.2. Pemetaan f : X → Y kontinu jika dan hanya jika untuk setiap
subhimpunan buka M ⊂ Y , f−1
(M) buka di X.
Contoh 5. Ruang fungsi C[a, b] = x = himpunan semua fungsi riil kontinu pada
interval tertutup j = [a, b] metrik d didefinisikan sebagai
d(x, y) = max
t∈j
|x(t) − y(t)|
Contoh 6. Diberikan f : C → R dan f(z) = Re(z), z ∈ C. Buktikan bahwa
lim
z→3+i
f(z) = 3
Analisis Pendahuluan;
Ambil bilangan compleks ζ, |Re(ζ)| ≤ |ζ|.
Bukti:
Untuk > 0, diberikan δ = . Kemudian 0 < |z − (3 + i)| < δ = berimplikasi
pada
|f(z) − 3| = |Re(z) − 3| = |Re(z − (3 + i))| ≤ |z − (3 + i)| <
Karena > 0 sebarang z ∈ C, maka dapat disimpulkan
lim
z→3+i
f(z) = 3
Contoh 7. Buktikan bahwa fungsi dari f : R × R diberikan,
f((x, y)) =
xy
x3+y3 , untuk (x, y) = (0, 0);
0 untuk x = y = 0.
tidak kontinu pada (0, 0).
Ambil pn = (1
n
, 1
n
). Kemudian {pn}∞
n=1 konvergen ke (0, 0) tetapi,
lim
n→∞
f(pn) = lim
n→∞
(1
n
)(1
n
)
(1
n
)3 + (1
n
)3
= lim
n→∞
n
2
= +∞ = 0
Oleh karena itu, dengan karakteristik barisan untuk limit fungsi, dapat disim-
pulkan bahwa f tidak kontinu pada (0, 0).
8

12. 3 KESIMPULAN
Saat mempelajari fungsi nilai riil dengan variabel riil dalam kalkulus, teknik dan
teori dibangun di atas sifat kontinuitas, diferensiabilitas, dan integrability. Semua
konsep-konsep didefinisikan menggunakan ide yang tepat dari limit. Sedangkan
limit fungsi di ruang metrik itu sendiri menurut definisi adalah, Misalkan (X, ρ)
dan (Y, τ) masing-masing adalah ruang metrik, dan a suatu titik limit dari (X, ρ).
Perhatikan fungsi f : X → Y . f(x) dikatakan konvergen ke L untuk x menuju a,
jika untuk setiap > 0 terdapat δ > 0 sehingga
0 < ρ(x, a) < δ ⇒ τ(f(x), L) <
Dalam hal ini kita menuliskan
lim
x→a
f(x) = L
dan L disebut limit dari f(x) untuk x menuju a.
Dalam penulisan ini, sudah diperlihatkan dan dijelaskan mengenai limit fungsi
pada ruang metrik serta beberapa contoh yang berhubungan dengan materi ini.
Sehingga diharapkan dapat bermanfaat untuk menyelesaikan masalah yang terkait
dengan hal tersebut.
9

13. Pustaka
[1] Muhamad Najibufahmi. Fungsi Lipshiyzian Seragam di Ruang Metrik
dengan Struktur Normal Seragam.
[2] Retno Endah. Pemetaan dan Ruang Metrik.
[3] Sumanang Muchtar Gozali. Pengantar Analisis Fungsional.
10