PPT Barisan dan Deret Aritmatika

1. BARISAN DAN DERET
ARITMETIKA
By : Tri
Wahyuningsih
A 410 060 292

2. A. Barisan Aritmetika
• Definisi
• Bilangan yang tetap tersebut disebut beda
dan dilambangkan dengan b.
• Perhatikan juga barisan-barisan bilangan
berikut ini.
a. 1, 4, 7, 10, 13, ...
b. 2, 8, 14, 20, ... Barisan
Aritmetika
c. 30, 25, 20, 15, ...
Barisan aritmetika adalah suatu barisan
bilangan yang selisih setiap dua suku
berturutan selalu merupakan bilangan tetap
(konstan).

3. Contoh :
a. 1, 4, 7, 10, 13, ...
+3 +3 +3 +3
Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari
suku sebelumnya ditambah 3. Dapat dikatakan
bahwa beda sukunya 3 atau b =3.
b. 2, 8, 14, 20, ...
+6 +6 +6
Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari
suku sebelumnya ditambah 6. Dapat dikatakan
bahwa beda sukunya 6 atau b = 6.

4. c. 30, 25, 20, 15, ...
–5 –5 –5
Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari
suku sebelumnya ditambah –5. Dapat dikatakan
bahwa beda sukunya –5 atau b = –5.
Secara umum dapat dikatakan sebagai berikut.
Rumus umum suku ke-n barisan aritmetika dengan
suku pertama (U ) dilambangkan dengan a dan beda
dengan b dapat ditentukan seperti berikut.
Jika Un adalah suku ke-n dari suatu
barisan aritmetika maka berlaku b = Un –
Un – 1.
1

5. U = a
U = U + b = a + b
U = U + b = (a + b) + b = a + 2b
U = U + b = (a + 2b) + b = a + 3b
U = U + b = (a + 3b) + b = a + 4b
.
.
.
U = U + b = a + (n – 1)b
Jadi, rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalah
Keterangan: Un = suku ke-n
a = suku pertama
b = beda
n = banyak suku
U = a + (n – 1)b
1
1
2
2
3
3
4
4
5
n
n
1

n

6. Contoh 1 :
Tentukan suku ke-8 dan ke-20 dari barisan –3, 2, 7,
12, ....
Jawab:
–3, 2, 7, 12, …
Suku pertama adalah a = –3 dan
bedanya b = 2 – (–3) = 5.
Dengan menyubstitusikan a dan b, diperoleh :
U = –3 + (n – 1)5.
Suku ke-8 : U = –3 + (8 – 1)5 = 32.
Suku ke-20 : U = –3 + (20 – 1)5 = 92.
n
8
20

7. Contoh 2 :
Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40.
Tentukan banyak suku barisan tersebut.
Jawab:
Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40.
Dari barisan tersebut, diperoleh a = –2, b = 1 – (–2)
= 3,dan
U = 40.
Rumus suku ke-n adalah U = a + (n – 1)b sehingga;
40 = –2 + (n – 1)3
40 = 3n – 5
3n = 45
Karena 3n = 45, diperoleh n = 15.
Jadi, banyaknya suku dari barisan di atas adalah 15.
n
n

8. B. Deret Aritmetika
• Definisi
• Deret aritmetika adalah jumlah n suku pertama
barisan aritmetika. Jumlah n suku pertama dari
suatu barisan bilangan dinotasikan S .
Dengan demikian, S = U1 + U2 + U3 + ... + U .
Untuk memahami langkah-langkah menentukan
rumus S , perhatikan contoh berikut :
Misalkan U1, U2, U3, ..., Un merupakan suku-suku
dari suatu barisan aritmetika. U1 + U2 + U3 + ... +
U disebut deret aritmetika, dengan U = a + (n –
1)b.
n
n
n
n
n
n

9. Contoh 1 :
Diketahui suatu barisan aritmetika 2, 5, 8, 11,
14. Tentukan jumlah kelima suku barisan tersebut.
Jawab:
Jumlah kelima suku 2, 5, 8, 11, 14 dapat
dituliskansebagai berikut.
S = 2 + 5 + 8 + 11 + 14
S = 14 + 11 + 8 + 5 + 2
2S = 16 + 16 + 16 + 16 + 16
2S = 5 x 16
S = S = 40
Jadi, jumlah kelima suku barisan tersebut adalah 40.
5
5
5
5 5
5
2
16
5

10. Menentukan rumus umum untuk S
sebagai berikut. Diketahui rumus umum
suku ke-n dari barisan aritmetika adalah
U = a + (n – 1)b. Oleh karena itu,
U = a = a
U = a + b = U – (a – 2)b
U = a + 2b = U – (n – 3)b
. . .
. . .
. . .
U = a + (n – 1)b = U
n
n
1
2
3
n
n
n n

11. Dengan demikian, diperoleh ;
S = a + (a + b) + (a + 2b) + ... + (a + (n – 1)b)
= a + (U – (n – 2) b) + (U – (n – 3) b) + ... + U
............ (1)
Dapat pula dinyatakan bahwa besar setiap suku adalah
b kurang dari suku berikutnya.
U = U – b
U = U – b = U – 2b
U = U – b = U – 3b
Demikian seterusnya sehingga S dapat dituliskan
S = a + (U – (n – 1)b) + … + (U – 2b) + (U – b) + U
.......... (2)
n
n
n n
1

n
1

n
2

n
2

n
3

n
n
n
n
n
n n n n
n

12. Dari persamaan 1 dan 2 jika kita jumlahkan, diperoleh ;
S = a + (U – (n – 2)b) + (U – (n – 3)b) + ... +U
S = U + (U – b) + (U – 2b) + ... + a
2S = (a + U ) + (a + U )+ (a + U ) + ... + (a + U )
n suku
Dengan demikian, 2S = n(a + U )
S = n(a + U )
S = n(a + (a + (n – 1)b))
S = n(2a + (n – 1)b)
n n n n
n n n n
n n n n n
n n
n
n
n
2
1
2
1
2
1
n

13. Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama deret
aritmetika adalah
Keterangan:
S = jumlah n suku pertama
a = suku pertama
b = beda
U = suku ke-n
n = banyak suku
S = n(a + U) atau
S =n [2a + (n – 1)b]

14. Contoh 2:
Carilah jumlah 100 suku pertama dari deret 2 + 4 + 6 +
8 +....
Jawab:
Diketahui bahwa a = 2, b = 4 – 2 = 2, dan n = 100.
S = x 100 {2(2) + (100 – 1)2}
= 50 {4 + 198}
= 50 (202)
= 10.100
Jadi, jumlah 100 suku pertama dari deret tersebut
adalah 10.100.
100
2
1

15. Contoh 3:
Hitunglah jumlah semua bilangan asli kelipatan 3
yang kurang dari 100.
Jawab:
Bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah
3, 6, 9, 12, ..., 99 sehingga diperoleh
a = 3, b = 3, dan U = 99.
Terlebih dahulu kita cari n sebagai berikut ;
U = a + (n – 1)b
99 = 3 + (n – 1)3
3n = 99
n = 33
Jumlah dari deret tersebut adalah
n
n

16. S = n (a + U )
S = x 33(3 + 99)
= 1.683
Jadi, jumlah bilangan asli kelipatan 3 yang kurang
dari 100 adalah 1.683
n n
2
1
2
1
33