1. KAPITA SELEKTA MATEMATIKA
BARISAN DAN DERET BILANGAN
DISUSUN OLEH :
PUTRI AFRI FAUZIAH
E1R 012 041
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MATARAM
2013
2. BARISAN DAN DERET BILANGAN
Kelas : IX
Semester : II
StandarKompetensi :
6. Memahami barisan dan deret bilangan serta penggunaannya dalam pemecahan
masalah
KompetensiDasar :
6.1Menentukan polabarisanbilangansederhana
6.2 Menentukansukuke-n barisanaritmatikadanbarisangeometri
6.3 Menentukan jumlah n suku pertama deret aritmatika dan deret geometri
6.4Memecahkan masalah yang berkaitandenganbarisandanderet
3. Un = 2n-1
MATERI
A. POLA BILANGAN
1. PengertianPolaBilangan
Polabilanganadalahurutanbilangan-bilangantertentu yang
membentuksuatubarisanbilangan.Berikutiniadalahjenis-jenispolabilangan :
a. PolaBilanganGanjil
Barisan 1, 3, 5, 7, 9, …disebutpolabilanganganjil.
Rumussukuke-n adalah
Gambarpola:
b. PolaBilanganGenap
Barisan 2, 4, 6, 8, … disebutpolabilangangenap.
Rumussukuke-n adalah
Gambar pola:
Un = 2n
4. c. PolaBilanganSegitiga
Barisan 1, 3, 6, 10, 15, …disebutpolabilangansegitiga
Rumussukuke-n adalah
Gambarpola:
Pola tersebut dapat disusun dengan barisan bilangan berikut.
1 = 1
3 = 1 + 2
6 = 1 + 2 + 3
10 = 1 + 2 + 3 + 4
15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5
d. PolaBillanganPersegi
Barisan1, 4, 9, 16, …disebutpolabilanganpersegi.
Rumus suku ke-n adalah
Gambarpola:
Un = n (n+1)
Un = n2
5. e. PolaBilanganPersegiPanjang
Barisan2, 6, 12, 20, …disebutpolabilanganpersegipanjang.
Rumus suku ke-n adalah
Gambarpola:
2. PolaBilanganpadaSegtiga Pascal
a. MengenalSegitiga Pascal
Untukmengetahuibagaimanasusunanbilangan-bilanganpadasegitigapascal,
makaperluterlebihdahulukitamemperhatikanpapanpermainanberikut.
Susunanbilangan-bilangansepertipadagambardisebutsegitigapascal.Kata
segitigadiberikanmengingatsusunanbilangan-
bilanganitumembentuksebuahsegitiga.Sedangkan kata
pascaldiberikanuntukmengenangBlaise Pascal (1623 - 1662),
seorangahlimatematikabangsaPerancis yang menemukansusunanbilangan-
bilangantersebut.Jika di perhatikan,
ternyataterdapathubunganantarasuatubilangandenganjumlahbilanganberdekatan
yang terdapatpadabaris yang adatepat di atasnya.
Un = n (n + 1)
6. b. JumlahBilanganpadaSetiapBarispadaSegitga Pascal
Penjumlahan bilangan-bilangan pada setiap baris dalam segitiga pascal, akan
diperoleh hasil yang menunjukkan barisan bilangan. Perhatikan penjumlahan
bilangan-bilangan pada setiap baris pada segitiga pascal berikut.
Dari jumlahbilangan-bilanganpadasetiapbarisdaribilangansegitigapascal di
atas, makadapatdinyatakanbahwa:
Contoh :
Berapakahjumlahbilanganpadasegitigapascalpadabaris ke-10.
Penyelesaian:
n = 10
Sn= 2n–1
S10= 210–1
= 29
= 512
Jadi, jumlahbilangansegitigapascalpadabaris ke-10 adalah 512.
Dalam pola bilangan segitiga pascal, jumlah bilangan pada baris ke-n
adalah Sn= 2n-1
jumlah
7. c. PenerapanBilanganSegitiga Pascal pada Binomial Newton
Segitiga Pascal dapatdigunakanuntukmenentukankoefisienpadasukubanyak
(x+y)n
dengan n bilanganasli.
Misalnya,
a) (x + y)1
= 1x + 1y = x + y
b) (x + y)2
= 1x2
+ 2xy + 1y2
= x2
+ 2xy + y2
c) (x + y)3
= 1x3
+ 3x2
y + 3xy2
+ 1y3
= x3
+ 3x2
y + 3xy 2
+y3
d) (x + y)4
= 1x4
+ 4x3
y + 6x2
y2
+ 4xy3
+ 1y4
= x4
+ 4x3
y + 6x2
y2
+ 4xy3
+ y4
3. MenemukaPoladariPerhitunganBilangan
PadaBagian 1, telahkitapelajaripolabilanganganjil. Jumlah bilangan-bilangan
ganjil berurutan (jumlah n bilangan ganjil yang pertama)akanmemilikipolatertentu,
yaitu :
1+ 3 = 4 = 22
,
1 + 3 + 5 = 9 = 32
,
1+ 3 + 5 + 7 = 16 = 42
, danseterusnya.
