En aquest power point s'expliquen les funcions elementals i els límits a partir de la seva gràfica. Després es calculen els límits de manera analítica i es relaciona amb la gràfica. S'explica també la resolució analítica de límits, així com la resolució de les indeterminacions. S'estudia també les diferents discontinuïtats que pot presentar una funció. S'explica el concepte incial de límit a partir de la paradoxa de Aquiles i la tortuga.

1. FUNCIONS, CÀLCUL DE
LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ
A LA CONTINUÏTAT DE
FUNCIONS
Autora: Mònica Orpí i Mañé
MATEMÀTIQUES

3. Què entem per funció ?
Definició : Definim funció o aplicació qualsevol terna (A,B, f ) formada per dos
conjunts no buits A i B i una correspondència f entre ells que assigna a cada
element x ∈ A un únic element y = f (x) ∈ B.
A f B
El conjunt A s’anomena domini de la funció i s’escriu A=Domf . B és el conjunt
d’arribada de la funció.
Si (A,B, f ) és una funció, direm que f és una funció de A en B i s’escriu
f
f : A →B o bé A → B.
a
b
c
c
d g
e f

4. Una aplicació curiosa de les funcions
Civilització India: (300 a.C)
Apareix ja un ús que encara és molt actual de les funcions :
L’Encriptació de codis o del llenguatge
Apareix en el llibre del Kama Sutra. En aquest llibre es recomana a les dones que
han d'aprendre 64 arts com el de cuinar, saber vestir-se, etc.
"mlecchitavikalpa“ o l'art de l'escriptura secreta, era en definitiva una funció.
Aquesta funció ajudava a les dones a ocultar els detalls de les seves relacions
amoroses. Tot i que era una senzilla substitució, que consistia en intercanviar
l'abecedari, va ser la base per a consolidar altres mètodes posteriors d’encriptacions
més sofisticats, que van ser molt útils posteriorment per a la correspondència en temps
de guerres,
amb l’objectiu de despistar l’enemic

6. Una manera d’encriptar que practicarem
després …

7. Per tant....
Per això i per milions de raons més..
És terriblement útil “MATEMATITZAR” el
llenguatge de les funcions

8. Domini i recorregut d’una funció
 El conjunt dels valors reals de la variable independent que tenen per imatge un
nombre real constitueixen el domini de la funció (Df ).
 El conjunt de totes les imatges reals de la funció és el recorregut o rang de la
funció.
Exemples:

 o

9. Exemple pràctic de funcions
2
9'46'19 th 
2
9'46'19)( ttf 
09'46'19 2
 t

10. Gràfica de h(t) :
   2,020  tRtDf
   6'19,0)(  ff DtRtfR

11. Repàs de les sessions anteriors
Tipus de funcions i les seves corresponents gràfiques :
1. Les funcions polinòmiques
- La funció constant f(x)=k ( Gràfica b)
- La funció lineal f(x)=ax
- La funció afí f(x)=ax+b (Gràfica a)
- La funció quadràtica f(x)=a𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (Gràfica c)
- Les funcions polinòmiques en general (Gràfica d)
- d)

12. Tipus de funcions :
Funcions polinòmiques
Les funcions polinòmiques són del tipus f(x) = P(x), on P(x) és un polinomi.
En són exemples la funció lineal, la funció afí i la funció quadràtica.

cbxaxxf  2
)(
),(  RDf

13. Gràfica general d’una funció polinòmica

18. En aquesta sessió, aprofundirem en
l’estudi d’aquestes funcions utilitzant el
concepte del límit :
- Les funcions racionals
- Les funcions irracionals
- Les funcions exponencials
- Les funcions logarítmiques
- Les funcions trigonomètriques
- Les funcions definides a trossos

