1. BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Fungsi dengan variabel kompleks dinyatakan misalnya dalam bentuk
f(z) dengan z adalah bilangan kompleks. Secara umum fungsi dengan variabel
kompleks mempunyai bagian real dan imajiner yang juga merupakan fungsi.
2 2 2 2 2
Misal f(z) = z , karena z = x + iy maka : z = (x + iy) = (x − y ) + i(2xy).
Bagian real dan bagian imajiner suatu fungsi kompleks secara umum
merupakan fungsi dari variabel x dan y. Bagian real dinyatakan dengan u(x,
y)dan bagian imajiner dinyatakan dengan fungsi v(x, y). Jadi suatu
fungkompleks f (z) = u(x, y) + i v(x, y). Dengan demikian untuk fungsi
kom– pleks di atas yang dinyatakan dengan f (z) = z 2 , maka u(x, y) = x2 − y2
dan v(x, y) = 2xy.
1.2 Rumuan Masalah
Adapun Rumusan masalah dalam makalah ini yaitu:
a) Apa itu fungsi kompleks?
b) Bagaimana cara melakukan operasi hitung pada fungsi kompleks?
1.3 Tujuan
a) Untuk mengetahui pengertian dari fungsi kompleks.
b) Agar bisa melakukan operasi hitung pada fungsi kompleks.
1

2. BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Pengertian Fungsi Kompleks dan Operasi Fungsi
Ada beberapa konsep dasar yang harus diketahui sebelum membahas
mengenai pengertian fungsi kompleks. Konsep dasar itu adalah pendahuluan dari
topologi yang menyangkut topik–topik berikut.
1. Himpunan di sini adalah koleksi titik–titik pada bidang z.
2. Operasi pada himpunan yaitu gabungan, irisan, penjumlahan dan pengurangan
beserta sifat–sifatnya, harus dikuasai dengan baik.
Berikut ini mari kita perhatikan konsep–konsep dari topologi:
1. Lingkungan
a. Lingkungan z0 : adalah himpunan semua titik z yang terletak di dalam lingkaran
yang berpusat di z0 , berjari–jari r, r > 0.
Ditulis sebagai : N (z0,r) atau 0 < | z – z0 | < r.
b. Lingkungan tanpa z0 : himpunan semua titik z ≠ z0 yang terletak di dalam
lingkaran yang berpusat di z0 , berjari–jari r, r > 0.
Ditulis sebagai : N* (z0,r) atau 0 < | z – z0 | < r.
Contoh 1 :
a. N (i,1) atau | z – i | < 1, lihat pada Gambar 2.1
b. N* (i, ) atau 0< | z | , dengan 0, lihat pada Gambar 2.2
y y
2i
i x
O
x
O
Gambar 2.1 Gambar 2.2
2

3. 2. Komplemen
Andaikan S suatu himpunan. Komplemen dari S ditulis SC, merupakan himpunan
semua titik pada bidang z yang tidak termasuk di S.
Contoh 2 :
a. H = {z│Im(z) >1} b. S = {z│2 < │z│ ≤ 3}
HC = {z│Im (z) ≤ 1} SC = {z││z│≤ 2, │z│> 3}
3. Titik limit
Titik z0 disebut titik limit dari himpunan S, jika untuk setiap N* (z0, ), maka S
N* (z0, )
4. Titik batas
Titik z0 disebut titik batas dari himpunan S, jika untuk setiap N* (z0, ) memuat
suatu titik di S dan memuat suatu titik yang tidak di S.
5. Batas dari himpunan S adalah himpunan semua titik batas dari S.
6. Interior dan Eksterior
Titik z0 disebut titik interior dari himpunan S, jika ada N(z0, ) sehingga N(z0,
) S. Titik yang bukan titik interior atau titik batas disebut titik eksterior.
7. Himpunan buka
Himpunan S disebut himpunan buka, jika S tidak memuat bagian dari batasnya.
8. Himpunan tutup
Himpunan S disebut himpunan tutup, jika S memuat semua batasnya.
9. Himpunan terhubung
Himpunan buka S disebut terhubung, jika setiap dua titik di S dapat dihubungkan
oleh beberapa penggal garis lurus yang seluruhnya terletak di S.
10. Daerah terbuka
Himpunan buka S yang terhubung disebut daerah terbuka.
11. Daerah tertutup
Daerah tertutup S adalah daerah terbuka S digabung dengan batasnya.
12. Penutup dari S adalah himpunan S digabung dengan titik limitnya.
3

