materi imit fungsi

1. FUNGSI, PEMETAAN, DAN LIMIT

2. Diberikan sebarang dua himpunan yang
tidak kosong A dan B.
Fungsi f dari himpunan A ke himpunan B
adalah aturan pengawanan setiap elemen
dengan tepat satu elemen .
Definisi fungsi
Elemen y biasa dinyatakan dengan f(x) dan disebut
sebagai nilai fungsi y di x atau bayangan x oleh
fungsi y .
Himpunan A dinamakan daerah definisi dan himpunan B
dinamakan daerah hasil atau daerah nilai fungsi .

3. Fungsi variabel kompleks
Definisi fungsi kompleks mirip dengan
definisi fungsi real yaitu dengan
menggantikan variabel bebas x dengan z dan
variabel tak bebas y dengan w
Misalkan z = x+iy dan terdapat w= f(z) = u + iv
di mana u adalah bagian real dan v adalah bagian
imajiner dari w.
Maka w dapat dinyatakan sebagai
w = f(z) = f(x,y) = f(x + iy) = u + iv .

4. Bentuk dari f(z)
bentuk pasangan fungsi bernilai real
dari variabel real x dan y
f(z) = u(x,y) + iv(x,y)
bentuk polar
w = u + iv = f(reiθ ) = u(r,θ) + iv(r,θ)

5. Contoh 1
Nyatakan f(z) = z2 dalam bentuk kartesius.
Penyelesaian:
f(z) = f(x + iy)
= (x + iy) 2
= x2 – y2 + 2ixy
= u(x,y) + iv(x,y)
Diperoleh
u(x,y) = x2 – y2 dan v(x,y) = 2xy

6. Contoh 2
Nyatakan dalam bentuk polar.
Penyelesaian:

7. Contoh 3
Diketahui
Kita tahu bahwa dalam bentuk polar,
mempunyai hasil ganda yaitu
dimana θ arg z bernilai (-π < θ ≤ π).
Tetapi apabila kita hanya memilih nilai
yang positif saja sehingga dengan
(r > 0, -π < θ ≤ π) maka kita akan
mendapatkan hasil tunggal dari fungsi f
yang terdefinisikan secara jelas menurut
domainnya.

8. MAPPING
Fungsi real dalam variabel real seringkali
digambarkan dalam bentuk grafik. Tetapi jika f(z),
dimana z dan w anggota bilangan kompleks, maka
penggambaran fungsi f dalam grafik tidak selalu
tepat. Sebab, setiap indeks z dan w tidak hanya
ditempatkan dalam suatu garis namun ditempatkan
dalam suatu bidang.
Akan tetapi, bagaimanapun juga kita harus dapat
menggambarkan fungsi kompleks dengan memasangkan
indeks z=(x,y) dan w=(u,v).

9. Mapping (pemetaan) w = f(z) = u(x,y) + i(x,y) (x,y)
Untuk fungsi-fungsi yang sederhana, bayangannya
dapat digambar sebidang dengan domainnya. (Bidang
z dan w dapat dihimpitkan)
Contoh: translasi, refleksi, rotasi

10. Dari contoh 1
Berdasarkan contoh 1 di atas, diperoleh :
u = x2 – y2 dan v = 2xy………………(i)
Bayangan pada daerah 0 ≤ x ≤ 1 , y ≥ 0
dapat dilihat pada gambar (1).
Ketika 0 < x1 < 1 , titik (x1,y) ditunjukkan
oleh garis vertical L1 pada gambar (1) dan
terus naik dari y = 0 dengan persamaan :
u = x1
2– y2 dan v = 2x1 y…………………(ii)
Dari (ii) diperoleh:
u = x1
2 – y2  y2 = x1
2 – u
v2 = 4 x1
2 y2
v2 = 4 x1
2 (x1
2 – u)
v2 = - 4 x1
2 (u - x1
2)………………………(iii)

11. Lanjutan……
Grafik di daerah
(x,y)
Hasil transformasi
ke daerah (u,v)

12. Dari contoh 2
Diketahui w = z + 1/z
Kita akan menunjukkan bayangan domain yang
terdiri atas titik-titik di atas bidang y >
0 dengan eksterior │z│= 1 pada bidang di
atas bidang v > 0.
Grafik di daerah (x,y)
Hasil transformasi ke
daerah (u,v)

13. Dari contoh 3
Grafik di daerah (x,y)
Hasil transformasi ke
daerah (u,v)

14. DEFINISI 1:
Diberikan suatu fungsi f yang terdefinisi
pada daerah DC dan z0 D.
a. jika dan hanya jika
untuk setiap bilangan terdapat
sehingga jika , berlaku
b. jika dan hanya jika untuk
setiap lingkungan terdapat
lingkungan terhapuskan N*(z0, )
sehingga jika berlaku
,
)
N*(z0
f(z) N(L
).

15. TEOREMA 1:
Diberikan fungsi komplek f terdefinisi pada
daerah dengan dan
a. Jika dan dan maka
b. jika dan hanya jika terdapat
bilangan dan bilangan sehingga
berlaku untuk setiap
TEOREMA 2:
Diberikan fungsi kompleks f dan g yang terdefinisi pada daerah
dengan
Jika dan maka
a. .
b. .
c. .
d

16. TEOREMA 3:
Diberikan fungsi kompleks f yang terdefinisi pada daerah D C dengan zo D.
a. Jika f(z)=L, L≠0 maka
b. f(z)=0, jika dan hanya jika
TEOREMA 4:
Diberikan fungsi f, g, dan h didefinisikan pada daerah dan Jika untuk
setiap N*(z0), dan, maka
Jika untuk setiap N*(z0, , dan
Maka
.

17. .
TEOREMA 5:
Diberikan f(z)=u(x,y)+iv(x,y) terdefinisi
pada daerah
dan zo=
a+ib
jika dan hanya
jika
da
n
TEOREMA 6:
Diberikan f(z)=u(x,y)+iv(x,y), terdefinisi
pada daerah
dan zo=
a+ib
Jik
a
mak
a
selalu ada dengan nilai L
untuk
sepanjang
kurva
dan z0 suatu
limit S.
Akibat dari teorema di atas adalah sebagai
berikut:
“Jika fungsi f mempunyai limit yang berbeda
untuk
sepanjang dua kurva yang mempunyai titik
limit z0, maka
tidak
ada”.

18. TERIMA KASIH