19. La paradoxa de Zenó
Aquil·les i la tortuga
Segons la llegenda, Aquil·les, heroi de la Guerra de Troia, era invencible, degut
a que la seva mare, per fer-lo així, el va portar a la llacuna Estigia, morada de
Medusa, i el va submergir en les seves aigües subjectat pel taló. Com que
aquest va ser l’únic que no es va mullar, aquest era el seu únic punt dèbil, el
Taló de Aquil·les.
Famós per les seves grans qualitats físiques, Aquil·les fou escollit per Zenó de
Elea (490 a.C. - 430 a.C.) com a protagonista de la famosa Paradoxa :
Brat Pitt va ser Aquil·les en
la pel·lícula Troia

20. Aquil·les, l’atleta més ràpid, capaç de córrer els 100 metres en 10
segons, no podrà agafar a una lenta tortuga, deu cops menys ràpida
que ell. Ambdós disputen una carrera, concedint Aquil·les una
avantatge de 100 metres a la tortuga. Quan Aquil·les ha cobert
aquests 100 metres, la tortuga s’ha desplaçat 10 metres. Al cobrir
Aquil·les aquests 10 m., la tortuga s’ha desplaçat 1 m. Mentre cobreix
aquest metre que el separa de la tortuga, aquesta ha recorregut 0'1
m. I així indefinidament.

21. D’aquesta manera, Aquil·les ha de recórrer infinits trajectes per aconseguir
atrapar a la tortuga. Per tant, haurà de recórrer una distància infinita, i
per tant, necessitarà un temps infinit. De tal manera que el “desgraciat”
d’ Aquil·les mai podrà atrapar a la tortuga !!!

22. La paradoxa d’Aquil·les i la tortuga
Posició
d’Aquil·les (m)
Posició de la tortuga
(metres)
Avantatge
de la
tortuga
Temps fet servir
Sortida
1ª. Etapa
2ª. Etapa
3ª. Etapa
4ª Etapa
Límits

23. Un altre exemple :
Si encara us costa admetre que la suma d’infinits números pot ser un
número finit, pensa en una fulla de paper (1). Li prenem la meitat
(1/2). A la vegada, a la meitat restant li prenem la seva meitat (1/4).
Al tros que queda (1/4), també li prenem la seva meitat (1/8). I així
successivament, de forma indefinida. Com sempre queda una mica de
paper, sempre es pot continuar tallant.
Pensa ara en la suma dels infinits trossos de paper que anem traient:
1 / 2 , 1 / 4 , 1/8 , 1/16 , 1/ 32 ...
Quina és la seva suma? Evidentment tota la fulla, és a dir 1!
1 / 2 + 1 / 4 +1 / 8 + 1 / 16 + 1 / 32 ... = 1

24. Ambdós casos són exemples concrets de la Suma de tots els termes d’ una progressió geomètrica de
raó r ( | r | < 1).
Donada una progressió geomètrica: a , a·r , a·r2 , a·r3 , a·r4 ... a·rn-1
La suma dels n primers termes :
𝑆 𝑛+1 = a + a·r + a·r2 + a·r3 + a·r4 + ...+ a·rn-1
S’expressa mitjançant la fórmula: 𝑆 𝑛 =
𝑎−𝑎·𝑟 𝑛
1−𝑟
Quan | r | < 1 , la potència rn resulta ser un infinitèsim; és dir, molt molt petit, tant que el seu límit val 0
quan n és molt gran .
lim rn=0 quan n va cap a ∞
En conseqüència, es pot calcular la suma infinita
Conclusió :

25. • En la paradoxa de Zenó a = 100 , r = 1/10
Si comptabilitzem l’avantatge de la tortuga en l temps, obtenim una progressió geomètrica següent :
𝒂 𝟏 = 𝟏𝟎𝟎 , 𝒂 𝟐 = 𝟏𝟎 , 𝒂 𝟑 = 𝟏 , 𝒂 𝟒 = 𝟎′
𝟏, … ,
El que ha fer Aquil.les per tal d’atrapar la tortuga és recórrer totes d’aquestes distàncies, és a dir, ha de
recórrer: 𝑆∞ = 100 / (1 – 1/10) = 111,111... m
• En la fulla de paper: a = ½ , r = ½,
𝒂 𝟏 = 𝟏 𝟐, 𝒂 𝟐 = 1 4 , 𝒂 𝟑 = 𝟏 𝟖 , 𝒂 𝟒 = 1 16 … ,
Tots els trossos sumen: 𝑺∞ = ½ / (1 – ½ ) = 1
𝑆 𝑛 =
𝑎−𝑎·𝑟 𝑛
1−𝑟
si 𝑟 < 1 𝑡𝑒𝑛𝑖𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑟 𝑛 → 0 𝑞𝑢𝑎𝑛 𝑛 → ∞
𝑆∞ =
𝑎
1−𝑟
𝑞𝑢𝑎𝑛 𝑛 → ∞:

