El moviment: Concepte de moviment. MRU. MRUA, MCU

1. 1
1- EL MOVIMENT

2. 2
Índex
1. El moviment
a. Moviment i repòs. Posició d’un mòbil
b. Trajectòria i desplaçament i distància recorreguda
2. Canvi de posició: La velocitat
a. Velocitat mitjana i instantània
b. Moviment Rectilini Uniforme – MRU.
3. Canvi de velocitat: L’acceleració
a. Acceleració
b. Moviment Rectilini Uniformement Accelerat - MRUA
c. Moviment Circular Uniforme – MCU

3. 3
1.a Moviment i repòs. Sistemes de referència
Un sistema de
referència és un punt o
un conjunt de punts
respecte del qual es
descriu el moviment d’un
cos
Estem en moviment Estem en repòs
Sistema de
referència
Observador
Sistema de
referència Observador

4. 4
Posició d’un mòbil
Sistema de referència = Sistema de coordenades
x (cm)

5. 5
Posició
y (cm)

6. 6
Posició d’un mòbil
X=0
X=0
X=0
X=0
X0=2
X0=-6
X0=5 X0=-7
X=8 X=2
X=-3 X=-3
O= Origen: punt de referència. Punt on diem x=0
x0= Posició inicial: posició del mòbil respecte l’origen inicialment
x= Posició: posició del mòbil respecte l’origen en un instant t
Sistema de referència temporal
t0 = Instant inicial: instant en el qual iniciem l’estudi del moviment i el mòbil
es troba en la posició inicial x0.
t = Instant en el qual el mòbil es troba en la posició x.

7. 7
Vector de Posició

8. 8
Un vector és un segment orientat. A
més d’ indicar una quantitat (el mòdul),
cal precisar la seva direcció i sentit.
Sentit
Mòdul
Direcció
Vector
• Mòdul és la longitud del vector.
• Direcció és la recta que conté el vector. Indica la seva inclinació.
• Sentit, indicat per la fletxa.
• Punt d’aplicació, punt on comença el vector

9. 9
1.b Trajectòria, desplaçament i espai recorregut
Trajectòria: línia formada pels successius punts que ocupa el mòbil en
el seu moviment
Espai recorregut, s: distància recorreguda sobre la trajectòria entre les
posicions inicial i final
∆r = Desplaçament: vector que va des de la posició inicial a la final
Posició inicial
x0
posició final
x
∆r
s
s
∆x
∆r ≠ s
∆x = s
2
1

10. 10
Desplaçament i espai recorregut
No s’ha de confondre desplaçament (∆r ) amb espai recorregut (s)

11. 11
Desplaçament en el moviment rectilini
X0=2 X0=-6
X0=5 X0=-7
X=8 X=2
X=-3 X=-3
∆x = Desplaçament: (vector) Posició final menys posició inicial
0x-xxΔ =
Desplaçament positiu: ∆x>0 es mou cap a la dreta
Desplaçament negatiu: ∆x<0 es mou cap a l’esquerra
∆x= 8-2 = 6 cm >0 ∆x= 2-(-6) = 8cm >0
∆x= -3-5= -8 cm < 0 ∆x= -3-(-7)= 4 cm > 0

12. 12
Desplaçament en el moviment rectilini. Exemple

13. 13
Desplaçament en el moviment rectilini. Exemple

14. 14
Desplaçament en el moviment en el pla
∆x = Desplaçament: (vector) Posició final menys posició inicial
0r-rrΔ

=

15. 15
Desplaçament en el moviment en el pla. Exemple

16. 16
Desplaçament en el moviment en el pla. Exemple

17. 17
2. Canvi de posició: Velocitat

18. 18
Velocitat

19. 19
Velocitat: Unitats i canvi d’unitats
Unitat: Sistema Internacional: m/s
Altres unitats: km/h
Canvi d’unitat
Transforma 108 km/h a m/s
Transforma 25m/s a km/h

20. 20
Lleida
237 km= ∆s
2 h 30 min = ∆t
La velocitat mitjana en un recorregut la calculem dividint el
desplaçament entre el temps que ha tardat en recorre’l.
vmitjana = 94,8
km
h2,5 h
237 kmdesplaçament ∆s
temps ∆t
= =
2.a Velocitat mitjana
Barcelona

