Il documento tratta del calcolo letterale utilizzando espressioni algebriche, definendo concetti fondamentali come monomi e polinomi, e le operazioni ad essi associate. Viene anche illustrata la proprietà commutativa e come risolvere espressioni contenenti lettere e numeri. Inoltre, si approfondiscono le operazioni tra monomi e polinomi, come addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione, con esempi pratici.

2. Il calcolo letterale
Consideriamo la seguente frase:
“ La somma di due numeri naturali è uguale a 5 ”
In linguaggio matematico si può tradurre nel modo
seguente
0+5=5
1+4=5
2+3=5
3+2=5
1+4=5
0+5=5

3. Oppure, in simboli matematici, e quindi in maniera
sintetica, si può scrivere
a+b=5
sottolineando che
a e b rappresentano numeri naturali

4. Se i calcoli vengono eseguiti con
le lettere invece che con i numeri,
si può costruire una forma più
generale rispetto ad un semplice
esempio numerico.

5. Per esempio
Per definire la proprietà commutativa fra due
numeri naturali si può scrivere
2+5=5+2 oppure
4+9=9+4 oppure
2+6=6+2 oppure
9+7=7+9 oppure
12+84=84+12
similmente, in maniera generale, si può scrivere
a+b = b+a
(sottolineando che a e b sono numeri naturali)

6. • Il calcolo letterale consente di risolvere
espressioni con le lettere proprio come fossero
numeri.
• Espressioni dove compaiono numeri e lettere si
chiamano “espressioni algebriche letterali”
Possiamo dire quindi che
• Una espressione algebrica letterale è
un’espressione in compaiono numeri e lettere.

7. Esempi
in generale la somma di due numeri
qualsiasi si può scrivere
in generale il prodotto di due numeri
qualsiasi si può scrivere
x x y
oppure, ancora meglio,
(per non confondere il segno di moltiplicazione con la lettera x)
yx +
yx ⋅

8. Il doppio di quattro in linguaggio
matematico si può scrivere
Il doppio di dodici in linguaggio
matematico si può scrivere
Il doppio di un numero in linguaggio
matematico si può scrivere
Dove x rappresenta un numero qualsiasi.
42⋅
122⋅
x⋅2

9. La metà di 8 in linguaggio matematico si può
scrivere
La metà di 13 in linguaggio matematico si
può scrivere
La metà di un numero in linguaggio
matematico si può scrivere
Dove x rappresenta un numero qualsiasi.
2
8
2
13
2
x

10. Consideriamo un rettangolo e
indichiamo con x il lato maggiore e con y
il lato minore.
Quanto vale il perimetro?
Esercizio
Il perimetro vale

11. L'espressione letterale più
semplice è il monomio.
Definizione di monomio
“Un monomio è una espressione algebrica di numeri e lettere in cui
compare soltanto l’operazione di moltiplicazione e gli esponenti delle
lettere sono numeri naturali.”
Possiamo anche dire:
“Un monomio è una espressione algebrica letterale in cui compare solo
l’operazione di moltiplicazione e gli esponenti delle lettere sono numeri
naturali.”
Esempio : -2a3
b4
x6
; xyt ; a3
b2
c 5a3
7b4
x2
Un monomio si dice nullo quando la parte numerica è uguale a 0
Un monomio si dice ridotto in forma normale quando è scritto come
prodotto di un solo numero e una o più lettere tutte diverse tra loro.
5
3

12. Quando un monomio è ridotto in forma normale:
La parte numerica si dice coefficiente numerico
Le lettere costituiscono la parte letterale.
Esempio :
-2a3
b4
x6
è ridotto in forma normale
(-2 rappresenta il coefficiente numerico e a3
b4
x6
rappresenta la parte letterale )
5a3
3b4
x2
b non è ridotto in forma normale;
(per ridurlo in forma normale dobbiamo scrivere 30 a3
b5
x)

13. Grado di un monomio: è la somma degli esponenti
di tutte le lettere che compaiono nel monomio
Esempio : 4 a3
b2
c è un monomio di grado 6 ,
perché 3+2+1 = 6
Monomi simili : due o più monomi sono simili
quando hanno la stessa parte letterale
Esempio : 2ab ; - 3ab ; 5ba;
Monomi opposti : sono due monomi simili , ma con
coefficienti opposti
Esempio : - 2ab e + 2ab

14. Operazioni tra monomi
Addizione e sottrazione di monomi
L’addizione e sottrazione tra monomi si può eseguire solo tra monomi simili.
Il risultato è un monomio simile , avente la stessa parte letterale e come
coefficiente la somma algebrica dei coefficienti
Esempio :
Moltiplicazione di monomi
Il prodotto tra 2 o più monomi è un monomio avente per coefficiente il prodotto dei
coefficienti e come parte letterale il prodotto delle lettere
NB per il prodotto delle lettere uguali applicare la prima proprietà delle potenze
(addizione degli esponenti delle lettere uguali)
per il prodotto dei coefficienti ricordare le regole del segno del prodotto di 2 numeri
relativi.
Esempio
5565423
yx30a-y)5a()y3x-(2ax =⋅⋅
4a-2aca)26(-ac5)3-(2a6a5ac3ac- =+++=++

