Sistem linier waktu-invarian memiliki sifat superposisi yang terdiri dari aditivitas dan homogenitas. Sifat ini menghasilkan kombinasi linier sehingga jika masukan sistem merupakan jumlah dari beberapa masukan, maka keluarannya akan menjadi jumlah dari keluaran masing-masing masukan. Sistem linier waktu-invarian dapat direpresentasikan baik secara diskrit maupun kontinu menggunakan konsep impuls.

1. SSiisstteemm LLiinniieerr
Kuliah ke-3
Dwi Prananto
Prodi. Teknik Elektro
Universitas Panca Marga Probolinggo

2. SSiisstteemm WWaakkttuu--iinnvvaarriiaann LLiinniieerr
● Waktu­invarian
(tak­ubah
waktu):
● Linier → memiliki sifat superposisi:
1. Aditivitas
2. Homogenitas
Gabungan kedua sifat menghasilkan kombinasi linier:

3. SSiisstteemm WWaakkttuu--iinnvvaarriiaann LLiinniieerr
Jika masukan,
keluaran:
Sehingga, jika dituliskan:

4. SSiisstteemm WWaakkttuu--iinnvvaarriiaann LLiinniieerr
(1) Representasi sinyal waktu­diskrit
sebagai impuls
Sinyal di
samping dapat
dipisahkan
menjadi sinyal­sinyal
impuls
seperti 3 sinyal
impuls di
bawah

5. SSiisstteemm WWaakkttuu--iinnvvaarriiaann LLiinniieerr
(1) Representasi sinyal waktu­diskrit
sebagai impuls
Sifting property (sifat memisahkan)
Pembobotan
Sinyal dasar

6. SSiisstteemm WWaakkttuu--iinnvvaarriiaann LLiinniieerr
(1.1) Jumlahan Konvolusi Waktu­diskrit
Sistem waktu­diskrit
Jika ada sebuah sistem linier dan kita definisikan
sebagai tanggapan (output) dari
hubungan masukan­keluaran;

7. SSiisstteemm WWaakkttuu--iinnvvaarriiaann LLiinniieerr
(1.1) Jumlahan Konvolusi Waktu­diskrit
Sistem waktu­diskrit
Jika sistem juga bersifat waktu­invarian
dan
adalah tanggapan dari
pergeseran waktu akan menghasilkan:
Sehingga,

8. SSiisstteemm WWaakkttuu--iinnvvaarriiaann LLiinniieerr
(1.1) Jumlahan Konvolusi Waktu­diskrit
JUMLAHAN KONVOLUSI
(CONVOLUTION SUM)

9. SSiisstteemm WWaakkttuu--iinnvvaarriiaann LLiinniieerr
Contoh:

10. SSiisstteemm WWaakkttuu--iinnvvaarriiaann LLiinniieerr
Solusi:
● Untuk
● Untuk

11. SSiisstteemm WWaakkttuu--iinnvvaarriiaann LLiinniieerr
Solusi:

12. SSiisstteemm WWaakkttuu--iinnvvaarriiaann LLiinniieerr
(2) Representasi sinyal waktu­kontinu
sebagai impuls
Bagi luasan di bawah
kurva ke dalam
beberapa persegi
panjang kecil dengan
lebar

13. SSiisstteemm WWaakkttuu--iinnvvaarriiaann LLiinniieerr
(2) Representasi sinyal waktu-kontinu sebagai impuls
Pisahkan masing­masing
persegi panjang dan
definisikan ke dalam
representasi matematis
luasan
Panjang/tinggi
lebar

14. SSiisstteemm WWaakkttuu--iinnvvaarriiaann LLiinniieerr
(2) Representasi sinyal waktu­kontinu
sebagai impuls

15. SSiisstteemm WWaakkttuu--iinnvvaarriiaann LLiinniieerr
(2) Representasi sinyal waktu­kontinu
sebagai impuls

16. SSiisstteemm WWaakkttuu--iinnvvaarriiaann LLiinniieerr
(2) Representasi sinyal waktu­kontinu
sebagai impuls
Representasi jumlahan persegi
panjang kecil dalam kombinasi linier:

17. SSiisstteemm WWaakkttuu--iinnvvaarriiaann LLiinniieerr
(2) Representasi sinyal waktu­kontinu
sebagai impuls
Agar menghasilkan kurva yang halus,
limitkan delta mendekati nol
Sehingga dihasilkan:
Sifting property untuk
Sinyal waktu­kontinu

18. SSiisstteemm WWaakkttuu--iinnvvaarriiaann LLiinniieerr
(2.1) Integrasi konvolusi
Analog dengan LTI waktu­diskrit...
INTEGRAL KONVOLUSI
● Linier
● Waktu­invarian

19. SSiisstteemm WWaakkttuu--iinnvvaarriiaann LLiinniieerr
(2.1) Integrasi konvolusi
Tentukan
Contoh:

20. SSiisstteemm WWaakkttuu--iinnvvaarriiaann LLiinniieerr
Solusi:

21. SSiisstteemm WWaakkttuu--iinnvvaarriiaann LLiinniieerr
Hasil konvolusi:

22. SSiisstteemm WWaakkttuu--iinnvvaarriiaann LLiinniieerr
(3) Sifat­sifat
Sistem waktu­invarian
linier
1.Sifat Kumulatif
● Waktu­diskrit
● Waktu­kontinu
Bukti
Jika , dan

23. SSiisstteemm WWaakkttuu--iinnvvaarriiaann LLiinniieerr
(3) Sifat­sifat
Sistem waktu­invarian
linier
2.Sifat Distributif
● Waktu­diskrit
● Waktu­kontinu
Ekivalen
dengan

24. SSiisstteemm WWaakkttuu--iinnvvaarriiaann LLiinniieerr
(3) Sifat­sifat
Sistem waktu­invarian
linier
3.Sifat Asosiatif
● Waktu­diskrit
● Waktu­kontinu
Ekivalen
dengan

25. SSiisstteemm WWaakkttuu--iinnvvaarriiaann LLiinniieerr
(3) Sifat­sifat
Sistem waktu­invarian
linier
Oleh karena sifat komutatif
ekivalen dengan
Sama dengan bentuk awal
✔ Tanggapan keseluruhan sistem LTI yang tersusun serial tidak
bergantung pada urutan sistem­sistem
penyusunnya

26. RReeffeerreennssii
[1] A. V. Oppenheim, A. S. Willsky, S. H. H. Nawab, Sinyal dan Sistem
jilid 1, (Penerbit Erlangga, Jakarta, 2000)
[2] Plot grafik dibuat dengan bantuan program iPython dan
Inkscape
Referensi pemrograman Python:
(1) Python Scientific Lecture Notes, http://scipy­lectures.
github.io/index.html
(2) The Python Tutorial, https://docs.python.org/2/tutorial/index.html
(3) Matplotlib, http://matplotlib.org/index.html