1. BAB II
PEMBAHASAN
A. Deret
Deret adalah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur dan
memenuhi kaidah-kaidah tertentu. Bilangan-bilangan yang merupakan unsur dan
pembentuk sebuah deret dinamakan suku. Keraturan rangkain biangan yang
membentuk sebuah deret terlihat pada “pola perubahan” bilangan-bilangan
tersebut dari satu suku ke suku berikutnya.
Dilihat dari jumlah suku yang membentuknya, deret digolongakan atas
deret berhingga dan deret takberhingga. Deret berhingga adalah deret yang
jumlah suku-sukunya tertentu, sedangkan deret tak berhingga adalah deret yang
julmlah suku-sukunya tidak terbatas. Dan dilihat dari segi pola perubahan bilangan
pada suku-sukunya, deret bisa dibeda-bedakan menjadi deret hitung dan deret
ukur.
1. Deret Hitung
Deret hitung ialah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan
penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu.bilangan yang membedakan
suku-suku dari deret hitung itu diamakan pembeda, yang tak lain merupakan
selisih antara nilai-nilai dua suku yang berurutan.
Contoh:
a. 7, 12, 17, 22, 27, 32 (pembeda = 5)
b. 93, 83 ,73, 63, 53, 43 (pembeda = -10)
Dua hal yang penting untuk diketahui atau dihitung dalam setiap
persoalan deret, baik deret hitung maupun deret ukur, adalah besarnya nilai
pada suatu suku tertentu dan jumlahnya nilai deret tersebut sampai ke suku
yang bersangkutan.1
1Dumairy, Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi, (Yogyakarta: BPFE-
YOGYAKARTA, 2012), h. 43-44.
2. 1) Suku ke-n dari Deret Hitung
Besarnya nilai suku tertentu (ke-n) dari sebuah deret hitung dapat
dihitung melalui sebuah rumus. Perhatikan contoh berikut, dalam cotoh
tersebut, nilai pertamya (a) adalah 7 dan pembedanya (b) adalah 5.
7, 12, 17, 22, 27, 32
S1 S2 S3 S4 S5 S6
S1 = 7 = a
S2 = 17 = a + b = a + (2 - 1)b
S3 = 17 = a + 2b = a + (3 - 1)b
S4 = 22 = a + 3b = a + (4 - 1)b
S5 = 27 = a + 4b = a + (5 - 1)b
S6 = 32 = a + 5b = a + (6 - 1)b
Berdasarkan rumus diatas, dengan begitu bisa diterapkan untuk
menghitung nilai-nilai tertentu. Sebagai contoh, nilai suku ke-10 dan ke-23
dari deret hitung ini masing-masing adalah:
S10 = a = (n + 1)b = 7 + (10 - 1)5 = 7 + 45 = 52.
S23 = a + (n - 1)b = 7 + (23 – 1)5 = 7 + 110 =117.
2) Jumlah n suku
Jumlah sebuah deret hitung sampai dengan suku tertentu tak lain
adalah jumlah nilai suku-sukunya, sejak suku pertama (S1 atau a) sampai
dengan suku ke-n (Sn) yang bersangkutan.2
𝐽 𝑛 = ∑ 𝑆𝑖
𝑛
𝑖 =1
= 𝑆1 + 𝑆2 + … … … + 𝑆 𝑛
2Ibid ., h. 44.
Sn = a + (n – 1)b
a : suku pertama
atau SI
b : pembeda
n : indeks suku
3. 𝐽 𝑛 = ∑ 𝑆𝑖 =
4
𝑖=1
𝑆1 + 𝑆2 + 𝑆3 + 𝑆4
𝐽5 = ∑ 𝑆𝑖
5
𝑖 =1
= 𝑆1 + 𝑆2 + 𝑆3 + 𝑆4 + 𝑆5
𝐽6 = ∑ 𝑆𝑖
6
𝑖 =1
= 𝑆1 + 𝑆2 + 𝑆3 + 𝑆4 + 𝑆5 + 𝑆6
Berdasarkan rumus 𝑆 𝑛 = a + (n – 1)b sebelumnya, maka masing-
masing Si dapat diuraikan. Dengan menguraikan setipa Si maka J4, J5, dan J6
dalam ilustrasi diatas akan menjadi masing-masing sebagai berikut:
𝐽4 = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b)
= 4a + 6b
𝐽5 = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b)
= 5a + 10b
𝐽6 = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b) + (a + 5b)
= 6a + 15b
Masing-msing Ji ini dapat pula ditulis ulang dalam bentuk sebagai berikut:
J4 = 4a + 6b = 4a +
4
2
(4 – 1)b
J5 = 5a + 10b = 5a +
5
2
(5 – 1)b
J6 = 6a + 15b = 6a +
6
2
(6 – 1)b
Rumus Jn =
𝑛
2
{ 2a + (n – 1)b } ini masih bisa disederhanakan lagi menjadi
seperti berikut:
Jn = na +
𝑛
2
(n – 1)b
Jn =
𝑛
2
{ 2a + (n – 1)b }
Atau
4. Jn =
𝑛
2
{ 2a + (n – 1)b }
=
𝑛
2
{ a + a (n – 1)b }
=
𝑛
2
(n + Sn)
Dengan demikian, untuk menghitung jumlah sebuah deret hitung sampai
dengan suku tertentu n, terdapat dua bentuk rumus yang bisa digunakan:
Jn =
𝑛
2
(a + Sn) dan Jn = +
𝑛
2
(n – 1)b
Untuk kasus deret hitung dalam contoh 1) diatas tadi, jumlahnya sampai
dengan suku ke-10 adalah:
J10 =
10
2
(7 + S10) = 5 (7 + 53) = 295.
Sedangkan untuk kasus deret hitung dalam contoh 2), jumlahnya sampai
dengan suku ke-10 adalah:3
J10 = (10)(93) +
10
2
(10 – 1)(-10) = 930 + 5(9)(-10) = 480.
3Ibid., h. 44-46.
