Dokumen tersebut membahas tentang osilator harmonik dalam mekanika kuantum, dimana disebutkan bahwa energi osilator harmonik hanya memiliki spektrum diskrit dan bukan malar, serta fungsi gelombangnya dapat ditulis menggunakan polinomial Hermite.

1. Osilator harmonik
Oleh :
Kelompok IV
Anita Dewi (F1B1 14 033) Nurul Iniyah ulfa (F1B1 14 041)
Nurul K Lamela (F1 B1 14 034) Titi Dewi Yanti ( F1B1 14 043 )
Vira Yuniar Rukmana (F1B1 14 036) Agustang (F1B1 14 044)
Fahmi (F1B1 14 037) Sitti Hajayanti (F1B1 14 045)
Dinda Dwi Pinta (F1B1 14 038) Wa Ode Sitti Harni (F1B1 14 046)
Suhar Ziamah Al Aksa. (F1B1 14 039)
Jurusan Fisika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Halu Oleo
Kendari
2016
Tugas Fisika
Modern

2. OSILATOR HARMONIK
Gerak harmonik terjadi jika suatu sistem jenis tertentu bergetar di
sekitar konfigurasi setimbangnya. Sistemnya bisa terdiri dari
benda yang di gantung pada sebuah pegas atau terapung pada zat
cair, molekul deviatom, sebuah atom dalam kisi kristal terdapat
contoh banyak sekali dalam dunia mikroskopik dan juga
makroskopik. Persyaratan supaya gerak harmonik terjadi adalah
terdapatnya gaya pemulih yang beraksi untuk mengembalikan ke
konfigurasi setimbangnya jika sistem itu di ganggu, kelembaman
massa yang bersangkutan menyebabkan benda melampaui
kedududukan setimbangnya, sehingga sistem itu berosilasi terus-
menerus jika tidak terdapat proses desipatif.

3. • Dalam kasus khusus gerak harmonik sederhana ,gaya pemulih F pada
partikel bermassa m adalah linear ini berarti F berbanding lurus pada
pergeseran partikel x dari kedudukan setimbangnya dan arahnya
berlawanan, sehingga :
Pers.1.1
• Hubungan ini biasanya di sebut hukum hooke. Menurut hukum gerak
kedua F =ma jadi :
Pers.1.2
• Terdapat berbagai cara untuk memecahkan pers. 1.2 salah satu yang
mudah ialah
Pers.1.3

4. • Dimana
(Frekuensi osilator harmonik) Pers.1.4
• Merupakan frekuensi osilasi, A amplitude, dan harga ɸ, tetapan fase,
bergantung besar harga x pada saat t = 0
• Pentingnya osilator harmonik sederhana dalam fisika klasik dan modern tidak
terletak pada persyaratan ketat bahwa gaya pemulih yang sebenarnya
memenuhi hukum hooke yang jarang di jumpai, tetapi pada kenyataan bahwa
gaya pemulihnya tereduksi menjadi memenuhi hukum hooke untuk
pergeseran yang kecil. Sebagai hasilnya, setiap sistem yang melakukan
getaran kecil terdapat kedudukan setimbangnya berkelakuan seperti osilator
harmonik sederhana. Untuk membuktikan butir penting ini, bahwa setiap
gaya pemulih yang merupakan fungsi x dapat di uraikan menjadi deret
maclaurin di sekitar kedudukan setimbang x = 0 sebagai berikut :
• Pers.1.5

5. • Karena x = 0 merupakan kedudukan setimbang, Fx =0 = 0 karena untuk
harga x yang kecil x2,x3 ...... menjadi sangat kecil dibandingkan dengan x,
sehingga suku ketiga dan yang selanjutnya dapat diabaikan. Satu-satunya
suku yang penting bila x kecil ialah suku kedua. Jadi:
Pers.1.6
• Yang memenuhi hukum Hooke bila (dF/dx)x=0 negatif, yang selalu dipenuhi
oleh gaya pemulih.
• Kesimpulannya ialah bahwa semua osilator mempunyai karakter harmonik
sederhana jika amplitudonya cukup kecil.
• Fungsi energi potensial V(x) yang bersesuaian dengan hukum gaya Hooke
dapat di peroleh dengan menghitung kerja yang diperlukan untuk
membawa partikel dari x =0 ke x = x terdapat gaya semacam itu. Hasilnya
ialah :
Pers.1.7

6. • Dan hasil ini di plot dalam gambar 1. kurva V(x) terdapat x merupakan
parabola. Jika energi osilator E partikelnya bergerak bolak-balik antara
x = -A dan x = +A, dengan E dan A berhubungan menurut hubungan
persamaan E = ½ kA2 .
• Gambar 1 Energi potensial sebuah osilator harmonik secara mekanika klasik

7. • Sebelum melakukan perhitungan terperinci dapat menduga tiga macam
modifikasi mekanika kuantum pada gambaran klasik.
• Tidak terdapat spektrum malar dari energi yang di izinkan, tetapi hanya
terdapat spektrum diskrit terdiri dari harga tertentu saja;
• Energi terendah yang di perbolehkan bukan E = 0, tetapi terdapat harga
minimum E = Eo;
• Terdapat peluang tertentu partikel dapat “menembus” sumur potensial dan
melewati batas –A dan +A
• Persamaan scrodinger untuk osilator harmonik:
• Pers.1.8
• Kuantitas tak berdimensi:
• Pers.1.9

