Dokumen tersebut membahas tentang persamaan garis singgung lingkaran. Secara umum, garis singgung adalah garis yang hanya memotong lingkaran pada satu titik. Dokumen menjelaskan rumus-rumus untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran jika titik singgungnya berada di dalam, di luar, atau pada lingkaran. Cara-cara lain seperti menggunakan persamaan garis kutub atau gradien garis singgung jug

1. Persamaan Garis Singgung
Lingkaran
Matematika Wajib XI/Semester Genap

2. Kelompok I
Gilang Achmad R.A.
Mochammad Irfan A.
Niken Pratiwi
Dicha Anugraha K.
Madinda Gea A.
Rima April L.

3. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Melalui Titik pada Lingkaran
A. Persamaan Garis Singgung Lingkaran x2+y 2 =r 2 di (x1,y1)
Garis g dianggap menyinggung lingkaran apabila memotong lingkaran di dua titik yang
berimpit atau garis g tegak lurus pada jari-jari lingkaran di titik singgungnya.
Perhatikan gambar disamping!
P(x1,y1) pada lingkaran x2 + y2 = r2, g adalah garis bersinggung.
mop =
𝑦
𝑥
padahal OP ┴ g maka mop . mg = -1
𝑦1
𝑥1
. mg = -1 → 𝑚𝑔 =
−𝑥1
𝑦1
Jadi persamaan garis singgung g adalah
y-y1= (-x1)/y1 (x-x1)
y1y – y1
2 = -x1 x + x1
2
x1 x + y1 y = x1
2 + y1
2 , padahal x1
2 + y1
2 = r2
x1 x + y1 y = r2
Jadi, persamaan garis singgung pada lingkaran x2+ y2 = r2
di P(x1,y1) adalah
x1 x + y1 y = r2

4. Contoh Soal 1
Soal dan Alternatif Penyelesaian
1. Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 13 yang melalui titik (3, −2) adalah....
Pembahasan
Titik yang diberikan adalah (3, −2), dan belum diketahui posisinya pada lingkaran, apakah di dalam,
di luar atau pada lingkaran. Cek terlebih dahulu,
(3, −2) → x2 + y2 = r2
= 32 + (−2)2 = 9 + 4
r2 = 13
Hasilnya ternyata sama dengan 13 juga, jadi titik (3, −2) merupakan titik singgung.
Seperti nomor 1:
x1x + y1y = r2
3x + (-2y) = 13
3x – 2y = 13
x1x + y1y = r2

5. B. Persamaan Garis Singgung
Lingkaran (x-a)²+(y-b)² = r² di
titik (x1,y1)
Misal P(x1,y1)
terletak pada
(x-a)²+ (y-b)²= r²
Hasil translasi (−𝑏
−𝑎
) terhadap lingkaran dan titik P adalah x² + y² = r² dan
P’(x1-a, y1-b). Persamaan garis singgung g’ pada lingkaran x2 + y2 = r2 di P’ adalah
(x1 – a)x + (y1 – b)y = r² .
Apabila lingkaran x2 + y2 = r2, P’ dan g’ ditranslasikan dengan ( 𝑏
𝑎
) kembali ke
tempat semula didapat persamaan garis singgung g yaitu (x1-a)(x-a) + (y1-b)(y-b)
= r² Dengan cara yang sama diperoleh rumus persamaan garis singgung pada
lingkaran (x-a) ² + (y-b) ² = r² di titik (x1,y1) pada lingkaran adalah :
(x1-a)(x-a) + (y1-b)(y-b) = r²

6. Contoh Soal 2
Soal dan Alternatif Penyelesaian
1. Diberikan persamaan lingkaran: L ≡ (x − 2)² + (y + 3) ² = 25
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran dengan titik singgung pada (5, 1).
Pembahasan
Persamaan garis singgung pada lingkaran:
L ≡ (x − a) ² + (y − b) ² = r² ; pada titik singgung (x1, y1)
Berarti persamaan garis singgungnya :
dengan
a = 2 dan b = −3 dan r² = 25
maka persamaan garis singgungnya :
(x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) = r²
(5 – 2 )(x – 2) + (1 – (-3)) (y – (-3)) = 25
3(x – 2) + 4(y + 3) = 25
3x – 6 + 4y + 12 = 25
3x + 4y – 6 + 12 – 25 = 0
3x + 4y – 19 = 0
(x1-a)(x-a) + (y1-b)(y-b) = r²

7. C. Persamaan Garis Singgung Lingkaran
x² + y² + Ax + By + C = 0 di Titik (x,y)
x²+y²+Ax+By+C=0
di Titik (x,y)
Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0
di titik (x,y) adalah
7
𝑥1𝑥 + 𝑦1𝑦 +
𝐴
2
𝑥 + 𝑥1 +
𝐵
2
𝑦 + 𝑦1 + 𝐶 = 0