26. Un altre exemple de límits
I ara…una successió màgica …!!!
La successió de les àrees dels polígons regulars inscrits en una
circumferència de radi 1 unitat, on an és l’àrea del polígon de n
costats, en el límit tendeix a l’àrea de la circumferència de radi
1, i per tant, tendeix al nombre 𝜋

27. = 1+ 5
2
= 1’618...
El número més bell,
el nombre d’or

28. LA PROPORCIÓ ÀURIA AL COS HUMÀ
ALÇADA (cm) ALÇADA MELIC (cm) PROPORCIÓ
1 163 102 1’6
2 166 103 1’612
3 169 108 1’565
4 175 105 1’67
LE CORBUSIER
STEPHEN MARQUARDT

29. SUCCESSIÓ
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
233
377
610
987
PROPORCIONS ENTRE
NOMBRES CONSECUTIUS
1
2
1’5
1’66...
1’6
1’625
1’615384...
1’619047...
1’617647...
1’6188...
1’617977...
1’618055...
1’618025...
1’618037...
1’618032...





 
n
n
f
f
lím 1
RELACIÓ ENTRE EL NOMBRE D’OR I LA SUCCESSIÓ DE FIBONACCI

30. 𝑓 𝑥 =
1
𝑥2−1
𝐷𝑓 = −∞, −1 ∪ −1,1 ∪ 1, +∞ =ℝ- −1,1

31. Funcions irracionals
Exemples:



32. Nota : Fixa’t que quan x es fa gran, la funció creix, però ho
fa més lentament 𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝒙 − 𝟏 = +∞
𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1

33. La funció exponencial f(x)= 𝑎 𝑥
a>0
x molt gran +∞ 𝟐+∞
= +∞ 𝟏
𝟐
+∞
=
𝟏
+∞
= 𝟎+
x molt petita -∞
2−∞
=
1
2
+∞
=
1
+∞
= 0+
𝟏
𝟐
−∞
= 𝟐+∞
= +∞

34. Les dues gràfiques de l’exponencial i els seus límits
lim
𝑥→−∞
𝑎 𝑥
= 0+ lim
𝑥→+∞
𝑎 𝑥
= +∞
lim
𝑥→−∞
𝑎 𝑥 = +∞
lim
𝑥→+∞
𝑎 𝑥 = 0+

35. La típica exponencial, la que té per base el nombre e
e≈ 2’71828… 𝑒−1 =
1
𝑒
≈ 0′3678 …
𝑓 𝑥 = 𝑒−𝑥 =
1
𝑒 𝑥=
1
𝑒
𝑥
El nombre e anomenat de vegades constant d'Euler, en
honor del matemàtic suís Leonhard Euler o constant de
Napier, en honor del matemàtic escocès John Napier que
va introduir els logaritmes

36. Aplicacions pràctiques de l’exponencial
La funció exponencial apareix en aquells fenòmens en les que hi ha
una tassa de creixement o de decreixement constant, com ara :
- La desintegració radioactiva : N(t)= 𝑁0 · 𝑒−λ𝑡
Essent N0 la quantitat d′
àtoms radioactius existents en l′
instant
inicial, N(t) és la quantitat d′
àtoms radioactius existents en l′
instant
t, λ és la constant de desintegració (és sempre positiu i depèn
de cada element radioactiu ) i t és el temps transcorregut
- Evolució d’una població : P(t)=P0 · (1 ± c)t
Essent P0 és la població inicial la població en un instant determinat
i c és la tassa de creixement en tant
per 1 i i t el temps, normalment en anys