8. • Persamaan schrodinger dinyatakan dalam y dan ɛ
Pers.1.10
• Menggunakan Asimtot dimana x dan y tidak terbatas
Pers.1.11
• Subtitusi dengan diperoleh
Pers. 1.12
• Subtitusi 1.12 dengan 1.10 diperoleh pola h(y):
Pers.1.13
• Dimana:
•

9. • Persamaan 1.13 diselesaikan dengan deret
• Per.1.14
• Per.1.15
•
• Pers.1.16
• Subtitusi 1.14, 1.15, dan 1.16 kedalam 1.13 diperoleh
Pers.1.17

10. • ym mirip deret sehingga memberi hubungan
Pers. 1.18
• Jika m besar maka:
Pers.1.19
• Rasio perbandingan untuk deret dengan m besar:
Pers.1.20
• Pada deret:
Pers.1.21

11. • Sehingga rasionya:
Pers.1.22
• Sama denga pers 1.20 maka diperoleh:
Pers.1.23
• Sehingga persamaan gelombangnya menjadi :
•
Pers. 1.24
• Y mendekati tak terhingga maka fungsi gelombangnya tidak ternormalisasi
Pers. 1.25

12. • Persamaan 1.25 digunakan bersama persamaan 1.18
Pers.1.26
• Dengan:
Per.1.27
• atau
Pers.1.28

13. Gambar 2. sumur potensial dan tingkat energi(a) atom hidrogen,(b) partikel
dalam kotak ,(c) osilator harmonik.

14. • Polynomial hermitte di peroleh dari rodrigue formula :
P Pers.1.29
• Fungsi gelombang dapat dituliskan
Pers.1.30
• Nilai h(y) berbeda bergantung harga n dan faktor normalisasi. Sehinnga
fungsi gelombang dapat ditulis sebagai:
Pers.1.29
Pers.1.31
• Dimana Cn adalah normalisasi dengan normalisasi yang berbeda An dapat
dituliskan dengan Hn dalam polynomial hermitte :
Pers.1.32

15. • Menggunakan hubungan dan dan pers.1.29 akan
memberikan:
Pers.1.33
sehingga fungsi gelombang osilator harmonic dapat dituliskan dalam
bentuk:
Pers.1.34

16. Enam elemen polinomial hermitte yang pertama di daftarkan pada tabel 1.1
Tabel 1.1 Polinomial Hermitte

17. • Fungsi gelombang yang bersesuaian dengan ke enam tingkat energi yang
pertama dari sebuah osilator harmonik yang di tunjukkan dalam gambar 3.
dalam masing-masing kasus daerah sebuah partikel berosilasi secara klasik
dengan energi total En akan terbatas seperti di tunjukkan,bahwa partikel itu
dapat menerobos ke daerah terlarang secara klasik –dengan perkataan lain,
melebihi amplitudo A yang di tentukan oleh energinya-dengan peluang yang
menurun secara eksponensial,sama seperti situasi sebuah parikel dalam kotak
dengan tak tegar
• Sangat menarik dan sangat di anjurkan untuk membandingkan kerapatan
peluang sebuah osilator harmonik klasik dan sebuah osilator harmonik
mekanika kuantum dengan energi yang sama besar .Kurva atas dalam gambar
4 menunjukkan kerapatan peluang untuk osilator klasik : peluang P untuk
mendapatkan partikel pada suatu kedudukan terbesar pada titik ujung gerak
tersebut,ketika partikel itu bergerak lambat,dan terkecil dekat kedudukan
kesetimbangan ( x = 0) ketika partikel itu bergerak cepat.
• Kelakuan yang bertentangan ditunjukkan oleh osilator mekanika kuantum
pada energi terendahnya dengan n=0. Seperti telah diperlihatkan kerapatan
peluang mempunyai harga maksimum untuk x=0 dan menurun dikedua
sisi titik itu. Namun, ketidakcocokan ini makin pudar ketika n bertambah:
grafik yang terbawah dalam gambar 3 bersesuaian dengan n=10 dan jelas
bahwa jika dirata-ratakan terhadap x mempunyai sifat umum yang sama dengan
peluang klasik P.

18. • Gambar 3. Fungsi gelombang osilator harmonik yang pertama garis vertikal
menunjukkan batas –A dan +A yang menyatakan batas osilator klasik bergerak jika
energinya sama

19. • Gambar 4. kerapatan peluang untuk keadaan n = 0 dan n = 10 dari osilator
harmonik mekanika kuantum.

20. • Mungkin ada yang menyatakan keberatan bahwa memang mendekati
p jika dihaluskan, namun berfluktuasi sangat cepat terhadap x,
sedangkan P tidak. Namun, keberatan ini hanya mempunyai arti jika
fluktuasi itu dapat diamati, dan lebih dekat jarak antara puncak dengan
lembah, bertambah sukar pula untuk mengamatinya secara eksperimen.
Ekor eksponensial dari diluar x = ±A juga menurun besarnya dengan
bertambahnya n. Jadi gambaran mekanika klasik dan kuantum jadi saling
menyerupai untuk harga n yang besar bersesuaian dengan prinsip
korespondensi walaupun gambaran itu sangat berbeda untuk n kecil.

21. Soal:
4.Ulangi soal no 3 untuk tingkat eksistasi pertama n = 2 untuk partikel itu!
Jawab :