fungsi generator

1. Generating Function
Fungsi pembangkit (generating function) dari sebuah fungsi numerik
an = (a0, a1, a2,… , ar, … )
adalah sebuah deret tak hingga
A(z) = a0 + a1 z + a2 z2 + a3 z3 + … + an zn + … .
( ingat: .........1
1
1 5432


zzzzz
z
) deret maclouren
Pada deret tersebut, pangkat dari variabel z merupakan indikator sedemikian hingga koefisien
dari zn
adalah harga fungsi numerik pada n. Untuk sebuah fungsi numerik an digunakan
nama A(z) untuk menyatakan fungsi pembangkitnya.
Contoh .1.
Diketahui fungsi numerik gn = 3n
, n  0. Fungsi numerik tersebut dapat pula ditulis
sebagai gn = (1, 3, 32
, 33
, … ).
Fungsi pembangkit dari fungsi numerik gn tersebut adalah
G(z) = 1 + 3 z + 32
z2
+ 33
z3
+ … 3n
zn
+ …
yang dalam bentuk tertutup dapat ditulis sebagai G(z) =
z31
1


SIFAT SIFAT GENERATING FUNCTION
1. Jika fungsi numerik b =  a, maka fungsi pembangkit dari fungsi numerik b tersebut adalah
B(z) =  A(z) , dimana A(z) merupakan fungsi pembangkit dari fungsi numerik a.
Contoh .2.
Diketahui fungsi numerik an = 7 3n
, n  0
Maka A(z) = 7
z31
1

yang dapat pula ditulis sebagai A(z) =
z31
7



2. 2. Jika fungsi numerik c = a + b , maka fungsi pembangkit dari fungsi numerik c tersebut
adalah C(z) = A(z) + B(z), dimana A(z) merupakan fungsi pembangkit dari fungsi numerik
a dan B(z) adalah fungsi pembangkit dari fungsi numerik b.
Contoh .3.
Diketahui fungsi numerik an = 3n
+ 2n
, n  0
Maka A(z) =
z21
1

+
z31
1

yang dapat pula ditulis sebagai A(z) = 2
651
52
zz
z



Contoh .4.
Diketahui fungsi pembangkit dari fungsi numerik a adalah A(z) = 2
41
2
z
. Fungsi
pembangkit tersebut dapat ditulis sebagai A(z) =
z21
1

+
z21
1

. Dengan
demikian diperoleh fungsi numerik an :
an = 2n
+ (-2)n
, n  0
atau dapat ditulis sebagai
an =




genapn
ganjiln
n
2
0
1

3. Jika A(z) merupakan fungsi pembangkit dari fungsi numerik  dan b = αn
n , maka
A(αz) adalah fungsi pembangkit dari b
Contoh .5.
Diketahui fungsi numerik an = 1 untuk n  0
Fungsi pembangkit dari A(Z) =
z1
1
Maka fungsi pembangkit dari an = αn
, untuk n  0
Adalah A(Z) =
z1
1


3. 4. Jika A(z) merupakan fungsi pembangkit dari fungsi numerik an, maka z
i
A(z) adalah
fungsi pembangkit dari S
i
a , untuk i bilangan bulat positif.
Contoh .6.
Diketahui fungsi numerik gn = 3n
, n  0.
Fungsi pembangkit dari bn = S
6
g adalah B(z) = z
6
(
z31
1

)
yang dapat pula ditulis sebagai B(z) =
z
z
31
6


5. Jika A(z) merupakan fungsi pembangkit dari fungsi numerik an, maka ,
z
-i
(A(z) – a0 – a1 z – a2 z2
- … - ai - 1 z
i -1
) adalah fungsi pembangkit dari S
-i
a , untuk
i bilangan bulat positif.
Contoh .5.
Diketahui fungsi numerik gn = 3n
, n  0.
Fungsi pembangkit dari cn = S
-4
g adalah
C(z) = z
-4
(G(z) – g0 – g1 z – g2 z2
– g3 z3
)
C(z) = z
-4
(
z31
1

- 1 – 3 z – 32
z2
– 33
z3
) 
6. Jika A(z) merupakan fungsi pembangkit dari fungsi numerik an dan fungsi numerik
bn = a, maka B(z) =
z
1
(A(z) – a0) – A(z).
Contoh .6.
Diketahui fungsi numerik gn = 3n
, n  0.
Fungsi pembangkit dari dn = g adalah
D(z) =
z
1
(G(z) – g0) – G(z).