38. El cas de la funció f(x)=log 𝑎 𝑥 𝑎𝑚𝑏 𝑎 > 1
Si la base és e, log 𝑒 𝑥 = 𝑙𝑛𝑥, es
llegeix logaritme neperià en
honor al matemàtic escocès
John Napier

39. John Napier (1550 - 1617)
L’Escocès Napier es va dedicar a les matemàtiques per afecció, de fet, era teòleg.
L’obra de la que estava més orgullós era un llibre teològic amb un títol ben llarg: "Un
descobriment pla de la Revelació completa de Sant Joan. Aquest llibre contenia un
important error que li va fer perdre fama: predeia el final del món pels volts del 1700.
Les taules logarítmiques, van ajudar a simplificar els càlculs dels navegants i els
astrònoms del seu temps.
Té en el seu honor, a banda del
nom dels logaritmes, un cràter a
la Lluna que porta el seu nom,
de més de 140km d’amplada !!

40. Les dues gràfiques de la logarítmica
lim
𝑥→0+
log 𝑎 𝑥 = +∞
lim
𝑥→+∞
log 𝑎 𝑥 = −∞
lim
𝑥→0+
log 𝑎 𝑥 = −∞
lim
𝑥→+∞
log 𝑎 𝑥 = +∞

41. Les funcions trigonomètriques :
Són les funcions obtingudes a partir de les raons trigonomètriques d’un angle. En
general, l’angle s’expressa en radians
Un radiant és l'angle que comprèn un arc de circumferència amb una longitud igual al
radi de la circumferència, així 180º = π radiants i 1 rad= 57’295..º
Les tres funcions trigonomètriques més importants són f(x)= sin(x), f(x)=cos(x) i f(x)=tg(x)

42. La funció de variable real que a cada angle,
expressat en radiants, li fa correspondre el valor del
seu sinus és la funció sinus: f(x) = sin x.
La funció sinus
∄ lim
𝑥→+∞
𝑠𝑖𝑛 𝑥 no existeix
Tampoc existeix quan x→ −∞

43. La funció de variable real que a cada angle,
expressat en radiants, li fa correspondre el valor del
seu cosinus és la funció cosinus: f(x) = cos x.
La funció cosinus
∄ lim
𝑥→+∞
𝑐𝑜𝑠 𝑥 no existeix
Tampoc existeix quan x→ −∞

44. La funció de variable real que a cada angle, expressat en radiants, li fa correspondre el
valor de la seva tangent és la funció tangent: f(x) = tg x.
La funció tangent
∄ lim
𝑥→+∞
𝑡𝑔 𝑥 no existeix
Tampoc existeix quan x→ −∞

45. Funcions definides a trossos
Quan una funció es defineix utilitzant més d’una expressió algèbrica, es diu
que és una funció definida a trossos.
Aquest tipus de funció, per poder-les dibuixar, hem de tenir molt clar quin és el domini de
definició de cadascuna de les funcions que la componen.
Dibuixem per separat cada funció i després esborrem la part que no ens interesa

46. 𝐥𝐢𝐦
𝒙→−𝟐−
𝒇 𝒙 = −𝟑 𝐥𝐢𝐦
𝒙→−𝟐+
𝒇 𝒙 = −𝟏
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟐−
𝒇 𝒙 = 𝟑 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟐+
𝒇 𝒙 = 𝟏
Els límits són especialment pràctics per les funcions
definides a trossos per saber com es comporta la
funció en cadascun dels extrems de trencament
+-

47. S’enganxaran en x=1??
lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥)= −12 + 4 = 3
lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥)= 12 + 2 = 3
Gràfic INCORRECTE !!!
La Funció serà contínua !!!

