kalkulus

1. 1
Soalan 1.
(a)
+
(b)
(c)
(d)
Soalan 2.
1
12
1 −
−
→ x
x
had
x 1
)1)(1(
1 −
+−
=
→ x
xx
had
x
)1(
1
+=
→
xhad
x
xhad
x 1→
= 1
1→x
had
11+=
#2=
)
12
(
x
x
x
had −
∞→
)
12
(
xx
x
x
had
−
∞→
=
)
1
()
2
(
xx
had
x
x
x
had
∞→
−
∞→
=
02 −=
#2=
( )342
5
+−
→
xxhad
x
3)(4
55
2
5 →→→
+−=
xxx
hadxhadxhad
3)5(452
+−=
3225 +−−=
#8=
12
4
24 −+
+
−→ xx
x
had
x )4()3(
)4(
4 ++−
+
=
−→ xx
x
had
x
)3(
1
4 −
=
−→ x
had
x
3
1
44
4
−→−→
−→
−
=
xx
x
hadxhad
had
34
1
−−
= #
7
1
−=

2. 2
Di beri ,
Sesuatu fungsi f(x)
dikatakan selanjar pd sebarang titik x=a, jika memenuhi ke tiga-tiga syarat
berikut :
Oleh kerana, had dari sebelah kanan sama dengan had dari sebelah kiri,
had f(x) wujud.




>+
≤+
=
4
16
7
432
)(
x
x
xx
xf
)i )(xftertakrif
)ii )(xfhad
ax→
wujud
)iii )(
)(
afhad
xafx
=
→
32)( +=⇒ xxf
3)4(2)4( +=f
38+=
#11=fungsi⇒tertakrif
⇒
)
16
7()(
44 x
hadxfhad
xx
+= ++
→→
4
16
7
44 ++
→→
+=
xx
hadhad
47 +=
#11=
32)(
44
+= −−
→→
xhadxfhad
xx
3)4(2 +=
38+=
#111=
#
44
11)()( == −+
→→
xfhadxfhad
xx
⇒

3. 3
Memenuhi ketiga-tiga syarat, maka fungsi tersebut adalah selanjar pada titik x=4.
Soalan 3
a)
b)
⇒ )()(
4
afxfhad
x
=
→
1111=#
∴
4
1
x
y =
4−
= x
⇒ 5
4 −
−= x
dx
dy
#
5
4
x
−=
xy
4
1
=

4. 4
c)
Soalan 4.
a)
b)
C)
)(
4
1 2
1
x=
⇒
)(.
4
1 2
1
x
dx
d
dx
dy
=
)(
2
1
.
4
1 2
1
−
= x
)(
8
1 2
1
−
= x
x8
1
=
2
3
432
x
xx
y
++
=
2
43
2
xx
x ++=
⇒
)4()3()2( 21 −−
++= x
dx
d
x
dx
d
x
dx
d
dx
dy
32
832 −−
−−= xx
#
32
83
2
xx
−−=
2
32)( xxxf −+=
⇒
#
'
23)( xxf −=
2
11
1)(
xx
xf −+=
21
1 −−
−+= xx
⇒ 32'
0)( −−
+−= xxxf
)
1
1(
2
1
xx
+=
#
32
21
xx
+−=
x
xxf
1
)( −=
2
1
2
1
−
−= xx
⇒ 1
2
1
1
2
1
'
)
2
1
()(
2
1
)(
−−−
−−= xxxf
2
3
2
1
)(
2
1
)(
2
1 −−
+= xx
3
)(2
1
2
1
xx
+=
)
)(
1
1(
2
1
2
xx
+=
#)
1
(
2
1
x
x
x
+
=

5. 5
d)
Soalan 5.
(a)
x
x
xf
1
)(
+
=
2
1
1
x
x +
= #
⇒
22
1
2
1
2
1
)(
2
1
).1()1.(
)('
x
xxx
xf
−
+−
=
x
x
x
x
2
)1( +
−
=
x
x
xxx
2
)1().(2 +−
=
x
xx
2
12 −−
=
#2
1
x
x −
=
2
)
1
()(
x
xxf −=
2
2 1
)
1
)((2)(
xx
xxxf +−=
22
2 −
+−= xx

6. 6
(b)
(c)
(d).
=
=
=
3
202)(' −
−−= xxxf
3
2
2
x
x −=
#3
)
1
(2
x
x −=
2
)3()( += xxxf
[ ]2
1
2
)3( += xx
( )[ ] [ ]1.)3(1).3(2..3
2
1
)(' 21
2
1
2
++++=
−
xxxxxxf
[ ] [ ]22
1
2
)3()3(2.)3(
2
1
++++=
−
xxxxx
2
22
)3(
9662
+
++++
=
xx
xxxx
2
2
)3(
9123
+
++
=
xx
xx
( )( )
( ) #
2
32
333
+
++
=
xx
xx
( ) )17(14)(
32
+−= xxxf
( ) )8.()14(3).17()7.(14)(' 2232
xxxxxf −++−=
( ) )17.()14(24)7.(14 2232
+−+−= xxxx
[ ])17(247)14( 22
++−= xxx
)241687()14( 222
xxx ++−=
5
14
)( 2
+
+
=
x
x
xf
⇒
22
2
)5(
2).14(4).5(
)('
+
+−+
=
x
xxx
xf
22
22
)5(
28204
+
−−+
x
xxx
22
2
)5(
2420
+
−−
x
xx
22
2
)5(
)210(2
+
−−
=
x
xx
#
)5(
)2)(52(2
22
+
−+−
x
xx