4. D(z) =
z
1
(
z31
1

- 1) –
z31
1


7. Jika A(z) merupakan fungsi pembangkit dari fungsi numerik an dan fungsi numerik
cn = a, maka C(z) = A(z) – z. A(z).
Sebab :
bn = an+1 - an
Misalkan cn = an +1, maka c = s-1
a
Jadi b = a = c – a = s-1
a – a
B(z) = z-1
[A(z) – a0] – A(z)
Sedangkan bila bn = an - an -1
Misalkan cn = an -1, maka c = s1
a
Jadi b = a = a – c = a - s1
a
B(z) = C(z) = A(z) – z. A(z). 
Contoh .7.
Diketahui fungsi numerik gn = 3n
, n  0.
Fungsi pembangkit dari en = g adalah
E(z) = G(z) – z. G(z) =
z31
1

–
z
z
31
E(z) =
z
z
31
1



8. Jika c = a * b merupakan fungsi pembangkit dari fungsi numerik knkn bac =
n
0=k
, maka
C(z) = A(z) B(z) sebab:
A(z) B(z) = (a0  a1z  a2z2  …)( b0  b1z  b2z2  …)

5. = a0 b0  ( a0 b1  a1 b0 ) z  ( a0 b2  a1 b1  a2 b0) z2  …  (
knk ba 
n
0=k
)zn  … 
Contoh
an = 3n
, bn = 2n
,untuk n  0
dimana c = a * b merupakan generating function
Fungsi pembangkitnya C(z) = A(z) B(z) =
z31
1
 z21
1

C(Z) =
z31
3

–
z21
2

Jadi cn = 3(3)n
– 2(2)n
= 3n + 1
– 3n + 1

Contoh
a merupakan fungsi numerik sembarang
b = (1,1,1,1…) atau bn = 1 untuk n  0
dimana c = a * b merupakan generating function
knkn bac =
n
0=k
= 1
n
0=k
 ka
=
n
0=k
 ka
Jadi c menyatakan partial sum dari deret yang dibentuk dari fungsi numerik
a, Generating Function dari c adalah C(z) =
z1
1
A(z) 
9. Jika A(z) =
z1
1
, maka a = (1,1,1,1, …) dari hasil tadi dapat disimpulkan bahwa C(z) =
2
)1(
1
z
, adalah generating function dari fungsi numerik (1,2,3,4, …,n, …)
Contoh :

6. Misalkan ingin dihitung jumlah 12  22  32  42  …  n2
Dari
z1
1
= 1  z  z2  z3  z4  …  zn  …
Diperoleh
z1
1
= 1  2z  3z2  4z3  5z4  …  nzn – 1  …
2
)1( z
z

= z  2z2  3z3  4z4  5z5  …  nzn  …






 2
)1( z
z
dz
d
= 12  22
z  32
z3  42
z4  52
z5  …  n2
zn-1  …
Jadi






 2
)1( z
z
dz
d
z = 02  12
z  22
z2  32
z3  42
z4  …  n2
zn-1  … 
 A(z) = 3
)1(
)1(
z
zz


adalah generating function dari fungsi numerik
a = (02
, 12
, 22
, 32
, …, n2
, …)
 B(z) = 4
)1(
)1(
z
zz


adalah generating function dari fungsi numerik
a = (02
, 02  12
, 02  12  22
, …, 02  12  22  …  n2
, …)
Sedangkan
(1 – z ) – 4
= 



0= !
)14(…)24)(14)(4(
)1(
n
nn
z
n
n
= 


0= !
)3(…654
n
n
z
n
n
= 



0= 321
)3)(2)(1(
n
n
z
nnn
 Koefisien dari zn
di B(z) adalah
6
)12)(1(
=
321
)1()1(
321
)2)(1( 




