Divisione di due polinomi in una sola variabile

1. Divisione di due polinomi in una sola variabile Prof. A.Giardina

2. Cosa significa dividere due polinomi Siano A(x) e B(x) due polinomi nella stessa incognita x Prof. A.Giardina

3. Cosa significa dividere due polinomi A(x) con il Dividere il polinomio B(x) significa polinomio non nullo trovare un polinomio Q(x), detto quoziente, e un polinomio R(x), detto resto, percui risulti: A(x) = B(x)·Q(x)+ R(x) e gradoR(x) < grado B(x) Prof. A.Giardina

4. Cosa significa dividere due polinomi Note A(x) = B(x)·Q(x)+ R(x) La relazione implica che la divisione A(x):B(x) si può eseguire quando il grado del polinomio dividendo A(x) è maggiore o uguale al grado del polinomio divisore B(x) Prof. A.Giardina

5. Cosa significa dividere due polinomi Note A(x) = B(x)·Q(x)+ R(x) La relazione implica che la divisione A(x):B(x) si può eseguire quando il grado del polinomio dividendo A(x) è maggiore o uguale al grado del polinomio divisore B(x) Se R(x) = 0 il polinomio A(x) si dice divisibile per il polinomio B(x) e risulta A(x) = B(x)·Q(x) Prof. A.Giardina

6. Come eseguire una divisione tra polinomi A(x) La divisione verrà impostata nel modo seguente B(x) ------- ------- Q(x) R(x) Prof. A.Giardina

7. Come eseguire una divisione tra polinomi Per eseguire la divisione tra due polinomi è intanto necessario ordinarli secondo le potenze decrescenti della variabile e, se necessario, completarli. Prof. A.Giardina

8. Come eseguire una divisione tra polinomi Per eseguire la divisione tra due polinomi è intanto necessario ordinarli secondo le potenze decrescenti della variabile e, se necessario, completarli. Porto adesso un esempio per spiegare il procedimento di esecuzione di una divisione. Prof. A.Giardina

9. Esempio di esecuzione di una divisione tra polinomi Siano A(x) = 3 –4x4+2x3 -5x B(x)= x2-5x+2 Vogliamo eseguire la divisione A(x):B(x) ovvero la divisione (3 –4x4 +2x3 -5x):(x2-5x+2) Prof. A.Giardina

10. Esempio di esecuzione di una divisione tra polinomi Step 1 (3 –4x4 +2x3 -5x):(x2-5x+2) Innanzi tutto disponiamo i due polinomi ordinandoli e completandoli Prof. A.Giardina

11. Esempio di esecuzione di una divisione tra polinomi Step 1 (3 –4x4 +2x3 -5x):(x2-5x+2) In questo caso è necessario ordinare e completare soltanto il polinomio A(x) –4x4 +2x3 +0x2-5x +3 x2-5x+2 B(x) A(x) Il monomio nullo 0x2 è stato aggiunto per rendere completo il polinomio A(x) Prof. A.Giardina

12. Esempio di esecuzione di una divisione tra polinomi Step 2 Dividiamo il primo termine -4x4 di A(x) per il primo terminex2di B(x). Si ottiene -4x4:x2 = -4x2 che rappresenta il primo termine del quoziente Q(x) –4x4 +2x3 +0x2-5x +3 x2-5x+2 B(x) A(x) Prof. A.Giardina

13. Esempio di esecuzione di una divisione tra polinomi Step 2 Dividiamo il primo termine -4x4 di A(x) per il primo terminex2di B(x). Si ottiene -4x4:x2 = -4x2 che rappresenta il primo termine del quoziente Q(x) –4x4 +2x3 +0x2-5x +3 x2-5x+2 B(x) A(x) Prof. A.Giardina

14. Esempio di esecuzione di una divisione tra polinomi Step 2 Dividiamo il primo termine -4x4 di A(x) per il primo terminex2di B(x). Si ottiene -4x4:x2 = -4x2 che rappresenta il primo termine del quoziente Q(x) –4x4 +2x3 +0x2-5x +3 x2-5x+2 B(x) A(x) -4x2 Prof. A.Giardina

15. Esempio di esecuzione di una divisione tra polinomi Step 3 Si moltiplica il primo termine -4x2di Q(x)con ciascun termine di B(x) e i prodotti ottenuti, cambiati di segno, si riportano sotto A(x) incolonnando i termini simili –4x4 +2x3 +0x2-5x +3 x2-5x+2 B(x) A(x) +4x4-20x3+8x2 -4x2 -[-4x2*B(x)] Prof. A.Giardina

16. Esempio di esecuzione di una divisione tra polinomi Step 4 Si calcola il primo resto parziale R1(x) sommando termine a termine A(x) con –[-4x2·B(x)] –4x4 +2x3 +0x2-5x +3 x2-5x+2 B(x) A(x) +4x4-20x3+8x2 -4x2 -[-4x2*B(x)] -18x3+8x2-5x +3 R1(x) Prof. A.Giardina