7. 7
Soalan 6.
Diberi garis .
Diketahui kecerunan garis adalah
sama dengan pembezaan pada y.
.
Pada titik , kecerunan adalah
52
)8( xy −=
52
)8( xy −=
)(' xym =
)2.()8(5)(' 42
xxxy −−=
3−=x
)3(2.))3(8(5)3(' 42
−−−−=−y
6.)98(5 4
−=
4
)1(30 −=
#30=

8. 8
Soalan7.
Diberi .
Oleh kerana persamaan tangen dan persamaan normal menyentuh titik , maka
untuk mencari nilai y,
Persamaan tangen dan persamaan normal menyentuh koordinat titik .
Gunakan persamaan umum untuk
mencari persamaan garis tangen.
kecerunan garis tangen,
Pada titik .
Oleh itu persamaan garis tangen pada titik ,
592)( 2
−−= xxxf
2=x
⇒ 5)2(9)2(2)( 2
−−== yxf
15−=
∴( )15,2 −
)( hxmky −=−
⇒
)('1 xfm =
= 94 −x
,2=x 9)2(41 −=m 1−=
)15,2( −
⇒ )2(1)15( −=−− xy
215 +−=+ xy
#13−−= xy

9. 9
Oleh kerana syarat maka kecerunan
garis normal yang berserenjang dengan garis tangen, = .
Persamaan garis normal,
Soalan 8
(a)
=
(b)
,1. 21 −=mm 2m1
⇒
)2(1)15( −=−− xy
215 −=+ xy
152 −−= xy
#17−= xy
dxxdxx ∫∫ =
2
0
2
2
0
2
33
2
0
3
3
3 





=
x












−





=
3
0
3
2
3
33






−= 0
3
8
#8
dxx∫
9
2 dxx∫ 







=
9
2
2
1
dx
x










=
2
3
2
3
9
2
2
3
)(
3
2






= x=
( ) ( ) 


 − 2
3
2
3
29
3
2
( )[ ]33
)2(3
3
2
−=
#2
3
4
18−=

10. 10
Soalan 9.
Luas kawasan berlorek = Luas di bawah graf
Graf atas - graf bawah =
Luas kawasan berlorek =
Soalan 10.
Luas kawasan yang dibatasi oleh garis
⇒ xx −+ 32
⇒
∫−
+−
2
2
2
3xx
dx
2
2
23
3
23 −






+−= x
xx
( ) ( )






−+
−
−
−
−





+−= )2(3
2
2
2
)2(
)2(3
2
)2(
3
3
2
2323






−−−−





+−= 6
2
4
3
8
6
2
4
3
8
3
1
1512 +=
#
2
3
1
17 unit=
2
312 xy −=
y
xy=
32
+=xy
2
5
R
2−

11. 11
lengkung paksi x= -1 dan x =1 adalah sama dengan luas bawah graf.
Soalan 11.
Fungsi kuadrat umum , adalah
parabola yang mempunyai sifat berikut:
⇒
dxx )312(
1
1
2
∫−
−
= 1
1
3
3
3
12
−






−
x
x
[ ]1
1
3
12 −−= xx
[ ]1
1
3
12 −−= xx
[ ] [ ]33
)1()1(12)1()1(12 −
−−−−−=
)11(11 −−=
22= #
2
unit
86)( 2
+−= xxxh
cbxaxxf ++= 2
)( )0( ≠a

12. 12
(i) bucu parabola di ;
(ii) Parabola melengkung di atas jika
,
Bucu bagi fungsi
=
=
=
Bagi fungsi di atas, >0, maka fungsi melengkung di atas.
x -2 0 2 4 6
y 24 8 0 0 8
Luas,
Isipadu terjana lengkungan dengan
paksi-x ialah
)
4
,
2
(
2
a
b
c
a
b
−−
0>a
86)( 2
+−= xxxh
⇒
)
)1(4
)6(
8,
)1(2
)6(
(
2
−
−
−
−
)
4
36
8,
2
3
( −
)98,3( −
)1,3( −
1=a
2
)(radiusA ∏=
22
)86( +−∏= xx
)86)(86( 22
+−+−∏= xxxx
)644884836686( 223234
+−+−+−+−∏= xxxxxxxx
)64965212( 234
+−+−∏= xxxx
86)( 2
+−= xxxh

13. 13
∫ +−+−∏= dxxxxxv )64965212( 234
∫ +−+−∏= dxxxxx )64965212( 234






+−+−∏= x
xxxx
64)
2
(96)
3
(52)
4
(12
5
2345






+−+−∏= xx
x
x
x
6448
3
523
5
2
3
4
5