 nnnnnnnnn
Jadi

7. 12  22  32  42  …  n2
=
6
)12)(1(  nnn

LATIHAN SOAL 1
9.1. Sebuah bola ping pong dijatuhkan dari ketinggian 20 m di atas lantai tiap kali memantul,
bola mencapai ketinggian setengah kali tinggi sebelumnya.
a. Misalkan a, mengacu pada ketinggian yang dijangkau pada pantulan ke-r. sketsalah
fungsi numerik dari a
b. Misalkan b, mengacu pada berkurangnya ketinggian selama pantulan ke-r. tunjukkan
b, melalui ketentuan a, sketsalah fungsi numerik dari b
c. Bola ping pong kedua dijatuhkan dari ketinggian 6 m ke lantai yang sama pada waktu
yang bersamaan dengan bola pertama ketika mencapai ketinggian tertingginya pada
pemantulan ketiga. Misalkan c, mengacu pada ketinggian bola kedua mencapai
pemantulan ke-r nya. Tunjukkan c, melalui ketentuan a.
Penyelesaian:
(a) Misalkan :
𝑎 𝑟= ketinggian yang dijangkau pada pantulan ke-r
x = rasio
n = pantulan pertama
sehingga diketahui :
𝑥 =
1
2
n = 20 meter
Ditanyakan : 𝑎 𝑟?
permasalahan tersebut dapat diselesaikan menggunakan prinsip geometri
𝑎 𝑟 = 𝑛𝑥 𝑟
= 20 (
1
2
)
𝑟
maka fungsi numerik dari 𝑎 𝑟 adalah 𝑎 𝑟 = 20 (
1
2
)
𝑟
dengan 𝑟 ≥ 0
(b) br = berkurangnya ketinggian selama pantulan ke-r
𝑎 𝑟= ketinggian yang dijangkau pada pantulan ke-r
x = rasio
n = pantulan pertama
sehingga diketahui:

8. x =
2
1
n = 20 meter
Ditanyakan : br?
Jawab:
𝑎 𝑟 = 20 (
1
2
)
𝑟
dengan 𝑟 ≥ 0
Karena br menunjukkan selisih ketinggian dari bola saat pantulan ke r, maka br dapat
ditulis berdasarkan ar sebagai berikut:
𝑏 𝑟 = {
0, 𝑟 = 0
𝑎 𝑟−1 − 𝑎 𝑟, r ≥ 1
𝑏 𝑟 = {
0, 𝑟 = 0
20 (
1
2
)
𝑟−1
− 20 (
1
2
)
𝑟
, r ≥ 1
(c) cr = ketinggian bola kedua mencapai pemantulan ke-r
x = rasio
nc = ketinggian bola kedua saat dijatuhkan pertama
sehingga diketahui :
x =
2
1
nc = 6 m
𝑎 𝑟 = 𝑛𝑥 𝑟
= 20 (
1
2
)
𝑟
𝑐 𝑟 = 𝑛 𝑐 (
1
2
)
𝑟
= 6 (
1
2
)
𝑟
Dari rumus tersebut dapat ditentukan:
𝑎3 = 20 (
1
2
)
3
=
20
8
𝑎4 = 20 (
1
2
)
4
=
20
16
.
.
.
𝑎 𝑟 = 20 (
1
2
)
𝑟

9. Sedangkan untuk cr:
𝑐0 = 6 (
1
2
)
0
= 6
𝑐1 = 6 (
1
2
)
1
= 3
.
.
.
𝑐 𝑟 = 6 (
1
2
)
𝑟
Dengan begitu dapat ditentukan cr berdasarkan ar sebagai berikut:
𝑐 𝑟 = 6 (
1
2
)
𝑟
= 6.
20 (
1
2
)
𝑟+3
20 (
1
2
)
3 = 6.
𝑎 𝑟+3
𝑎3
9.2. Dalam proses pengaturan sebuah sistem, sebuah alat monitor menunjukkan suhu didalam
suatu ruang reaksi kimia setiap 30 detik. Misalkan a, mengacu pada pembacaan ke-r
derajat dalam celcius. Tentukkan dalam sebuah ekspresi untuk a, jika diketahui bahwa
suhu meningkat dari 100 ke 120 pada sebuah nilai konstan pada 300 detik pertama dan
bertahan pada 120 derajat sejak dihidupkan.
Penyelesaian:
a = pembacaan ke-r derajat dalam celcius
x = rasio
n = suhu awal yang diketahui
sehingga, diketahui :
Karena pada soal diketahui suhu meningkat dari 100 ke 120 derajat celcius dengan
konstan pada 300 detik pertama dan reaksi kimia yang terjadi pada ruangan tersebut
terjadi setiap 30 detik sehingga dapat kita cari dengan waktu yang dibutuhkan selama
peningkatan suhu dari 100 ke 120 dibagi rentangan waktu setiap reaksi kimia terjadi :
300
30
= 10 dan kita ketahui bahwa perubahan suhu yang terjadi sebesar 120 – 100 = 20
sehingga dapat kita ketahui untuk setiap sekali reaksi kimia terjadi perubahan suhu
sebesar 𝑥 =
20
10
= 2 derajat.
n = 120
𝑎 𝑟 = 𝑛𝑥 𝑟
= 120(2) 𝑟
Sehingga dapat kita ketahui fungsi numerik a adalah 𝑎 𝑟 = 𝑛𝑥 𝑟
= 120(2) 𝑟