4. Contoh 3:
Diberikan himpunan
A = {z||z| < 1}
B = {z||z| < 1} {(0,1)}
C = {z||z| 2}
Jawab :
Dapat didefinisikan bahwa A himpunan buka, terhubung.
Batas dari A adalah {z||z|=1}. Penutup dari A adalah {z||z| 1}
B bukan merupakan himpunan buka, bukan himpunan tutup.
Interior C adalah {z||z|< 2}.
2.1.1 FUNGSI
Fungsi kompleks didefinisikan serupa seperti pendefinisian pada fungsi real,
hanya peubah bebas dan peubah tak bebas berupa bilangan komlpleks. Berikut ini
definisi formal dari fungsi kompleks.
Definisi 1:
Misalnya D himpunan bilangan kompleks di bidang z. Fungsi komplek f adalah
suatu aturan yang memasangkan bilangan z anggota D dengan satu dan hanya satu
bilangan kompleks w pada bidang w, yaitu (z,w), fungsi tersebut ditulis w = f(z).
Himpunan D disebut domain (wilayah) dari f , dinyatakan oleh Df dan f(z) disebut
nilai dari z atau peta dari z oleh f. Range (jelajah) dari f, dinyatakan oleh Rf ; yaitu
himpuanan f(z) untuk setiap z anggota D. Untuk lebih memahami definisi di atas,
perhatikan ilustrasi berikut ini.
Contoh 4 :
Coba lihat,
a) w = z
b) w = yi
c) w = x2 – yi
d) w = z2 + 10z
e) w = z–1
4

5. f) w = │z│+ – z–2
g) w =
Masing–masing dengan z = x + yi sebagai peubah bebas dan w = u + vi sebagai peubah
tak bebas–nya, dan x, y, u dan v adalah bilangan real. Pernyataan a), b), c) dan d)
adalah fungsi dengan domain terluasnya adalah seluruh bilangan z. Sedangkan
pernyataan e), f) merupakan fungsi dengan domain terluasnya adalah semua titik
(bilangan kompleks) pada bidang z, kecuali z = 0. Dan pernyataan g) merupakan fungsi
dengan domain terluasnya adalah titik pada bidang z, kecuali z = .
Domain fungsi terkadang diberikan secara khusus, sebagai contoh :
f(z) = z2 , Df = {z││z│< 3}
Artinya himpunan titik–titik di dalam lingkaran yang berpusat di 0, jari–jari 3, pada
bidang z dipetakan oleh fungsi f(z) = z2, ke bidang w di mana w = f(z) = z2.
2.1.2 OPERASI PADA FUNGSI DAN FUNGSI KOMPOSISI
Operasi pada fungsi, menyangkut operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan
pembagian didefinisikan sebagai berikut.
a) (f + g)(z) = f(z) + g(z)
b) (f - g)(z) = f(z) – g(z)
c) (f.g)(z) = f(z).g(z)
d) (z) =
Masing–masing dengan syarat Df Dg dan untuk d) ditambahkan syarat
g(z) 0.
Contoh 5:
Diberikan fungsi f(z) = 3z+2i dan g(z) = z2 + 4z
Maka diperoleh:
a) (f + g)(z) = f(z) + g(z) = (3z+2i) + (z2 + 4z) = z2 + 7z +2i
b) (f – g)(z) = f(z) – g(z) = (3z+2i) – (z2 + 4z) = z2 – z +2i
c) (f . g)(z) = f(z) . g(z) = (3z+2i) . (z2 + 4z) = 3z3 + (12+2i)z2 + 8iz
d) (z) = =
5