8. Contoh Soal 3
Soal dan Alternatif Penyelesaian
1. Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 − 4x + 2y − 20 = 0 di titik (5, 3) adalah....
Pembahasan
Titik singgung : (x1, y1) pada lingkaran : L ≡ x2 + y2 + Ax + By + C = 0
Rumus garis singgungnya:
Data:
x2 + y2 − 4x + 2y − 20 = 0
Titik (5, 3)
A = −4 ; B = 2 ; C = − 20 ; x1 = 5 ; y1 = 3
Garis singgungnya:

9. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Melalui Titik di Luar Lingkaran
Perhatikan Gambar Berikut!
Misal titik A(x1,y1) di luar lingkaran x² + y² = r²
Dari titik A(x1,y1) dapat ditarik dua buah garis singgung
yaitu AB dan AC dengan titik singgung B dan C.
Garis hubung BC disebut garis kutub atau garis polar
Rumus garis kutub A(x1,y1) adalah : 𝑥1 𝑥 + 𝑦1 𝑦 = 𝑟2

10. Apabila titik A(x1,y1) di luar lingkaran :
Selain dengan cara sebelumnya, untuk menentukan persamaan garis singgung
dapat ditentukan dengan langkah langkah sebagai berikut.
(x – a)² + (y – b) ²= r²,
maka persamaan garis kutub
titik A(x1,y1) adalah :
A x² + y² + Ax + By + C = 0 ,
maka persamaan garis kutub titik
A(x1,y1) adalah :
B
𝒙𝟏 − 𝒂 𝒙 − 𝒂 + 𝒚𝟏 − 𝒃 𝒚 − 𝒃 = 𝒓² 𝒙𝟏 𝒙 + 𝒚𝟏 𝒚 +
𝑨
𝟐
𝒙 + 𝒙𝟏 +
𝑩
𝟐
𝒚 + 𝒚𝟏 + 𝑪 = 𝟎

11. 03
02
01
Cara Untuk Menentukan Persamaan Garis Singgung
Menentukan
persamaan garis
singgung lingkaran
di titik singgungnya.
Menentukan titik
singgung lingkaran
dengan memotongkan
garis kutub dengan
lingkaran.
Menentukan
persamaan garis
kutub titik
tersebut
Salah satu cara untuk menentukan
persamaan garis singgung lingkaran melalui
suatu titik di luar lingkaran melalui langkah
sebagai berikut:

12. Cara lain Untuk Menentukan Persamaan Garis Singgung lingkaran
A
B
C
D
Misalkan gradien garis singgung yang melalui titik A(x1,y1) adalah m
sehingga diperoleh persamaan :
Menentukan persamaan garis
singgung.
Dari langkah a seubtitusikan nilai
ke dalam persamaan kuadrat dalam variable x.
Menentukan nilai m jika diskriminasinya nol.
langkah langkah sebagai berikut :
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑥 − 𝑥1 ↔ 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚𝑥 − 𝑚𝑥1
↔ 𝑦 = 𝑚𝑥 − 𝑚𝑥1 + 𝑦1
y = mx – mx1 + y1

13. Contoh Soal 4
Soal dan Alternatif Penyelesaian
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x² + y²= 13 yang melalui titik (-5,1) !
Pembahasan
Garis kutub : x1 x + y1 y = r² ↔ -5x + y = 13
Garis kutub -5x + y = 13 dipotongkan
terhadap lingkaran
-5x + y = 13 ↔ y = 5x + 13
x² + y² = r² ↔ x² + (5x + 13)² = 13
↔ x² + 25x² + 130x + 169 = 13
↔ 26x² + 130x + 156 = 0
↔ x² + 5x + 6 = 0
↔ (x + 3) (x + 2) = 0
↔ x = -3 atau x = -2
Untuk x1 = -3, maka y1 = 5 (-3) + 13 = -2
Titik singgung (-3 , -2), garis singgung :
x1 x + y1 y = r² ↔ -3x - 2y = 13
↔ 3x + 2y + 13 = 0
Untuk x² = -2, maka y² = 5 (-2) + 13 = 0
Titik singgungnya (-2 , 3), garis singgung:
x1 x + y1 y = r² ↔ 2x - 3y = 13
↔ 2x + 3y + 13 = 0

14. Kesimpulan
Subtitusikan persamaan y – y1 = m (x – x1) ke persamaan lingkaran
(x – a)2 + (y – b)2 = r2 ↔
(y – b) = m(x – a) ± 𝑟 𝑚2 + 1
x2 + y2 = r2 ↔
x1 x + y1 y = r2
Persamaan Garis
Singgung
Lingkaran (x,y)
pada Lingkaran
Persamaan Garis Singgung
Lingkaran (x,y) di luar
Lingkaran y – y1 = m (x – x1)
Persamaan Garis
Singgung dengan
gradien tertentu
x2 + y2 = r2 ↔
y = mx ± 𝑟 𝑚2 + 1
Dengan mengambil D=0 , maka diperoleh m.
x2 + y2 + Ax + By + C = 0 ↔ x1x + y1y +
𝐴
2
(x + x1) +
𝐵
2
(y + y1) + C = 0
(x – a)2 + (y – b)2 = r2 ↔ (x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) = r2

15. Penutup
Ataskami
PerhatiannyaTERIMA
Dream
Ucapkan
KASIH