10. 9.3. Misalkan a adalah fungsi numerik dimana ar sama dengan sisa ketika r dibagi dengan 17.
Misalkan b adalah fungsi numerik dimana br sama dengan 0 jika bilangan bulat r habis
dibagi 3, dan sama dengan 1 jika tidak habis dibagi 3.
(a) Misalkan cr = ar + br, berapakah nilai r yang membuat cr = 0 ? dan berapakah nilai r
yang membuat cr = 1 ?
(b) Misalkan dr = ar .br, berapakah nilai r yang membuat dr = 0 ? dan berapakah nilai r
yang membuat dr = 1 ?
Penyelesaian:
Dari soal diatas, dapat kita bentuk fungsi numerik untuk ar dan br yaitu :
𝑎 𝑟 = {
0, 𝑟 = 17𝑘
𝑝, 𝑟 = 17𝑘 + 𝑝
dengan 𝑘, 𝑝 ∈ 𝑍, 1 ≤ 𝑝 ≤ 16
𝑏 𝑟 = {
0, 𝑟 = 3𝑘
1, 𝑟 ≠ 3𝑘
dengan 𝑘, 𝑝 ∈ 𝑍
a. cr = ar + br, maka
𝑐 𝑟 = {
0, 𝑟 = 51𝑘
1, 𝑟 = 17𝑘 + 1 ⋀ 𝑟 = 3𝑘
1, 𝑟 = 17𝑘 ⋀ 𝑟 ≠ 3𝑘
Jadi cr akan bernilai 0 saat r = 51k dan akan bernilai 1 saat 𝑟 = 17𝑘 + 1 ⋀ 𝑟 = 3𝑘
atau 𝑟 = 17𝑘 + 1 ⋀ 𝑟 ≠ 3𝑘
b. dr = ar .br
𝑑 𝑟 = {
0, 𝑟 = 51𝑘⋁ (𝑟 = 17𝑘 + 𝑝 ⋀ 𝑟 = 3𝑘)⋁ (𝑟 = 17𝑘 ⋁ 𝑟 ≠ 3𝑘)
1, 𝑟 ≠ 3𝑘 ⋀ 𝑟 = 17𝑘 + 1
𝑝, 𝑟 = 17𝑘 + 𝑝 ⋀ 𝑟 ≠ 3𝑘
Maka, dr bernilai 0 saat 𝑟 = 51𝑘 ⋁(𝑟 = 17𝑘 + 𝑝 ⋀ 𝑟 = 3𝑘) ⋁( 𝑟 ≠ 3𝑘 ⋀ 𝑟 =
17𝑘) dan akan bernilai 1 saat 𝑟 ≠ 3𝑘 ⋀𝑟 = 17𝑘 + 1
9.4. Misalkan a sebagai fungsi numerik, dengan
𝑎 𝑟 = {
2, 0 ≤ 𝑟 ≤ 3
2−𝑟
+ 5, 𝑟 ≥ 4
(a) Tentukan S2
a dan S-2
a
(b) Tentukan ∆𝑎 dan ∇𝑎
Penyelesasian:
(a) Misal S2
a = e, maka:
𝑒 𝑟 = {
0, 0 ≤ 𝑟 ≤ 1
2, 2 ≤ 𝑟 ≤ 5
2−𝑟
+ 5, 𝑟 ≥ 6