6. Masing–masing pernyataan a), b), c) dengan syarat Df Dg dan untuk
2
pernyataan d) dengan syarat Df Dg dan z + 4z 0
Fungsi komposisi didefinisikan sebagai berikut. Misalnya diketahui fungsi f dengan
domain Df dan g dengan domain Dg. Jika Df Dg , maka ada fungsi komposisi
(g f) (z) = g (f(z)) dengan domain suatu himpunan bagian dari Df .
Contoh 6 :
Diberikan fungsi f(z)=z2 dan g(z)= , z = x + yi dengan
Df = {z|0 arg z } dan Dg = {z|0 arg z }
Maka diperoleh Rf = {z|0 arg z }, sehingga Jika Df Dg
Dengan demikian diperoleh
(g f) (z) = g (f(z)) = g (z2) = = = =
2.1.3 ARTI GEOMETRI DARI FUNGSI KOMPLEKS
Sebelum meninjau arti geometri dari fungsi kompleks, tinjaulah fungsi yang
sangat sederhana berikut.
Misalkan n bilangan cacah dan a0, a1, … , an bilangan kompleks.
Fungsi p(z) = a0 + a1zn + a2z2 + … +anzn , (an 0) disebut polinom dalam z dengan
derajat n, domain terluasnya adalah seluruh bidang z. jika p(z) dan q(z) masing–masing
polinom, maka dengan q(z) 0 disebut fungsi rasional yang didefinisikan pada
bidang z, kecuali di z untuk q(z) = 0.
Untuk memahami fungsi kompleks secara geometris perhatikan hal berikut.
Jika z = x + yi, maka fungsi w = f(z) dapat diuraikan menjadi w = u (x, y) + iv(x,y),
artinya Re(w) dan Im(w) masing–masing merupakan fungsi dua peubah real x dan y.
Demikian juga, jika z = r(cos + i sin ), maka w = u(r, ) + v(r, ).
Contoh 7 :
a) Jika z = x + yi, maka f(z) = z2 + i dapat diuraikan menjadi
f(z) = z2 + i = (x + yi)2 + i
= (x2 – y2) + (2xy + 1)i
dalam hal ini u = x2 – y2 , v = 2xy + 1
6

7. b) Jika z = r(cos + i sin ), maka f(z) = z2 + i dapat diuraikan menjadi
f(z) = z2 + i = [r(cos + i sin )]2 + i
= r2 cos2 – r2 sin2 + (1 + r sin 2 )i
Sehingga diperoleh :
u = r2 cos2 – r2 sin2 dan v = 1 + r sin 2 .
Pada bagian berikut kita akan melihat fungsi kompleks w = f(z) secara geometris,
sebagai pemetaan dari bidang z ke bidang w. Untuk setiap peubah bebas z = z + yi
anggota dari domain f pada bidang z ada satu dan hanya satu peubah tak bebas w = u
+ wi yang terletak pada bidang w. Kita menemui kesukaran untuk melihat pasangan
(z,w) dalam satu sistem. Meskipun demikian kita masih dapat melakukan sesuatu
untuk melihat gambaran dari w=f(z) pada bidang w berdampingan dengan bidang z.
Contoh 8 :
Diketahui fungsi w = . Untuk setiap peubah z = x + yi didapat nilai w = x – yi ,
misalnya untuk setiap z1 = 3 + 2i , z2 = 2 – i berturut–turut didapat w = 3 – 2i dan
w =2+ I . Semua titik z pada daerah segitiga ABC di bidang z petanya adalah semua
titik w pada daerah segitiga A’B’C’ di bidang w (lihat gambar 2.3). Dalam pernyataan
tersebut terkandung pernyataan apakah garis lurus di bidang z dipetakan menjadi
garis lurus di bidang w oleh fungsi w = .
Jawab:
Misalkan l : y = ax + b garis lurus di bidang z. w = = x – yi , berarti u = x, v = – y .
Subsitusikan ke l , diperoleh
–v = au + b atau v = –au – b merupakan garis lurus di bidang w.
C y y
z1
A w2
B
x u
z2 B
A ’ w1
’
C
’
Bidang z Bidang w
Gambar 2.3
7

8. Contoh 9 :
Diketahui fungsi w = │z│– yi. Jika diambil titik–titik z pada lingkaran x2 + y2 = c2 ,
c 0, makanya petanya adalah w = │z│– yi = – yi = c – yi , ini berarti u = c
; v = –y.
Pada lingkaran x2 + y2 = c2 nilai y terletak antara –c dan c yaitu –c , dengan
demikian –c . Dalam gambar 2.4 berikut terlihat bahwa lingkaran x2 + y2 = c2
petanya adalah penggal garis u = c dengan –c , dan peta lingkaran D adalah
penggal garis R. y v
u=v
D
zo
R
c c u
O x w0
u=-v
Bidang z Bidang w
Gambar 2.4
Contoh 10 :
Diketahui fungsi w = z2. Dengan menggunakan bentuk polar atau eksponen
z = r(cos + i sin ) = , mudah dilihat bahwa w = z2 = r2( ) = r2
y v
O x O u
Bidang z Bidang w
Gambar 2.5
8

9. LATIHAN SOAL
1. Jika f(z) = + 2 Im (z) , maka f(z) untuk z = 3 – 4i maka
2. Jika z = x + yi dan w = z2 – 3iz, maka nilai Re(w) dan Im(w) adalah
3. Nilai fungsi f(z) = untuk z = 2 + i adalah
4. Tentukanlah nilai fungsi
a) f(z) = z2 – 2z – 1 , untuk z = 1 + 2i
b) f(z) = , untuk z = 1 + i
c) f(z) = , untuk z = 3 + i
5. Diberikan fungsi f(z)=z2 dan g(z)= z , z = x + yi , maka nilai (f g) (z) adalah
6. Jika z = x + yi , nyatakan fungsi–fungsi berikut dalam bentuk u(x,y)+iv(x,y) dan
u(r, )+iv(r, )
a) f(z) = z2 + 3z3
b) f(z) =
c) f(z) = 2 +
7. Pada masing–masing soal berikut ada dua titik z dan suatu fungsi w=f(x).
Gambarkan titik z pada bidang z dan petanya, yaitu titk w pada bidang w.
a) z1= – 2i , z2 = 1 + i ; w = z–2i
b) z1= 2+ 2i , z2 = 3i ; w = iz
c) z1= 1+i , z2 = –4i ; w = i
8. Daerah pada bidang z berikut ada dua titik z berikut dipetakan oleh w=f(z) .
Gambarkan untuk masing–masing soal, daerah tersebut pada bidang z dan petanya
pada bidang w.
a) ; f(z) = z2
9

10. BAB III
PENUTUP
3.1 Kesimpulan
Fungsi komplek w=f(x) adalah suatu fungsi peubah dengan peubah bebas
bilangan kompleks z dan peubah tak bebas w juga bernilai bilangan kompleks. Fungsi
tersebut dapat diuraikan sebagai berikut
Jika z = x + yi , maka w = f(z)= u(x,y)+iv(x,y)
u(x,y) = Re(w) dan v(x,y) = Im (w)
atau,
w=f(x) = u(r, )+iv(r, ) ; r = ; = arg z
u(r, ) = Re(w) dan v(r, ) = Im (w)
Apabila tidak diberikan, yang dimaksud dengan domain fungsi f yaitu Df adalah
daerah terluas di bidang z yang mengakibatkan w=f(x) ada nilainya; sedangkan
range dari f yaitu Rf adalah himpunan semua w untuk setiap z anggota Df . Fungsi
w=f(x) dapat dipandang sebagai pemetaan dari domain di bidang z ke bidang w .
Secara geometris masing–masing bidang digambarkan terpisah, dengan ketentuan
bidang z mempunyai sumbu real x dan imajiner y sedangkan bidang w mempunyai
sumbu real u dan imajiner y.
3.2 Saran
Sebagai calon guru matematika hendaknya mampu serta memahami seluruh
materi pelajaran matematika yang akan kita ajarkan pada peserta didik. Dengan
harapan kita sebagai seorang guru dapat menanamkan konsep yang tepat dan jelas
mengenai materi yang kita ajarkan.
10