Jikakitaperhatikan, akandiperoleh :
a. Jumlahduabilanganganjil yang pertamasamadengankuadratdaribilangan 2,
b. Jumlahtigabilanganganjil yang pertamasamadengankuadratdaribilangan 3,
c. Jumlahempatbilanganganjil yang pertamasamadengankuadratdaribilangan 4,
danseterusnya.
Sekarang, amatilahpolabilangandariperhitunganberikutini.
22
– 12
= 4 – 1 = 3 = 2 + 1,
32
– 22
= 9 – 4 = 5 = 3 + 2,
42
– 32
= 16 – 9 = 7 = 4 + 3,
52
– 42
= 25 – 16 = 9 = 5 + 4, danseterusnya.
8. Polabilangantersebutmenunjukkanbahwaselisihdarikuadratbilanganberuruta
nsamadenganjumlahdaribilanganberurutantersebut. Hal
inidapatditunjukkandengancaraaljabarberikutini.
Misalkan, bilangan yang berurutanituadalaha dana + 1 maka
(a + 1)2
– a2
= a2
+ 2a + 1 – a2
= 2a + 1 = (a + 1) + a
Polabilangantersebutselalubenaruntuksetiapa bilanganasli.
B. BARISAN DAN DERET BILANGAN
1. BarisanBilangan
Barisan bilangan adalah bilangan-bilangan yang diurutkan dengan pola
(aturan) tertentu.
Misalnya :
a. 40, 44, 48, 52, …
b. 1, 3, 5, 7, 9, …
c. 2, 4, 6, 8, 10, …
Bilangan-bilangan yang
membentuksuatubarisanbilangandisebutsukubarisantersebut.Misalnya,
padabarisanbilanganganjil 1, 3, 5, 7, ...suku ke-1 daribarisantersebutadalah 1, suku
ke-2 adalah 3, suku ke-3 adalah 5, danseterusnya.
Jadi, suatubarisanbilangandapatdikatakansebagaisuatubarisan yang
dibentukolehsuku-sukubilangan.
Suatubarisanbilangandapat pula dibentukdaribilangan-bilangan yang
tidakmempunyaipola (aturan) tertentu, misalnyabarisanbilangan 1, 2, 5, 7, 3, 4,
...Barisanbilangansepertiinidisebutbarisanbilangansebarang.
2. DeretBilangan
Amati kembalibarisan-barisanbilanganberikut.
9. a. 40, 44, 48, 52, …
b. 1, 3, 5, 7, …
c. 2, 4, 6, 8, …
Berdasarkanpolaketigabarisantersebut, dapatdiperolehpenjumlahanberikut.
a. 40 + 44 + 48 + 52+ …
b. 1 + 3 + 5 + 7 + 9+ …
c. 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + …
Penjumlahansuku-sukudaribarisan-barisantersebutdinamakanderet.
Olehkarenaitu, jikaU1, U2, U3, ...,Un adalahsuatubarisanbilanganmakaU1 + U2 +
U3 + ... + Un dinamakanderet.
3. BarisanAritmatika
Amati keempatbarisanbilanganberikut.
a. 1, 3, 5, 7, 9, ...,Un
b. 99, 96, 93, 90, ...,Un
c. 1, 2, 5, 7, 12, ...,Un
Selisihduasukuberurutanpadabarisan (a) selalutetap, yaitu 2.Demikian pula
selisihduasukuberurutanpadabarisan (b) selalutetap, yaitu 3.Barisanbilangan yang
demikiandinamakanbarisanaritmetika.Adapunselisihduasukuberurutanpadabarisan
(c) tidaktetap.Barisanbilangan (c) bukanmerupakanbarisanaritmetika.
Padabarisanaritmetika,
selisihduasukuberurutandinamakanbedadandilambangkandenganb. Secaraumum,
barisanaritmetikadidefinisikansebagaiberikut.
SuatubarisanU1, U2, U3, ...,Un, Un + 1
dinamakanbarisanaritmetikajikauntuksetiapn bilanganaslimemenuhi
Un+ 1 – Un = Un – Un–1 = ... = U2 – U1 = b.
Jikasukupertamabarisanaritmetikaadalaha denganbedab makabarisanaritmetikaU1,
U2, U3, ...,Un menjadi
a, a + b , a + 2b , ..., a + (n – 1) b
10. a = U1
a + b = U2
a + 2b = U3
a + (n – 1)b = Un
Dengandemikian, sukuke-n barisanaritmetikadirumuskansebagaiberikut.