21. 21
El velocímetre ens indica el valor de la velocitat en cada instant:
és la velocitat instantània.
2.a Velocitat instantània
Velocitat és un vector v

Llargada o mòdul: indica el valor de la velocitat, s’anomena rapidesa
Direcció: Tangent a la trajectòria en cada instant. Direcció del moviment
Sentit: El mateix de la trajectòria en cada instant. Sentit del moviment

22. 22
Els signes de la velocitat en el moviment rectilini
En el sentit vertical també es
manté el conveni de signes:
v > 0 el cos puja
v < 0 el cos baixa

23. 23
Els signes de la velocitat en el moviment rectilini
Exemple: En les següents situacions el la bola ha trigat 4 s en fer
desplaçament, calcula la velocitat mitjana en cada cas
∆x= 8-2 = 6 m >0
∆t= 4 s
Vmitjana = 1,5 m/s
4 s
6 m∆x
∆t
= =
∆x= -3-5= -8 m < 0
∆t= 4 s
Vmitjana = - 2 m/s
4 s
-8 m∆x
∆t
= =

24. 24
2.b Moviment rectilini uniforme MRU
X0
X
És un moviment en el que es manté constant
el mòdul, la direcció i el sentit de la velocitat.
La trajectòria és recta i la velocitat és constant (en mòdul i direcció)
Com que es mou a velocitat constant, recorre
la mateixa distància en el mateix interval de
temps. En aquest cas 20 metres cada 5
segons. La seva velocitat serà :
m/s
5
20
Δt
xΔ
v 4===

25. 25
Equacions del moviment rectilini uniforme
0
0
t-t
x-x
Δt
xΔ
v ==
x= x0 + v (t - t0) x= x0 + v t
Quan to=0
Cada segon que passa recorre 4 metres. Al cap de 5 segons haurà
viatjat 20 metres; al cap de 10 segons, 40 metres; i al cap d’una hora (3600 segons)...
∆x= v · t = 4·t = 4 m/s ·3600 s = 14400 m = 14’4 km
)0t-(tvx =∆ ∆x= v · t
Equació de posició
Desplaçament

26. Procediment
1. Llegir el problema imaginant la situació
2. Identificar el moviment: MRU, MRUA,...
3. Fer un dibuix amb les dades
4. Taula de dades: condicions incials + altres dades
5. Canvi d’unitats: Normalment canviar al Sist. Int.
6. Equacions del moviment
7. Resolució numèrica
8. Resposta amb unitats i escrivint la frase que respongui
la pregunta.
Resolució de problemes
26

27. Resolució de problemes
3.
4.Condicions
inicials
t0=0 s
x0=4 m
v=5 m/s
6. Equació del moviment
2. MRU = velocitat constant
8. Resposta
7. resolució numèrica
8. Resposta
27

28. 28
Un mòbil surt d’ un punt situat a una distància
de dos metres respecte l’ origen de coordenades
i porta una velocitat constant de 5 m/s.
x = x0 + v · t → x = 2 + 5t
La gràfica x-t és una línia recta que talla a l’eix d’
ordenades en la posició inicial (x0).
La gràfica v-t és una línia horitzontal, paral.lela
a l’eix de abscisses, que talla a l’eix d’ordenades
en el valor de la velocitat del mòbil.
Representació gràfica del MRU a partir de l’equació 3

29. Gràfica posició-temps en el MRU
29

30. 30
Valor de la posició inicial
x0 = 92,5 m
Per trobar la velocitat, ens fixem en els
valors de temps i posició (t, x) de dos
punts de la línia i apliquem l’expressió de
la velocitat:
x2 – x1
t2 – t1 10 – 2
30 – 80
= – 6,25 m/s=v =
L’equació del MRU
corresponent a la gràfica és:
x = x0 + v·t →
Pendent de la recta. Inclinació
Equació d’un MRU a partir de la gràfica
x = 92,5 − 6,25 ⋅ t
4

31. Gràfica velocitat-temps en el MRU
31

32. a) Explica quin moviment segueix
aquest vehicle.
b) Calcula la velocitat en cada
tram
c) Fes la gràfica velocitat-temps
que correspon
d) En quins instants de temps el
vehicle està a la posició 100 m?
e) Quina és la posició inicial?
Quina és la posició final?
f) Quin n’ha estat el
desplaçament? I l’espai
recorregut?
Interpretació de les gràfiques MRU
32
La gràfica següent representa el moviment d’un vehicle entre el
segon 0 i el 80.

33. a)Explica quin moviment segueix aquest vehicle.
Interpretació de les gràfiques MRU
33
a) Explica quin moviment segueix
aquest vehicle.
Tram 1: Es mou amb velocitat
constant cap a la dreta
Tram 2: Està aturat
Tram 3: Es mou amb velocitat
constant cap a l’esquerra
tornant al punt de partida
Tram 4: Es mou amb velocitat
constant cap a la dreta.
Tram 5: Està aturat
1
2
3
4
5

34. Tram 1:
Interpretació de les gràfiques MRU
34
Calcula la velocitat en cada tram
∆t1 = 20 s
∆x1 = 300 m
m/s15
s20
m300
t
x
v
1
1
1 ==
∆
∆
=
Tram 2: m/s0
s15
m0
t
x
v
2
2
2 ==
∆
∆
=
∆t3 = 15 s
∆x3 = - 300 m
Tram 3: m/s20-
s15
m300-
t
x
v
3
3
3 ==
∆
∆
=
∆t4 = 10
s
∆x4 = 600 m
Tram 4: m/s60
s10
m600
t
x
v
4
4
4 ==
∆
∆
=
Tram 5: m/s0
s20
m0
t
x
v
5
5
5 ==
∆
∆
=

35. Interpretació de les gràfiques MRU
35-40
-20
0
20
40
60
80
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
t (s)
v(m/s)
v1 = 15 m/s
v3 = -20 m/s
v4 = 60 m/s
v5 = 0v2 = 0
Fes la gràfica velocitat-temps que correspon

36. Tram 1: t1 = 6.7 s
Interpretació de les gràfiques MRU
36
En quins instants de temps el vehicle està a la posició 100 m?
t1 = 6.7 s t2 = 45 s t3 = 51,7 s
Tram 3: t3 = 45 s
Tram 4: t3 = 51.7 s

37. Posició inicial
t0 = 0 s x0 = 0 m
Interpretació de les gràfiques MRU
37
Quina és la posició inicial? Quina és la posició final?
Posició final
tf = 80 s xf = 600 m

38. Interpretació de les gràfiques MRU
38
a) Quin n’ha estat el desplaçament? I l’espai recorregut?
-40
-20
0
20
40
60
80
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
t (s)
v(m/s)
v1 = 15 m/s
v3 = -20 m/s
v4 = 60 m/s
v5 = 0v2 = 0
base
∆t (s)
altura
v (m/s)
Àrea = b·h
∆x (m)
Espai rec.
s (m)
20 s 15 m/s 20·15 = 300 m 300 m
15 s 0 m/s 15·0 = 0 m 0 m
15 s -20 m/s 15·-20 = -300 m 300 m
10 s 60 m/s 10·60 = 600 m 600 m
20 s 0 m/s 20·0 = 0 m 0 m
Desplaçament total ∆x = 300+0-300+600+0 = 600 m
Distància recorreguda total ∆x = 300+0+300+600+0 = 1200 m

39. 39
Sabadell Barcelona20 km
Joan Pere
v = 10 m/s v = -8 m/s
1. Elegim un origen del sistema de referència.
x0 = 0 m x0 = 20 000 m
2. Elegim un origen de temps
Surt a les onze en punt Surt a les onze i deu
to = 0 to= 600 s
3. Plantegem les equacions de moviment de cada corredor
x = 10 t x = 20 000 – 8 (t-600)
10 t = 20 000 – 8 (t-600) 10 t + 8 t = 20 000 + 4800 18 t = 24 800 t = 24 800/18 = 1377,8 s
1377,8 s = 23 min4. La posició a la que es troben és
x = 10 t = 10 · 1377,8 = 13 778 m = 13,8 km de Sabadell A les 11 h 23 min
Moviment de 2 mòbils
x= x0 + v (t - t0)
5