48. Un exemple clàssic de funció a
trossos: La funció valor absolut
La funció valor absolut es defineix com la funció :

49. Operacions amb funcions
Funció suma
(f + g) (x) = f(x) + g(x)
Funció producte
(f · g) (x) = f(x) · g(x)
Funció quocient
f
g
æ
è
ç
ö
ø
÷(x) =
f(x)
g(x)
Propietats de la suma de funcions
 Commutativa:
 Associativa:
 Existència d’element neutre:
 Existència d’element simètric:
Propietats del producte de funcions
 Commutativa:
 Associativa:
 Existència d’element neutre:
 Existència d’element simètric:
 Distributiva de la multiplicació respecte de
la suma:

50. Funció composta
Donades les funcions f i g, es defineix la funció composta:
 g f (f composta amb g) com (g f) (x) = g [f(x)].
 f g (g composta amb f) com (f g) (x) = f [g(x)].
Propietats
 Associativa:
 Existència d’element neutre:
 Existència d’element simètric:
No compleix la commutativa !!!!
(f º g)(x) no és el mateix que (g º f )(x)

51. Alguns exemples de composició de
funcions
f º g (x) g º f (x)

52. La composició de funcions

53. Podem imaginar-nos la composició de dues funcions com una cadena
de dues maquines diferents, on introduïm el mateix objecte i el resultat
final no és el mateix si modifiquem l’ordre de les funcions (màquines)
x
f(x)
g(x)
g ° 𝑓 (𝑥)
𝑓°𝑔(x)

54. Funció inversa
En la funció inversa la variable independent de f passa a ser la
variable dependent de f -1, i viceversa.
Càlcul de la funció inversa
① Expressar la variable y = f(x) en funció de la
variable x.
② Aïllar la variable x de la igualtat anterior per tal
de trobar l’expressió de x en funció de y.
③ Intercanviar les dues variables.
④ Fer-ne la comprovació.

55. Característica essencial de les funcions inverses : Són
simètriques respecte la bisectriu del 1r i 3r quadrant ( la
recta y=x és un mirall)

56. Més exemples de funcions
inverses
http://www.geogebratube.org/student/m6525

57. I per desencriptar missatges secrets….
Si sabem la clau, és a dir, la funció que encripta el
missatge, calculant la seva inversa, …
I ….Desvetllarem el secret !!!!
Ho podem posar en pràctica !!

58. Els límits com una eina per a fer un esboç de la gràfica d’una
funció
Eminent matemàtic francés (1789-
1857) que va escriure més de 700
artícles. Va ser escriptot, pintor i
escalador.
El concepte de límit és el fonament del càlcul. En el segle XIX, eminents matemàtics,
Augustin-Louis Cauchy i Karl Weiertrass, entre d’altres, van tractar en precisió el
concepte de límit. Ells van fer la definició rigorosa de límit, la definició 𝛆 - 𝛅, tot i que
la inclourem, no és fonamental per un primer apropament intuïtiu d’aquest
concepte
Karl Weiertrass, matemàtic alemany (1815-
1897) que va precisar la definició de
continuïtat
La Lemniscata de Bernoulli
- Símbol de l’Infinit
http://desafios-
matematicos.blogspot.pt/2013/1
0/lemniscata-de-
bernoulli.html?m=1

59. Límit d’una funció en un punt
Exemple: f(x)=
4
𝑥
𝐸𝑙 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑠′
𝑎𝑛𝑢𝑙. 𝑙𝑎 𝑒𝑛 𝑥 = 0
Mirem que passa en punts a prop de x=0. Ens podem apropar per la dreta de 0
X 0’1 0’01 0’001 0’0001 0’00001
f(x) 4/0’1=40 4/0’01=400 4/0’001=4000 4/0’0001=40000 4/0’00001=400000
x -0’1 -0’001 -0’0001 -0’00001
f(x) 4/(-’01)=-40 4/(-0’001)=-4000 4/(-0’0001)=-40000 4/(-0’00001)=-400000
Matemàticament, s’escriu 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎−
𝟒
𝒙
= −∞
Matemàticament, s’escriu 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎+
𝟒
𝒙
= +∞

60. Interpretació gràfica de límits amb la funció de proporcionalitat inversa
La Hipèrbola equilàtera
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎−
𝟒
𝒙
= −∞ 𝒊 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎+
𝟒
𝒙
= +∞ ⇒ lim
𝑥→0
4
𝑥
= ∞
Els valors que anul.len el denominador
apareixen en la gràfica com
assímptotes verticals ( la funció
s’apropa molt a l’assímptota però no
l’arriba a toca mai )
x=0 és una AV (Assímptota vertical)

61. Els límits són una eina molt útil per fer gràfiques de funcions
racionals :
Veiem un altre exemple :
La funció s’anul.la en x=2 i en x=-2, per tant,
Apareixeran dues AV en x=2 i en x=-2 i per veure com s’apropa la funció,
calcularem els límits al voltant de x=2 i al voltant de x=-2
𝑓 𝑥 =
3
𝑥2 − 4
 2,2 RD f

62. Calculem els límits de 𝑓 𝑥 =
3
𝑥2−4
𝐴𝑙 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑥 = 2 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎t − 𝑛𝑜𝑠 𝑝𝑒𝑟 𝑙′
𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑟𝑎
Que matemàticament vol dir que 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟐−
𝒇(𝒙) = −∞
Al voltant de x=2 aproximant-nos per la dreta
x 1’9 1’99 1’999 1’9999
f(x) -7’69 -75’19 -750’19 -7500’19
x 2’1 2’01 2’001 2’0001
f(x) 7’32 74’81 749’81 7499’81
Matemàticament vol dir que 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟐+
𝒇 𝒙 = +∞
Definició :
Si lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = ±∞, 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑥 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝐴símptota vertical 𝑒𝑛 𝑥 = 𝑎
O també ∶
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 − a = 0 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑥 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝐴𝑉 𝑒𝑛 𝑥 = 𝑎

63. Observeu al voltant del 2 com actua la funció :
𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟐−
𝒇 (𝒙) = −∞ i 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟐+
𝒇 𝒙 = +∞ ⇒ AV en x=2
Si haguéssim fet les aproximacions en x=-2 obtindríem
𝒍𝒊𝒎
𝒙→−𝟐−
𝒇 𝒙 = +∞ i 𝒍𝒊𝒎
𝒙→−𝟐+
𝒇 𝒙 = −∞ ⇒ AV en x=-2

64. I si haguéssim fet el mateix per a x molt molt grans, que hauríem obtingut ??
O el que és el mateix 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
𝑓 𝑥 = 0 (0 𝑞𝑢𝑒 é𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑢)
Mirem que passa per valors molt petits de x
X 10 100 1000 10000
f(x)=
3
𝑥2−4
0’031 0’0003 0’000003 0’00000003
X -10 -100 -1000 -10000
f(x)=
3
𝑥2−4
0’031 0’0003 0’000003 0’00000003
Definició :
Si lim
𝑥→±∞
𝑓 𝑥 = 𝑘 , 𝑜𝑛 𝑘 ∈ ℝ, 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑦 = 𝑘 é𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑠í𝑚𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎 𝐻𝑜𝑟𝑖𝑡𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙,
O el que és el mateix lim
𝑥→±∞
𝑓 𝑥 − 𝑘 = 0
En el nostre cas, y=0 és una AH
O el que és el mateix 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
𝑓 𝑥 = 0 (0 𝑞𝑢𝑒 é𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑢)

65. Fixeu-vos com és la gràfica :
Té dues AV en x=2 i en x=-2 ja que la funció tendeix a infinit quant s’apropa a
aquests valors
Té una AH en y=0 ja que quan x és molt gran i molt petita s’apropa molt a
aquest valor 0

66. Donada la funció f(x)=
−𝟑
𝒙+𝟒
-Quin és el domini ?
- Què val el límit quan x s’apropa a 4 per l’esquerra ? I per la dreta ?
-Té AV ? Quina és ?
- Què val el límit quan x és molt gran ? I quan és molt petita ?
- Té AH ? Quina és ?

67. Fent tant sols els límits a l’±∞ i al voltant
dels punts que no són del domini, podem
fer la gràfica

68. Recordem que passava amb les branques de les funcions
polinòmiques: Calculant els límits en el infinit:
Si considerem la funció f(x)= 𝒙 𝟑
−𝟑𝒙 + 𝟏,
𝑞𝑢𝑎𝑛 𝑙𝑎 𝑥 é𝑠 𝑚𝑜𝑙𝑡 𝑔𝑟𝑎𝑛 +∞ 𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑛 𝑙𝑎 𝑥
é𝑠 𝑚𝑜𝑙𝑡 𝑝𝑒𝑡𝑖𝑡𝑎 −∞
𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó é𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎 𝑐𝑜𝑚 𝑓 𝑥 = 𝑥3
lim
𝑥→+∞
𝑥3 − 3𝑥 + 1= lim
𝑥→+∞
𝑥3 = +∞
Branca dreta amunt
lim
𝑥→−∞
𝑥3
− 3𝑥 + 1 = lim
𝑥→−∞
𝑥3
= −∞
Branca esquerra avall

69. Si considerem la funció
f(x)= −𝑥4
+ 3𝑥2
− 𝑥
lim
𝑥→+∞
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→+∞
−𝑥4
= −∞
Branca dreta avall
lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = lim −
𝑥→−∞
𝑥4
= −∞
Branca esquerra avall

70. Límit duna funció a l’infinit
Exemples:

71. Càlcul del límit d’una funció en un punt
El límit d’una funció en un punt es calcula substituint en l’expressió algèbrica de la funció la
variable x pel valor al qual tendeix.
Si el resultat d’aquesta substitució és una indeterminació, cal aplicar altres estratègies i arribar
al valor del límit.
Exemples:



Indeterminacions :
∞ − ∞ ;
∞
∞
;
0
0
; 1∞
; ∞0
; 0 · ∞ ; 00

74. Amb les regles que hem après, se’ns presenten situacions
més complicades, en les que no podem donar una solució,
sense fer un estudi detallat de la funció. Com per exemple :

75. Les tècniques per resoldre
indeterminacions són

76. Exemple :

77. Calculem els límits amb la tècnica de descomposar els polinomis:
Observa que tots tenen la indeterminació

78. Exemple :
𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑝𝑢𝑠
∞
∞

79. Indeterminacions del tipus
• Tècnica del producte i divisió per la major potència de x

80. La técnica de multiplicar pel conjugat :

81. Tècnica de multiplicar pel conjugat

82. Tenint en compte que : aleshores :

84. El límit correspon a un dels nombres més importants de la matemàtica.
Atès que el suís Leonard Euler(1707-1783) és un dels que va observar la
tendència d’aquest límit, va posar la seva inicial a aquest nombre, el
nombre e

87. Un parell d’exemples :

88. Límits laterals en un punt
Exemple:
x tendeix a a per
l’esquerra
x tendeix a a per la dreta
Límits laterals en x = a

89. Funció contínua en un punt
Una funció f és contínua en x = a quan ;
en cas contrari, direm que és discontínua en x=a
lim
x®a-
f(x)= lim
x®a+
f(x)=f(a)
Tipus de
discontinuïtats
 Discontinuïtat evitable:
 Discontinuïtat inevitable  De salt:
 Asimptòtica:
Per una primera aproximació, direm que una funció és contínua quan podem recórrer la gràfica de la
funció sense realitzar cap salt. Matemàticament això succeirà quant sigui contínua en tot el seu domini.

90. Discontinuïtat evitable
En x=1 la funció presenta una discontinuïtat evitable

91. Discontinuïtat de salt finit
En x=0 la funció presenta una discontinuïtat de salt de 2 unitats
El salt de la funció ve donat per :

92. Discontinuïtat de salt infinit. discontinuïtat asimptòtica
En x=a la funció presenta una Asímptota Vertical, d’equació x=a

93. La funció presenta dues discontinuïtats de salt infinit en x=1 i en x=-1
En aquests punts, hi ha també dues AV que són x=-1 i x=1

94. Interpretació gràfica (I)

96. La funció presenta una discontinuïtat de salt en x=0, un salt
de dues unitats

98. Quin tipus de discontinuïtats presenta aquesta funció ?