11. Untuk nilai akan ada dari (dimundur)
Misal S-2
a = f
𝑓𝑟 = {
2, 0 ≤ 𝑟 ≤ 1
2−𝑟
+ 5, ≥ 2
Untuk f nilai akan ada dari
2
a (dimaju)
(b) Tentukan ∆𝑎 dan ∇𝑎
Untuk ∆𝑎
∆𝑎 = 𝑎 𝑟+1 − 𝑎 𝑟, 𝑟 ≥ 0
∆𝑎3 = 2−4
+ 5 − 2 =
49
16
∆𝑎 𝑟 = 2−𝑟−1
+ 5 − (2−𝑟
+ 5)
∆𝑎 𝑟 =
1
2.2 𝑟
−
1
2 𝑟
∆𝑎 𝑟 =
1
2.2 𝑟
−
2
2. 2 𝑟
∆𝑎 𝑟 = −2−(r+1)
maka:
∆𝑎 = {
0, 0 ≤ r ≤ 2
49
16
, r = 3
−2−(r+1)
, r ≥ 4
Untuk ∇𝑎
∇𝑎 = 𝑎 𝑟 − 𝑎 𝑟−1, 𝑟 ≥ 1
∇𝑎4 = 2−4
+ 5 − 2 =
49
16
∇𝑎 𝑟 = 2−𝑟
+ 5 − (2−𝑟+1
+ 5)
∇𝑎 𝑟 =
1
2 𝑟
−
2
2 𝑟
∇𝑎 𝑟 = −2−r
maka:
∇𝑎 = {
0, 0 ≤ r ≤ 3
49
16
, r = 4
−2−r
, r ≥ 5
9.5. Kita memperkenalkan notasi

12. ∆2
𝑎 = ∆(∆𝑎)
∆3
𝑎 = ∆(∇2
𝑎)
.
.
.
∆𝑖
𝑎 = ∆(∆𝑖−1
𝑎)
(a) Misalkan a adalah fungsi numerik sehingga,
𝑎 𝑟 = 𝑟3
− 2𝑟2
+ 3𝑟 + 2
Tentukan ∆𝑎, ∆2
𝑎, ∆3
𝑎, ∆4
𝑎 !
(b) Misalkan a adalah fungsi numerik sehingga 𝑎 𝑟 adalah sebuah polinomial dengan
bentuk 𝑥0 + 𝑥1 𝑟 + 𝑥2 𝑟2
+ ⋯ + 𝑥 𝑘 𝑟 𝑘
Tunjukkan bahwa ∆ 𝑘+1
𝑎 sama dengan 0
Penyelesaian:
(a) Diketahui 𝑎 𝑟 = 𝑟3
− 2𝑟2
+ 3𝑟 + 2 dimana 𝑟 ≥ 0
 ∆𝑎 = 𝑎 𝑟+1 − 𝑎 𝑟
∆𝑎 = (((𝑟 + 1)3
−2(𝑟 + 1)2
+ 3(𝑟 + 1) + 2) − (𝑟3
− 2𝑟2
+ 3𝑟 + 2))
∆𝑎 = ((𝑟3
+ 3𝑟2
+ 3𝑟 + 1) − 2(𝑟2
+ 2𝑟 + 1) + 3𝑟 + 3 + 2) − (𝑟3
− 2𝑟2
+ 3𝑟 + 2)
∆𝑎 = 3𝑟2
− 𝑟 + 2
 ∆𝑎 = 3𝑟2
− 𝑟 + 2
∆2
𝑎 = ∆(∆𝑎)
∆2
𝑎 = ∆𝑎 𝑟+1 − ∆𝑎 𝑟
∆2
𝑎 = (3(𝑟 + 1)2
− (𝑟 + 1) + 2) − (3𝑟2
− 𝑟 + 2)
∆2
𝑎 = 3(𝑟2
+ 2𝑟 + 1) − 𝑟 − 1 + 2 − 3𝑟2
+ 𝑟 − 2
∆2
𝑎 = 6𝑟 + 2
 ∆2
𝑎 = 6𝑟 + 2
∆3
𝑎 = ∆(∆2
𝑎)
∆3
𝑎 = ∆2
𝑎 𝑟+1 − ∆2
𝑎 𝑟
∆3
𝑎 = (6(𝑟 + 1) + 2 − (6𝑟 + 2))
∆3
𝑎 = 6
 ∆3
𝑎 = 6
∆4
𝑎 = ∆(∆3
𝑎)
∆4
𝑎 = ∆3
𝑎 𝑟+1 − ∆3
𝑎 𝑟