40. 3. Canvi de la velocitat: Acceleració
40

41. 41
Quan canvia la velocitat d’un mòbil pot canviar la seva rapidesa o la
seva direcció, o totes dues coses alhora.
Canvi de la rapidesa:
3.a Canvi de la velocitat
Canvi de la direcció Canvi de la direcció i de la rapidesa

42. 42
Acceleració és una magnitud vectorial que mesura
el que varia la velocitat d’un mòbil per unitat de temps.
En el SI es mesura en (m/s)/s =m/s2
.
Acceleració tangencial (at) Acceleració centrípeta o normal (an)
Mesura el que varia el mòdul de la
velocitat per unitat de temps
Mesura el que varia la direcció
del vector velocitat per unitat de temps
Per què un mòbil tingui les dues
components de l’acceleració, ha de
tenir un moviment curvilini i la seva
velocitat ha de canviar en mòdul.
Acceleració
t-t
v-v
Δt
Δv
a
0
0
t ==
R
v
=a
2
n
v velocitat
R radi de gir

43. Moviment rectilini: el signe de l’acceleració
El signe de l’acceleració no té sentit per si sol, sempre s’ha de
comparar amb el de la velocitat.
En el moviment rectilini només hi ha acceleració tangencial, és
adir només varia la rapidesa del moviment no la seva direcció.
t-t
v-v
Δt
Δv
a
0
0
t ==
43

44. El signe de l’acceleració
44

45. 45
Moviment rectilini uniformement accelerat MRUA

46. 46
Equació de posició Equació de velocitat
3.b Moviment rectilini uniformement accelerat
La trajectòria és recta i l’acceleració és constant (en mòdul i direcció)
v = v0 + a (t - t0)x = x0 + v0 (t - t0) + a (t - t0)2
2
1
t
v
t
v
t
v
a
0
0
-
-
=
∆
∆
=
v = v0 + a t Quan to=0x = x0 + v0 t + a t 2
2
1 Quan to=0
v2
- v0
2
= 2a (x - x0)
Equació sense el temps

47. Exemple Problema MRUA
47
Condicions
inicials
t0=0 s
x0=0 m
v0=0 m/s
a= 2m/s2
MRUA = Acceleració constant
8. Resposta
L’espai recorregut pel cotxe serà 25 m.
Resolució numèrica
t=5 s x= ?
x = 52
= 25 m
Equació del moviment
x = x0 + v0 (t - t0) + a (t - t0)2
2
1
x = 0 + 0 (t - 0) + 2 (t - 0)2
x = t2
2
1

48. Exemple Problema MRUA
48
Condicions
inicials
t0=0 s
x0=0 m
v0=0 m/s
a= 2m/s2
8. Resposta
La velocitat del cotxe al cap de 5 s serà 10 m/s
Resolució numèrica
t=5 s v= ?
v = 2·5 = 10 m/s
Equació del moviment
v = v0 + a (t - t0)
v = 0+ 2 (t - 0)
v = 2 t

49. 49
Un mòbil es mou en línia recta des d’ un punt situat a 2 metres de l’origen amb una velocitat inicial de 3
m/s i una acceleració constant de 2 m/s2
.
x = x0 + v0 · t + 1/2 at2
x = 2 + 3 t + t2
Representació gràfica del MRUA . Gràfica x-t
La gràfica x-t és una paràbola, ja que la fórmula de la posició respecte el
temps és una funció de segon grau.

