1. FUNCIONS

2. Introducció La representació gràfica de les funcions és la manera més immediata d’entendre i verificar la conexió entre les variables que es relacionen. Aquestes gràfiques es fan servir en diferents disciplines per deduir les lleis que regeixen diferents fenòmens.

3. Introducció 2 Funció : correspondència entre variables que associa amb cada valor d’una, un únic valor de l’altra. Variable independent : pot pendre qualsevol valor. Variable dependent : el seu valor depèn del valor que prengui la variable independent.

4. Introducció 3 Domini : Conjunt de tots els valors que pot pendre la variable independent. Recorregut : conjunt de tots els valors que pot pendre la variable dependent. Funció discontinua : presenta un o diversos punts en que la variable independent no té imatge.

5. 1. Conèixer l’expressió d’una funció La relació entre dues variables la podem expressar de dues maneres: Per mitjà d’un text: descripció verbal o escrita que expressa la relació entre dues variables. És el que solem anomenar anunciat del problema. Per mitjà de taules: els valors de la variable independent i els seus valor associats per a la variable dependent s’organitzen en forma de taula. Per mitjà de gràfiques: ens dóna una visió qualitativa de la relació uqe hi ha entre les variables. Pot ser una representació sobre els eixos de coordenades. Per mitjà d’una fórmula o expressió algebraica: hi podrem calcular quin valor de la variable dependent correspon a un cert valor de la variable independent, i a l’inrevés.

6. Exemple Suposem una situació com aquesta: vas al supermercat i, entre altres coses vols comprar fruita. El preu de les taronges és d’1,5 € el quilo. Per mitjà d’un text: l’import que has de pagar és el producte d’1,5 € pel nombre de quilograms que compres. Per mitjà d’una taula: el nombre de quilos és la variable independent i l’import és la variable dependent. Per mitjà d’una gràfica: representem la situació per mitjà de punts sobre uns eixos de coordenades. Per mitjà d’una fórmula: si anomenen P a l’import i n el nombre de quilos, la fórmula és: P=1,5·n 4,5 3 1,5 € 3 2 1 Kg

7. Exercicis En un aparcament públic veiem aquesta tarifa. Has d’obtenir la taula, la gràfica i la fórmula que expressen la relació entre el temps que roman el cotxe aparcat i el preu que s’ha de pagar. Tarifes 1 hora……………2 € Cada hora més…1,5 € 2. Donada la funció f(x)=3x-1, has d’obtenir-ne la taula de valors i la gràfica.

8. Calcular el domini i el recorregut d’una funció Una funció f(x) és una relació entre dues variables o magnituds, de manera que a cada valor de la variable independent (x) s’associa un únic valor de la variable dependent (y). També anomenem al valor y la imatge de x, o a l’inrevés al valor x l’anomenem la antiimatge de y. El conjunt de valors que pot pendre la variable x s’anomena domini de la funció, i el conjunt de valors que pot pendre la variable y l’anomenem recorregut de la funció.

9. Exemple F(x)=-5x-2  En aquest cas la variable independent x pot pendre qualsevol valor real, i per a cada un d’aquests nombres reals obtenim un valor real de la variable depenent y, per tant, D=reals i recorregut=reals. F(x)=2/(x-1)  En aquest cas la variable independent x pot pendre qualsevol valor real tret d’aquell per al qual es fa 0 el denominador, ja que no existeix la divisió per 0. Per tant, D=reals-{1} i recorregut= reals. F(x)= √ x En aquest cas la variable independent x pot pendre qualsevol valor real positiu ja que no existeix l’arrel quadrada d’un nombre negatiu. Per tant, D=tots els reals positius i recorregut=reals positius.

10. Exercicis Donada la funció f(x) que associa a cada nombre real el seu doble més cinc unitats. A) Troba’n la fórmula. B) Calcula f(0), f(-1) i f(1/2) C) Calcula la antiimatge de 16/3 D) Determina’n el domini i el recorregut.

11. Distingir funcions continues i discontinues Funció discontinua: una funció és discontinua si té punts en què una lleu variació de la variable independent produeix un salt en els valors de la variable depenent. S’anomenen punts de discontinuitat. Funció continua: una funció és continua si en podem dibuixar la gràfica d’un sol traç, és a dir, no presenta punts de discontinuitat.

12. Funció discontinua Funció continua

13. Punts de tall amb els eixos Els punts on la funció y=f(x) talla els eixos es calculen d’aquesta manera: Punts de tall amb l’eix 0Y: fent x=0 obtenim f(0). Punts de tall amb l’eix 0X: fent f(x)=0 obtenim el valor o valors corresponents de x. Exemple: La funció f(x)= x 2 -4 té els punts de tall següents: Amb l’eix 0Y: si x=0  y=0-4; y=-4; P(0,-4). Amb l’eix 0X: si y=0  x 2 -4=0; x= ± 2; Té dos punts de tall amb ´l’eix 0X Q(2,0) I Q’(-2,0).

14. Exercicis Per a les funcions següents: f(x)= 2x-1; g(x)= x 2 -4x+4; h(x)= x3-x2-x+1; p(x)= (-x+6)/3 a) Construeix la taula de valors i dibuixa’n la funció. b) Determina el domini c) Troba els punts de tall amb els eixos si n‘hi hagués.

15. Funcions definides a trossos

16. Exercicis Representa: