Proporzioni, 4 Operazioni, Insiemi Numerici

1. Basi della
Matematica
Di Chiara Rodolfi

2. Addizione
I termini si dicono addendi
Il risultato si dice somma
L’addizione è un’operazione interna
all’insieme N
Vale:
-La proprietà commutativa
-La proprietà associativa
-Esiste l’elemento neutro che è lo 0

3. Sottrazione
I termini si dicono minuendo e sottraendo
Il risultato si dice Differenza
La sottrazione non è un’operazione interna
all’insieme N
Non vale:
-La proprietà commutativa
-La proprietà associativa
-Non esiste l’elemento neutro
Vale la proprietà invariantiva: sommando o
sottraendo uno stesso numero dal minuendo e
dal sottraendo la differenza non cambia

4. Moltiplicazione
I termini si dicono fattori
Il risultato si dice prodotto
La moltiplicazione è un’operazione interna
all’insieme N
Vale:
-La proprietà commutativa
-La proprietà associativa
-Proprietà distributiva
-Esiste l’elemento neutro che è 1
-Legge di annullamento del prodotto: il prodotto di
due fattori è nullo se e solo se almeno uno dei due
fattori è nullo

5. Divisione
I termini si dicono dividendo e divisore
Il risultato si dice quoto o quoziente
La divisione non è un’operazione interna
all’insieme N
Non vale:
-La proprietà commutativa
-La proprietà associativa
-Non esiste l’elemento neutro
Vale la proprietà invariantiva: Moltiplicando o
dividendo uno stesso numero dal dividendo e
dal divisore il quoto non cambia

6. Multiplo & Divisore
Multiplo
Dati due numeri a e b si dice che a è
multiplo di b se esiste un numero tale
che: bxn=a
Divisore
Dati due numeri a e b si dice che b è
divisore di a ( o che a è divisibile per b )
se esiste un numero tale che
a:b=n

7. Criteri di divisibilità
Per 2: quando il numero è pari
Per 3: quando la somma delle cifre è divisibile per 3
Per 4: quando gli ultimi 2 numeri sono 00 o sono divisibili per
4
Per 5: quando il numero finisce per 0 o 5
Per 8: quando la somma delle ultime 3 cifre sono un
numero divisibile per 8 o sono 000
Per 9: quando la somma delle cifre è un numero divisibile
per 9
Per 11: quando la somma delle cifre di posto dispari meno
la somma delle cifre di posto pari è un numero divisibile per
11
Per 25: quando il numero finisce per 00, 25, 50, 75

8. Potenze
Dato un numero naturale a e un numero naturale n, si dice potenza n-
esima di a, il prodotto di n fattori uguali ad a
Prodotto di due potenze con la stessa base
E’ una potenza che ha come base la stessa base e come esponente la
somma degli esponenti
Quoziente di due potenze con la stessa base
E’ una potenza che ha come base la stessa base e come esponente la
differenza degli esponenti
Potenza di potenza
E’ una potenza che ha come base la stessa base e come esponente il
prodotto degli esponenti
Prodotto di due potenze con lo stesso esponente
E’ una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponenti la
somma degli esponenti
Quoziente di due potenze con lo stesso esponente
E’ una potenza che ha per base il quoziente delle basi e per esponente
lo stesso esponente

9. Numeri primi e primi tra loro
Numeri primi
Un numero si dice primo se è divisibile solo
per 1 e per se stesso.
Numeri primi tra loro
Due numeri si dicono primi tra loro se
hanno come unico divisore comune 1
Chiarimenti:
Due numeri primi sono sicuramente anche
primi tra loro, ma non è detto che due
numeri primi tra loro siano anche primi

10. M.C.D
Si dice M.C.D di due o più numeri il più
grande divisore comune ai numeri dati
Come si calcola:
Si scompongono i numeri in fattori primi
e si prendono i fattori comuni una sola
volta e con il minimo esponente

11. m.c.m
Si dice m.c.m di due o più numero il più
piccolo multiplo comune ai numeri dati
Come si calcola:
Si scompongono i numeri in fattori primi
e si prendono i fattori comuni e non
comuni una sola volta e con il massimo
esponente

12. Insieme numeri relativi Z
E’ l’insieme dei numeri con il segno
Concordi: hanno lo stesso segno
Discordi: hanno segno diverso
Numeri opposti
Due numeri si dicono opposti quando hanno lo stesso valore
assoluto ma segno diverso
Valore Assoluto
Si dice valore assoluto il numero senza il segno
Addizione in Z
Valgono le stesse proprietà che valevano in N. Si aggiunge
l’elemento simmetrico che è l’opposto
Sottrazione in Z
Valgono le stesse proprietà che valevano in N. Ora la sottrazione
è un’operazione interna binaria in Z. La moltiplicazione e la
divisione restano uguali

13. Confronto tra numeri relativi
- Ogni numero positivo è maggiore di goni numero negativo
- Lo zero è maggiore di tutti i numeri negativi e minore di tutti i numeri positivi
- Confronto numeri concordi
Positivi: è maggiore quello che ha valore assoluto maggiore
Negativi: è maggiore quello che ha valore assoluto minore
Somma algebrica
E’ la somma tra numeri realtivi
Somma di numeri relativi
Concordi: E’ un numero che ha per segno il segno dei numeri e per valore assoluto la somma dei
valori assoluti
Discordi: E’ un numero che ha per segno il segno del numero con valore assoluto maggiore e per
valore assoluto la differenza dei valori assoluti
Il prodotto di tre o più termini è:
Positivo: se il numero di fattori negativi è pari
Negativo: se il numero di fattori negativi è dispari
Regole dei Segni
+x + =+
+x - =-
- x +=-
- X- =+

14. Proporzioni
Definizione Rapporto
Dati due numeri relativi interi, con il secondo diverso da 0, si dice
rapporto di quoto della divisione tra i due numeri
Definizione proporzione
La proporzione è l’uguaglianza tra due rapporti
I numeri si chiamano termini della proporzione
Il 1 e il 4 si dicono estremi
Il 2 e il 3 si dicono medi
Il 1 e il 3 si dicono antecedenti
Il 2 e il 4 si dicono conseguenti
Una proporzione si dice continua se hai medi uguali. Si parla di
medio proporzionale. L’ultimo termine è detto terzo
proporzionale
Se una proporzione non è continua l’ultimo termine è detto
quarto proporzionale

15. Proprietà delle proporzioni
Proprietà fondamentale
Il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi
Proprietà del permutare
Scambiando tra loro medi o estremi si ottiene una nuova
proporzione
Proprietà dell’invertire
Scambiando ogni antecedente per il proprio conseguente
si ottiene una nuova proporzione
Proprietà del comporre
La somma del 1 e 2 termine sta al 1 e al 2 come la
somma del 3 e 4 termine sta al 3 e al 4
Proprietà dello scomporre
La differenza del 1 e 2 termine sta al 1 e al 2 come la
differenza del 3 e 4 termine sta al 3 e al 4

16. Numeri razionali Q
Definizione Frazione
Dati due numeri interi relativi n, d con d diverso da 0, si definisce frazione il quoto di n e d e si scrive
n/d
n e d si dicono termini della frazione
n è il numeratore
d è il denominatore
Frazioni proprie
Quando il numeratore è minore del denominatore. La frazione è <1
Frazioni improprie
Quando il numeratore è maggiore del denominatore. La frazione è >1
Frazioni Apparenti
Quando il numeratore è un multiplo del denominatore. La frazione è un numero intero > o =1
Frazioni equivalenti
Due frazione si dicono equivalenti se rappresentano lo stesso quoto
Frazione ridotta ai minimi termini
Una frazione si dice ridotta ai minimi termini quando il numeratore e il denominatore sono numeri
primi tra loro
Proprietà Invariantiva
Moltiplicando o dividendo il numeratore o il denominatore per uno stesso numero si ottiene una
frazione equivalente

17. Operazioni in Q
Addizione: come in Z
Sottrazione: come in Z
Moltiplicazione: Come in Z + elemento simmetrico
Definizione Inverso o Reciproco
Due numeri a e b si dicono reciproci se il loro prodotto è uguale a 1, axb=1
Divisione: In Q0 diventa un operazione interna binaria a Q
Addizione: Per sommare una o più frazioni bisogna portarle allo stesso
denominatore e poi sommare in numeratori. Idem per la sottrazione
Moltiplicazione: Si moltiplicano tra loro nominatori e denominatori
Divisione: Si moltiplica la prima frazione per l’inverso della frazione
Potenza di frazione
Valgono le stesse proprietà delle potenze
Potenza a esponente negativo
Dati un numero razionale a diverso da zero e un numero naturale n si dice
potenza a esponente negativo –n di a l’inverso di a alla n

18. Frazioni e numeri decimali
Tutte le frazione che, ridotte ai minimi termini, hanno al denominatore:
- 2 o 5 o entrambi, è un numero decimale finito: la frazione generata
da un numero decimale finito ha al nominatore il numero senza la
virgola e al denominatore 1 più tanti zeri quante sono le cifre
decimali
- Numeri diversi da 2 e 5, è un numero decimale periodico semplice:
la frazione generata da un numero periodico semplice ha al
numeratore il numero senza la virgola meno la parta che precede il
periodo e al denominatore tanti nove quante sono le cifre del
periodo
- Numeri diversi da 2 e 5 con 2 o 5, è un numero decimale periodico
misto: la frazione generata da un numero periodico semplice ha al
numeratore il numero senza la virgola meno la parta che precede il
periodo e al denominatore tanti nove quante sono le cifre del
periodo e tanti 0 quante sono le cifre dell’antiperiodo ( la parte
decimale che precede il periodo )