50. Gràfica posició-temps
50

51. 51
v = 3 + 2 t
v = v0 + at
Representació gràfica del MRUA. Gràfica v-t 6
Un mòbil es mou en línia recta des d’ un punt situat a 2 metres de l’origen amb una velocitat inicial de 3
m/s i una acceleració constant de 2 m/s2
.
La gràfica v-t és
una recta

52. 52
Gràfica velocitat-temps 4
Podem obtenir l’acceleració calculant el pendent

53. 53
Gràfica velocitat-temps 4
∆x = Àrea
El desplaçament realitzat s’obté
calculant l’àrea compresa entre
l’eix horitzontal de temps i
la recta que representa el canvi
de la velocitat amb el temps
Exemple
∆xAB = Àrea = Àrea + Àrea
∆xAB = ½·b h + b h
∆xAB = ½·20s·40m/s + 20s·40m/s
∆xAB = 400 m + 800 m = 1200 m

54. 54
MRUA: L’acceleració és la gravetat de la terra 9,8 m/s2
té direcció vertical i sentit cap avall. a = - 9,8 m/s2
té
Equacions del moviment
vertical:
Cas MRUA. Moviment vertical dels cossos
y = y0 + v0 (t - t0) - 9.8 (t - t0)2
2
1
v= vo- 9.8 (t – t0)
y = y0 + v0 t - 9.8 t 2
2
1
Quan to=0
v= v0- 9.8 t
Quan to=0
87
y = 200 – 4.9 t 2
v = - 9.8 t

55. 55
Moviment de caiguda lliure
Gràfica posició-temps
Gràfica velocitat-temps
-9,8 m/s2
y = 200 – 4.9 t 2
v = - 9.8 t
Equació posició-temps
Equació velocitat-temps

56. 56
Moviment de llançament cap amunt
Gràfica x-t
0,0
5,0
10,0
15,0
20,0
25,0
0 1 2 3 4
t (s)
x(m)
Gràfica posició-temps
Gràfica v-t
-30,0
-20,0
-10,0
0,0
10,0
20,0
30,0
0 1 2 3 4
t (s)
v(m/s)
Gràfica velocitat-temps
y = 20 t – 4.9 t 2
v = 20 - 9.8 t
Equació posició-temps
Equació velocitat-temps

57. 57
Resum de fórmules
0x-xxΔ =
x= x0 + v (t - t0) )0t-(tvx =∆
Desplaçament
MRU
x = x0 + v0 (t − t0) + a (t − t0)2
2
1
v = v0 + a (t - t0)
y = y0 + v0 t - 9’8 t 2
2
1
v= vo- 9’8 t
t
v
t
v
t
v
a
0
0
-
-
=
∆
∆
= Acceleració
MRUA
MRUA. Caiguda lliure
9

58. 58
DISTÀNCIA DE DETENCIÓ DISTÀNCIA DE REACCIÓ DISTÀNCIA DE FRENADA= +
En un adult, el temps de reacció mig oscil.la
entre 0,75 i 1 segon.
Quan un cotxe circula per una carretera, ha de mantenir
una certa distància de seguretat, que depèn de la velocitat
i ha de ser, com a mínim, el doble de la distància que recorre a
aquesta velocitat en el temps de reacció.
50 km/h
90 km/h
120 km/h
En 1 s es recorren 14 metres.
En 1 s es recorren 25 metres.
En 1 s es recorren 33,3 metres.
25 m 40 m
65 m
70 m33,3 m
103,3 m
14 m 12 m
26 m
Velocitat i distància de seguretat

59. 3.c Moviment Circular
Moviment d’un mòbil amb trajectòria en forma de circumferència

60. Angle girat ϕ i distància recorreguda s
60
En un moviment circular la distància
recorreguda depèn del radi de gir.
r·s ϕ=
s és la distància recorreguda (en metres)
r el radi de gir (en metres)
ϕ és l’angle (en radiants)
Si el radi de gir augmenta la distància
recorreguda ho fa proporcionalment.

61. /
El radiant és la mesura "natural" dels
angles ja que és la unitat del Sistema
Internacional d'Unitats.
La raó principal d'aquesta elecció és que
l'angle complet d'un cercle mesura 2π
radiants.
Per tant, l'equivalència entre les dues
mesures d'angles és:
2π rad. = 360º
π rad. = 180º
L’angle girat i els radiants
360ºrad2volta1 == π

62. Posició:
Lineal: Arc recorregut (s) en m.
Angular: angle girat (ϕ) en rad
Moviment Circular: Posició
P
0
s
ϕ
r
r·s ϕ=
s és la distància recorreguda
r el radi de gir
ϕ és l’angle (en rad)
Relació entre posició lineal i angular:

63. Moviment Circular: Posició
63
La Lluna ha fet un gir de 30º respecte a la Terra. Si la distància entre
la Terra i la Lluna és de 384.400 km, quina distància ha recorregut
en aquest gir ?