15. Divisione di monomi
Il quoziente tra 2 monomi è un monomio avente per coefficiente il quoziente dei
coefficienti e come parte letterale il quoziente delle lettere
NB per il quoziente delle lettere uguali applicare la seconda proprietà delle
potenze (sottrazione degli esponenti delle lettere uguali)
per il quoziente dei coefficienti ricordare le regole del segno del quoziente di 2
numeri relativi.
Esempio:
Potenza di un monomio
per elevare a potenza un monomio , basta elevare a quella potenza sia il
coefficiente che tutte le lettere della parte letterale.
Esempio:

16. M.C.D. e m.c.m. tra monomi
Il M.C.D. tra 2 o più monomi è il monomio che ha :
per coefficiente il M.C.D. dei coefficienti, se essi sono tutti numeri interi,
altrimenti il coefficiente è sempre + 1
per parte letterale solo le lettere comuni con l’esponente minore
Il m.c.m. tra 2 o più monomi è il monomio che ha :
per coefficiente il m.c.m. dei coefficienti, se essi sono tutti numeri interi,
altrimenti il coefficiente è sempre + 1
per parte letterale tutte le lettere, comuni e non comuni , prese una
sola volta , con l’esponente maggiore

17. Esempio 1
calcolare il M.C.D. e il m.c.m. fra i seguenti monomi
Esempio 2
calcolare il M.C.D. e il m.c.m. fra i seguenti monomi

18. POLINOMI
DEFINIZIONE DI POLINOMIO
Un polinomio è dato dalla somma algebrica di 2 o più monomi non simili
(i monomi che compaiono in un polinomio si dicono TERMINI del
polinomio)
Esempio : 2a + 3b ; 4axy – 3x + 5a
GRADO COMPLESSIVO DI UN POLINOMIO : è il grado del suo
monomio di grado maggiore
Esempio : il polinomio ( 3a4
xy5
– 2x)
ha grado complessivo 10 , perché tra i 2 monomi che
formano il polinomio , il 1° monomio ha grado maggiore e
vale 10

19. POLINOMIO ORDINATO IN MODO CRESCENTE RISPETTO A UNA LETTERA
se i suoi termini sono disposti in modo tale che gli esponenti di
quella lettera sono in ordine crescente
Esempio : 8x5
y – 5x6
y2
+ 7 x8
è ordinato secondo potenze crescenti di x
POLINOMIO ORDINATO IN MODO DECRESCENTE RISPETTO A UNA LETTERA
se i suoi termini sono disposti in modo tale che gli esponenti di
quella lettera sono in ordine decrescente
Esempio : 8x6
y3
– 5x2
y2
+ 7 xy1

20. POLINOMIO COMPLETO RISPETTO AD UNA LETTERA
se per tale lettera si presentano tutte le potenze dal grado massimo fino al
grado 0
Esempio : 2a3
+ a2
– 7a + 8
POLINOMIO OMOGENEO
se tutti i suoi termini hanno lo stesso grado
Esempio : 2a3
+ a2
b – 7ab2
+ 8 b3

21. OPERAZIONI TRA POLINOMI
ADDIZIONE E SOTTRAZIONE TRA POLINOMI
Per addizionare o sottrarre 2 o più polinomi si scrivono uno di seguito all’altro
eliminando le parentesi e sommando i termini simili
Per eliminare le parentesi si applicano le regole già note:
se la parentesi è preceduta da un segno + ,
i termini in essa contenuti non cambiano segno
se la parentesi è preceduta da un segno - ,
i termini in essa contenuti cambiano segno
esempio
( 2a3
+ a2
– 25a + 12 ) = 2a3
+ a2
– 25a + 12
- ( 2a3
+ a2
– 25a + 12 ) = - 2a3
- a2
+25a – 12

22. Eseguire la seguente somma algebrica di polinomi:
eliminiamo le parentesi
Semplifichiamo i monomi opposti 5b e -5b; +3a e -3a
Sommiamo i monomi simili e otteniamo il polinomio cercato.
5ab)(6a-2b)-(3a-5b)(3a5b)(2a 22
=++−++
5ab6a-2b3a-5b3a5b2a 22
=+−+−++
2
a-b2a +

23. MOLTIPLICAZIONE DI UN MONOMIO PER UN POLINOMIO
Basta applicare la proprietà distributiva della moltiplicazione , moltiplicando ogni
termine del polinomio per il monomio ( ricordando la proprietà della moltiplicazione
tra potenze con basi uguali e la regola dei segni della moltiplicazione)
Esempio : ( - 3a2b ) .
( 3a - b + 5ab ) = - 9 a3
b + 3 a2
b2
– 15 a3
b2
DIVISIONE DI UN POLINOMIO PER UN MONOMIO
Basta applicare la proprietà distributiva della divisione, dividendo ogni termine del
polinomio per il monomio ( ricordando la proprietà della divisione tra potenze con
basi uguali e la regola dei segni della divisione )
Esempio 1 (12a2
– 9ab + 6a ) : ( - 3 a ) = - 4 a + 3b – 2
Esempio 2 ( x + 3y – 4 ) : 2x =

24. MOLTIPLICAZIONE TRA DUE POLINOMI
Basta moltiplicare ogni termine del primo polinomio per ogni termine del
secondo polinomio
Esempio :
( 2a - 3b ) .
( -3ab + 5ax + 1 ) = - 6a2
b + 10 a2
x + 2a + 9ab2
- 15abx – 3b

25. Lettere al posto dei numeri

27. Video lezione sui monomi