Materi Kuliah Aljabar Linier STIKOM Artha Buana

2. Skema Sistem persamaan linear
Sistem Persamaan
Linier
Homogen Non Homogen
Mempunyai
Pemecahan
Tidak Mempunyai
Pemecahan
Pemecahan
Tak-Hingga
Pemecahan
Tunggal
Pemecahan
Non - Trivial
Pemecahan
Trivial
Selalu Ada
Pemecahan

3. Sistem Homogen
….. atau Ax = 0
Solusi dari sistem homogen yg berbentuk :
x1 = x2 = … = xn = 0
disebut dengan solusi trivial (sederhana),
jika tidak demikian disebut solusi non trivial (banyak
sekali solusinya)
0
0
0
2211
2222121
1212111



nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa



Bentuk umum :

5. Carilah penyelesaian SPL homogen berikut :
m = n
x + 2 y = 0
- x – 2 y + z = 0
2x + 3 y + z = 0
Jawab :
*1
*-2 *-1/1
Mencari Matrik Eselon Baris Tereduksi
Augmented Matriks

6. Pada matriks yang terakhir terlihat bahwa semua
kolom matrik A memiliki satu utama (matrik
identitas), sehingga penyelesaiannya adalah
trivial yaitu :
x 0
y 0
z 0
   
      
      

7. Carilah penyelesaian SPL homogen berikut ini :
x – y + 2 z – w = 0
2x + y – 2 z – 2w = 0
x + 2y – 4 z + w = 0
3x – 3w = 0
Jawab : dicari matrik eselon tereduksinya
m = n
x -w =0
y-2z =0

8. Dengan memisalkan z =s dan w = t, maka diperoleh
penyelesaian umum :
OBE pada SPL Homogen hanya dilakukan pada
matrik A saja, karena tidak akan mempengaruhi
hasil perhitungan.
x t
y 2s
z s
w t
   
   
   
   
   
   
x -w =0
y-2z =0
x = w
y = 2z

9. Metode mencari invers
suatu matriks
• Langkah 1 :
Susunlah matriks A dengan matriks identitas
sehingga menjadi matriks diperbesar sbb :
• Langkah 2 :
Menggunakan OBE, ubahlah matriks
menjadi bentuk matriks eselon baris tereduksi
 nIA
 nIA
Misalkan A adalah matriks berukuran n x n, maka
langkah – langkah mencari invers dari A adalah
1 2 0
−1 −2 1
2 3 1
𝟏 𝟎 𝟎
𝟎 𝟏 𝟎
𝟎 𝟎 𝟏
misalkan

10. Cara mencari invers Matriks
(Lanjutan)
• Langkah 3 :
Misalkan dari langkah 2 diperoleh matriks
Maka :
a. Jika C = In maka D = A-1
b. Jika C  In maka C mempunyai satu
baris yang terdiri dari nol semuanya.
Dalam kasus ini A tidak invertible .
 DC 
 nIA  1
AIn 
OBE

11. Contoh Soal
Carilah invers dari matriks berikut :














325
121
321
B











155
320
111
A
1. 2.

12. Invers Matriks
dan Sistem Linier
Diberikan sistem non homogen :
Ax = b,
dengan A berukuran n x n , x berukuran n x 1, dan b
berukuran n x 1
Misalkan A invertible, maka x dpt ditentukan dari A-1
sbb:
A-1(Ax) = A-1b
(A-1A)x = A-1b
Inx = A-1b
x = A-1b
Jadi, jika Ax = b maka x = A-1b

13. Teorema #1
Jika A matriks berkuran n x n.
Sistem homogen Ax = 0
mempunyai solusi nontrivial
jika dan hanya jika A tidak
invertible.

14. Bukti Teorema #1
Bukti :
() Misalkan A invertible, maka A-1 ada. Kalikan kedua ruas
Ax = 0 dengan A-1:
Ax = 0
A-1(Ax ) = A-1.0
(A-1A)x = 0
x = 0.
Terjadi kontradiksi. Jadi yang benar A tidak invertible.
( ) Misalkan Ax = 0 mempunyai solusi trivial, berarti x = 0.
Jadi diperoleh matriks diperbesar :
Sehingga A mempunyai invers (A invertible).
Terjadi kontradiksi. Jadi yang benar Ax = 0 mempunyai solusi
nontrivial.
 0A 1


15. Teorema #2
Jika A matriks n x n, maka
A invertible jhj sistem linier
Ax = b mempunyai solusi
tunggal, untuk b berukuran n x 1.

16. Bukti Teorema #2
Bukti :
()Diketahui A invertible, berarti A-1 ada.
Kalikan Ax = b dengan A-1 :
Ax = b
A-1(Ax) = A-1b
x = A-1b
Karena invers sustu matriks adalah tunggal, maka A-1b juga
tunggal.
Jadi terbukti x = A-1b adalah tunggal.
() Diketahui sistem Ax = b mempunyai solusi tunggal,
misalkan
x1 = c1, x2 = c2, …, xn = cn.
Dari sini diperoleh matriks eselon baris tereduksi:

17. Lanjutan Bukti
Jadi, dari matriks diperbesar menjadi
matriks
Hal ini berarti A mempunyai invers atau A
invertible.
 bA
 cIn 




















nc
c
c
c





100
100
010
001
3
2
1

18. Latihan Soal
1. Carilah solusi dari sistem :
x + 2y + 3z = 0
2y + 2z = 0
x + 2y + 3z = 0
2. Misalkan terdapat masyarakat sederhana yang
terdiri dari 3 individu : petani yang menghasilkan
semua makanan, pemborong yang membangun
semua rumah, dan penjahit yang membuat
semua baju. Setiap orang menghasilkan satu unit
komoditi selama tahun tersebut. Misalkan porsi
tiap komoditi yang dikonsumsi oleh tiap orang
diberikan dalam tabel berikut :

19. Tabel :
Barang yang
dikonsumsi
oleh
Barang yang dihasilkan oleh
Petani Pemborong Penjahit
Petani
Pemborong
Penjahit
16
7
2
1
16
3
16
5
6
1
16
5
4
1
3
1
2
1
Seorang ekonom harus menentukan harga p1,p2,p3 per unit
makanan, rumah, dan baju, sedemikian hingga diantara
metreka tidak ada yang untung dan rugi. Misalkan
maka carilah p dengan cara menyelesaikan sisem Ap = p.











3
2
1
p
p
p
p

20. Lanjutan Soal :
3. Tunjukkan bahwa matriks
invertible dan carilah inversnya.
4. Tunjukkan bahwa jika A invertible dan
simetris maka A-1 juga simetris.
5. Tunjukkan bahwa jika A tidak invertible dan
Ax = b, b  0, maka Ax = b juga mempunyai
banyak solusi.






 

cossin
sincos

21. See you next course

22. METODE REDUKSI
GAUSS-JORDAN
Ax = b  bA
Matriks diperbesar
(Augmented Matrices)
SPL non homogen
dibentuk
 bA
Matriks eselon
baris tereduksi
diubah