Menetukan Un jika Sn diketahui
Contoh :
1. DiketahuiSukuke 5 barisanAritmatikaadalah 23, dansukuke 9 adalah 35.
Tentukansukuke 20 barisantersebut?
Penyelesaian :
U5 = a + 4b = 23
U9= a + 8b = 35
- 4b = -12
b = 3 ; a = 11
U20 = a + 19b
= 11 + 19.3
= 11 + 27
= 38
2. Tentukansuku ke-20 daribarisanbilanganaslikelipatan 3 kurangdari 100.
Penyelesaian:
Barisanbilanganaslikelipatan 3 yang kurangdari 100 adalah 3, 6, 9, 12, ..., 99.
a = 3 dan b = 3
Un = a + (n – 1)b
U20 = 3 + (20 – 1)3 = 3 + 57 = 60
U
n
= S
n
– S
n-1
Un = a + (n – 1) b
11. Jadi, suku ke-20 daribarisanbilanganaslikelipatan 3 kurangdari 100 adalah 60.
4. DeretAritmatika
BerdasarkanpolapertamabarisanaritmetikapadaBagian 3,
dapatdiperolehpenjumlahansebagaiberikut.
1 + 3 + 5 + 7 + ... + Un.
DeretinidinamakanderetaritmetikanaikkarenanilaiUn semakinbesar.
99 + 96 + 93 + 90 + ... + Un.
DeretinidinamakanderetaritmetikaturunkarenanilaiUn semakinkecil.
Kitadapatmenentukansuku-sukupadaderetaritmetikasebagaiberikut.
Misalkan, jumlahn sukupertamaderettersebutdilambangkandenganSnmaka
Sn= a + (a + b) + ... + (a + (n – 2)b) + (a + (n – 1)b)
Sn= (a + (n – 1)b) + (a + (n – 2)b) + ... + (a + b) + a
2Sn = (2a + (n – 1)b) + (2a + (n – 1)b) + ... + (2a + (n – 1)b)
nfaktorsama
2Sn = n(2a + (n – 1)b) makaSn = (2a + (n – 1)b)
Jadi, jumlahn sukupertamaderetaritmetikaadalah
OlehkarenaUn = a + (n – 1)b, rumusSndapatdituliskansebagaiberikut.
Contoh:
Sn = (a + Un) atauSn= (U1 + Un)
Sn= (2a + (n – 1)b)
12. 1. Tentukanjumlahbilanganbulatantara 250 dan 1.000 yang habisdibagi 7.
Penyelesaian:
Jumlahbilanganbulatantara 250 dan 1.000 yang habisdibagi 7 adalah 252 + 259 +
266 + ... + 994.
Deretbilanganinimerupakanderetarimetikadengana = 252, b = 7, danUn= 994
sehingga
Un = a + (n – 1)b
994 = 252 + (n – 1)7
994 = 252 + 7n – 7
994 = 245 + 7n
7n = 994 – 245
7n = 749
n = 107
Sn= (a + Un)makaS107 = (252 + 994) = 66.661
Jadi, jumlahnyaadalah 66.661
2. DiketahuiSn = 2n2
+ 3n. TentukanSukuke 10 Derettersebut.
Penyelesaian:
Sn = 2n2
+ 3n
Un = Sn – Sn-1
S10 = 2.102
+ 3.10
= 200 + 30
= 230
S9 = 2.92
+ 3.9
= 162 + 27
= 189
13. U10 = 230 – 189 = 52
5. BarisanGeometri
Amatilahketigabarisanberikutini.
5, 15, 45, 135, …
160, 80, 40, 20, …
2, 8, 24, 120.
Padabarisan (a) tampakbahwa = 3.
Jadi, perbandinganduasuku yang berurutanpadabarisantersebutsama, yaitu 3.
Demikian pula barisan (b) memilikiperbandingan yang samauntukduasuku yang
berurutan, yaitu . Barisanbilangan (a) dan (b)
dinamakanbarisangeometri.Adapunperbandinganduasuku yang berurutanpadabarisan
(c) tidaksama. Barisan (c) bukanmerupakanbarisangeometri.
Perbandinganduasuku yang
berurutanpadabarisangeometridinamakanpembandingataurasio,
dilambangkandenganr.
Secaraumum, barisangeometrididefinisikansebagaiberikut.
SuatubarisanU1, U2, U3, ...,Un, Un+1
dinamakanbarisangeometriapabilauntuksetiapn bilanganasliberlaku
Jikasukupertamabarisangeometriadalaha denganpembandingnyar
makabarisangeometriU1, U2, U3, ...,Un dinyatakandengan
a, ar, ar2
, ..., arn–1
, ...
U1, U2, U3, ...., Un
sehinggarumussukuke-n barisangeometriadalahsebagaiberikut.
=