13. ∆4
𝑎 = 6 − 6
∆4
𝑎 = 0
(b) Diketahui 𝑎 𝑟 = 𝑥0 + 𝑥1 𝑟 + 𝑥2 𝑟2
+ ⋯ + 𝑥 𝑘 𝑟 𝑘
Maka:
∆𝑎 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑟 + 𝑎2 𝑟2
+ ⋯ + 𝑎 𝑘−1 𝑟 𝑘−1
, 𝑎0,1,2,3,..,𝑘−1 = 𝑹
∆2
𝑎 = 𝑏0 + 𝑏1 𝑟 + 𝑏2 𝑟2
+ ⋯ + 𝑏 𝑘−2 𝑟 𝑘−2
, 𝑏0,1,2,3,..,𝑘−2 = 𝑹
.
.
∆ 𝑘−𝑛
𝑎 = 𝑐0 + 𝑐1 𝑟 + 𝑐2 𝑟2
+ ⋯ + 𝑐 𝑘−(𝑘−𝑛) 𝑟 𝑘−(𝑘−𝑛)
, 𝑐0,1,2,3,..𝑘−(𝑘−𝑛) = 𝑹
∆ 𝑘−𝑛
𝑎 = 𝑐0 + 𝑐1 𝑟 + 𝑐2 𝑟2
+ ⋯ + 𝑐 𝑛 𝑟 𝑛
, 𝑐0,1,2,3,..,𝑛 = 𝑹
.
.
∆ 𝑘
𝑎 = 𝑑0, 𝑑0 = 𝑹
∆ 𝑘+1
𝑎 = ∆(∆ 𝑘
𝑎)
∆ 𝑘+1
𝑎 = ∆ 𝑘
𝑎 𝑟+1 − ∆ 𝑘
𝑎 𝑟
∆ 𝑘+1
𝑎 = 𝑑0 − 𝑑0 = 0
(Terbukti)
LATIHAN SOAL 2
1. Pak Deni menabung di Koperasi sebanyak Rp.5000.000,00 dengan bunga 2%
pertahunnya. Berapa tabungan Pak Deni setelah 21 tahun ?
Penyelesaian:
21
21
021
0
1
0001
0
100
102
.000.5000%)21(
%)21(
%)21(%2.
000.5000











xx
xx
xxxx
x
nketahunpadaDeniktabunganpabanyakx
n
n
n
2. Tentukan bentuk sederhana fungsi pembangkit biasa barisan na dengan
1
2


n
an
Penyelesaian:

14. 5
2
2
1
3
2
4
3
2
11
20saat





n
n
n
n
n
an
an
an
an
an
3. Cari banyak cara mengumpulkan $15 dari 20 orang yang ada jika setiap orang dari 19
orang pertama boleh memberikan $ 1 atau tidak sama sekali, sedangkan orang ke-20
boleh memberikan $1 atau $5 atau tidak sama sekali
Penyelesaian:
20 orang mengumpulkan $15
C1 + C2 + C3 + ... + C20 = 15
C1, C2, C3, ... , C19 = $0 , $1
C20 = $0 , $1 , $5
Fungsi Pembangkit
)'1()1( 519
xxx  cari koef 15
x
Ekspansi [1] )().()]1()1[( 519
xgxfxxx 
Ekspansi [3] )1(
19
19
...
2
19
1
19
1 5192
xxxxx 
























soalkekembali
.
.
.
510
114
01515








xx
xx
xxx
1.
10
19
14
19
15
1915


















x
4. Selesaikan relasi rekursif berikut dengan Fungsi Pembangkit 2,65 21   naaa nnn
, 2,1 10  aa
Penyelesaian:
Misalkan fungsi pembangkit dari:
n
nn xaxaxaxaaxAa  ...)( 3
3
2
210
14
3
3
2
2
101 5...5555)(535 
  n
nn xaxaxaxaxaxAa
25
3
4
2
3
1
2
0 6...6666)(626 
 n
nn xaxaxaxaxaxAa
+
...]65[]65[]5[]651)[( 123
3
012
2
010
2
 aaaxaaaxaaxaxxxA
karena : 2,1 10  aa
0...000)7(1]651)[( 22
 xxxxxA

15. 2
651
71
)(
xx
x
xA



1213
)(




x
B
x
A
xA
)13()12(71  xBxAx
)12)(13(  xx
xxBxA 71)13()12( 
pembuat nol
3
1
,
2
1
 xx
untuk
2
5
)
2
1
(
2
1 
 Bx
untuk
3
4
)
3
1
(
3
1 


 Ax
12
1
5
13
1
4)(




xx
xA
=
xx 21
1
5
31
1
4




nn
na 2.53.4 