64. Moviment Circular: Posició
64
La Lluna ha fet un gir de 30º respecte a
la Terra. Si la distància entre la Terra i la
Lluna és de 384.400 km, quina distància
ha recorregut en aquest gir ?
0
s = ?
ϕ = 30º
r=384.400 km
s = ?
r = 384.400 km
rad0.524
6360º
2
·30º ===
ππ
ϕ
r·s ϕ=
km201425384400·.5240s ==
La Lluna ha recorregut una distància de 201.425 km

65. Velocitat:
Velocitat lineal (m/s)
Velocitat angular (rad/s)
∆s
∆t
v =
∆ϕ
∆t
ω =
Moviment Circular: Velocitat
P
∆s
∆ϕ
0
v
ω
-Relació entre la velocitat lineal i la velocitat angular:
v = ω · r

66. Moviment Circular: Velocitat
66
Una pedra lligada a un fil de 1,5 m gira fent una volta cada 0.5 s.
Quina velocitat angular i lineal té ?
P
∆s
∆ϕ
0
v
ω

67. Moviment Circular: Velocitat
67
P
∆s
∆ϕ
0
v
ω
Una pedra lligada a un fil de 1,5 m gira fent
una volta cada 0.5 s.
Quina velocitat angular i lineal té ?
ϕ = 2π rad
r = 1.5 m
s = ϕ · r = 1.5· 2π = 9.42 m
∆t = 0.5 s
sradsrad /57.21/4
s0.5
rad2
t
===
∆
= π
πϕ
ω
Velocitat angular
Velocitat lineal
m/s8.81
s0.5
m42.9
t
==
∆
=
s
v
v = ω · r
v = 12.57· 1.5 = 18.8 m/s
La pedra té una velocitat angular de 12.57 rad/s i una velocitat
lineal de 18.8 m/s

68. 68
Moviment Circular Uniforme (MCU)
El moviment circular uniforme (MCU) és un moviment on la trajectòria és
circular i gira fent les mateixes voltes per unitat de temps
La trajectòria és circular i la velocitat angular és constant
ϕ= ϕo+ω t Quan to=0
Equació de posició angular

69. 69
Moviment Circular Uniforme (MCU)
El moviment circular uniforme (MCU) és un moviment on la trajectòria és
circular i gira fent les mateixes voltes per unitat de temps
La trajectòria és circular i la velocitat angular és constant
Període (T): temps en que triga el mòbil en
girar una volta
T·f = 1
T = 1/f f = 1/T
Freqüència (f): nombre de voltes que gira
el mòbil cada segon.

70. Moviment Circular Uniforme (MCU)
70
Una roda de bicicleta de 40 cm de radi gira
uniformement a raó de 25 voltes per minut.
Quin és el període de gir ?
srad
rad
x /62.2
s60
25·2
s60
min1
x
volta1
rad2
min1
voltes25
===
ππ
ω
Quina és la velocitat angular (rad/s) ?
s.42
volta1
s4.2
voltes25
60
===
s
T
Quina és la velocitat en un punt de la perifèria de la roda, és a dir,
a la coberta de goma o el radi és 40 cm = 0.4 m?
v = ω · r
v = 2.62· 0.4 = 1.05 m/s

71. El MCU és un moviment periòdic. Es va repetint cada cert temps.
Període (T) : és el temps que triga el cos en donar una volta ( el moviment torna
a repetir-se). És mesura en s.
Freqüència (f) : indica el nombre de voltes que dóna el cos en un segon. Es
mesura en Hertzs ( Hz). 1 Hz = 1/s = s-1
.
El període i la freqüència són inverses.
Si considerem una volta:
Relació entre magnituds lineals i angulars:
Període (T) i freqüència (f) del MCU

72. Tipus de moviments
72