17. Esempio di esecuzione di una divisione tra polinomi Step 5 Si ripete quanto prima fatto a partire dallo Step 2 , prendendo però in considerazione R1(x) –4x4 +2x3 +0x2-5x +3 x2-5x+2 B(x) A(x) +4x4-20x3+8x2 -4x2 -[-4x2*B(x)] -18x3+8x2-5x +3 R1(x) Prof. A.Giardina

18. Esempio di esecuzione di una divisione tra polinomi Step 6 La divisione avrà termine quando il grado del resto risulterà minore del grado del divisore B(x) –4x4 +2x3 +0x2-5x +3 x2-5x+2 B(x) A(x) +4x4-20x3+8x2 -4x2 -18x -[-4x2*B(x)] -18x3+8x2-5x +3 R1(x) Prof. A.Giardina

19. Esempio di esecuzione di una divisione tra polinomi Step 6 La divisione avrà termine quando il grado del resto risulterà minore del grado del divisore B(x) –4x4 +2x3 +0x2-5x +3 x2-5x+2 B(x) A(x) +4x4-20x3+8x2 -4x2 -18x -[-4x2*B(x)] -18x3+8x2 -5x +3 R1(x) +18x3-90x2+36x -[-18x*R1(x)] Prof. A.Giardina

20. Esempio di esecuzione di una divisione tra polinomi Step 6 La divisione avrà termine quando il grado del resto risulterà minore del grado del divisore B(x) –4x4 +2x3 +0x2-5x +3 x2-5x+2 B(x) A(x) +4x4-20x3+8x2 -4x2 -18x -[-4x2*B(x)] -18x3+8x2 -5x +3 R1(x) +18x3-90x2+36x -[-18x*R1(x)] -82x2+31x +3 R2(x) Prof. A.Giardina

21. Esempio di esecuzione di una divisione tra polinomi Step 6 La divisione avrà termine quando il grado del resto risulterà minore del grado del divisore B(x) –4x4 +2x3 +0x2-5x +3 x2-5x+2 B(x) A(x) +4x4-20x3+8x2 -4x2 -18x -[-4x2*B(x)] -18x3+8x2 -5x +3 R1(x) +18x3-90x2+36x -[-18x*R1(x)] -82x2+31x +3 R2(x) Prof. A.Giardina

22. Esempio di esecuzione di una divisione tra polinomi Step 6 La divisione avrà termine quando il grado del resto risulterà minore del grado del divisore B(x) –4x4 +2x3 +0x2-5x +3 x2-5x+2 B(x) A(x) +4x4-20x3+8x2 -4x2 -18x -82 -[-4x2*B(x)] -18x3+8x2 -5x +3 R1(x) +18x3-90x2+36x -[-18x*R1(x)] -82x2+31x +3 R2(x) Prof. A.Giardina

23. Esempio di esecuzione di una divisione tra polinomi Step 6 La divisione avrà termine quando il grado del resto risulterà minore del grado del divisore B(x) –4x4 +2x3 +0x2-5x +3 x2-5x+2 B(x) A(x) +4x4-20x3+8x2 -4x2 -18x -82 -[-4x2·B(x)] -18x3+8x2 -5x +3 R1(x) +18x3-90x2+36x -[-18x·R1(x)] - 82x2+31x +3 R2(x) +82x2-410x +164 -[-82·R2(x)] Prof. A.Giardina

24. Esempio di esecuzione di una divisione tra polinomi Step 6 La divisione avrà termine quando il grado del resto risulterà minore del grado del divisore B(x) –4x4 +2x3 +0x2-5x +3 x2-5x+2 B(x) A(x) +4x4-20x3+8x2 -4x2 -18x -82 -[-4x2·B(x)] -18x3+8x2 -5x +3 R1(x) +18x3-90x2+36x Q(x) -[-18x·R1(x)] -82x2+31x +3 R2(x) +82x2-410x +164 -[-82·R2(x)] -379x +167 Prof. A.Giardina R(x)

25. Esempio di esecuzione di una divisione tra polinomi Dividendo il polinomio A(x) = 3 –4x4+2x3 -5x con il polinomio B(x)= x2-5x+2 abbiamo trovato: Il quoziente Q(x) = -4x2 -18x -82 e Il resto R(x) = -379x +167 Grado di R(x)=1 Grado di B(x)=2 Ovvero: Grado di R(x) < Grado di B(x) Prof. A.Giardina

26. Verifica della divisione tra due polinomi Se il polinomio Q(x)e R(x) sono veramente il quoziente e il resto della divisione A(x):B(x), allora deve essere verificata la relazione B(x)·Q(x)+ R(x) = A(x) cioè il valore dell'espressione (x2-5x+2)·(-4x2 -18x -82)+(-379x +167) deve essere uguale a 3 –4x4+2x3 -5x = A(x) Prof. A.Giardina

27. Verifica della divisione tra due polinomi Infatti Prof. A.Giardina

28. Verifica della divisione tra due polinomi Infatti Resta dunque verificato che Q(x)e R(x) rappresentano il quoziente e il resto della della divisione A(x):B(x) Prof. A.Giardina

29. Fine Prof. A.Giardina