Lingkaran, Parabola, Elips dan Hiperbola

1. Oleh:
Elsa Yuliangraini
1810206008
Mata Kuliah: Desain Media Komputer
Dosen Pengampu: Harisman Nizar, M.Pd
Program Studi Pendidikan Matematika
Fakultas Ilmu Tarbiyah dan Keguruan
Universitas Islam Negeri Raden Fatah Palembang
Irisan Kerucut
1
2 3
4
Lingkaran
ElipsParabola
Hiperbola

2. Irisan kerucut adalah irisan sebuah kerucut dengan sebuah
bidang yang membentuk kurva dua-dimensi. Jenis kurva yang
dapat terbentuk adalah lingkaran, parabola, elips, dan hiperbola.
PARABOLALINGKARAN HIPERBOLAELIPS

3. Lingkaran
Lingkaran adalah tempat kedudukan
titik-titik yang berjarak sama, yang
disebut jari-jari lingkaran, ketitik
tertentu yang disebut pusat lingkaran
Persamaan Umum
dengan:
Pusat Lingakaran Jari-jari






 BA
2
1
,
2
1
CBA 
22
4
1
4
1
0CByAxyx 22


4. Persamaan Lingkaran jika titik pusatnya diketahui:
PUSAT LINGKARAN PERSAMAAN LINGKARAN
O (0, 0) dengan jari-jari r
P (a, b) dengan jari-jari r
P (a, b) dan menyinggung sumbu X
P (a, b) dan menyinggung sumbu Y
ryx
222

rbyax 222
)()(  
bbyax
222
)()(  
abyax
222
)()(  

5. Posisi titik P (x1 , x2) terhadap lingkaran dengan
persamaan 222
rb)(ya)(x 
P di dalam lingkaran
jika P di lingkaran jika P di luar lingkaran jika
rbyax 2
1
2
1
2
)()(   rbyax 2
1
2
1
2
)()(   rbyax 2
1
2
1
2
)()(  

6. Posisi titik P (x1 , x2) terhadap lingkaran dengan
persamaan
ditentukan dengan kuasa K
P di dalam lingkaran
jika P di lingkaran jika P di luar lingkaran jika
2
rK  2
rK  2
rK 
0CByAxyx 22

CByAxyxK 1111
22


7. Posisi garis y = mx + n terhadap lingkaran
memiliki tiga kemungkinan titik potong. Hal ini ditentukan
oleh diskriminan
dari persamaan kuadrat sekutu antara garis dan lingkaran.
Sehingga:
 D > 0, garis memotong lingkaran di dua titik
 D = 0, garis menyinggung lingkaran di satu titik
 D < 0, garis tidak memotong lingkaran
0CByAxyx 22

4acbD 2


8. D = 0 D > 0 D < 0

9. PERSAMAAN LINGKARAN PERSAMAAN GARIS SINGGUNG
Garis singgung yang melewati titik singgung
(x1, x2) dapat ditentukan persamaan garisnya
dengan cara:
222
ryx 
0CByAxyx 22

rbyax 222
)()(  
2
11 )()( ryyxx 
2
11 ))(())(( rbybyaxax 
0
2
)(
2
)(
)()( 11
11 



 C
yy
B
xx
Ayyxx

10. PERSAMAAN LINGKARAN PERSAMAAN GARIS SINGGUNG
Persamaan garis singgung dengan gradien m
yang menyinggung lingkaran dapat ditentukan
dengan cara:
12
 mrmxy
222
ryx 
rbyax 222
)()(   1)()( 2
 mraxmby

11. Garis singgung dengan gradien m akan
sejajar dengan garis h (y = mxh + n) jika
m = mh
Garis singgung dengaan gradien m
akan tegak lurus dengan garis
h (y = mxh + n) jika m =
hm
1

12. PARABOLA
Parabola adalah tempat kedudukan titik titik yang
jaraknya terhadap titik tertentu, yang dinamakan titik
fokus (f), dan garis tertentu, yang dinamakan
direktris (d), selalu sama. (karena e = 1)

13. Macam-macam Persamaan Parabola dan Persamaan Garis Singgung Parabola
Titik Puncak
(0, 0)
01
Titik Fokus
(p, 0)
Persamaan Parabola
 Kurva terbuka kekanan
 Persamaan direktris: x = - p
 Sumbu simetri: y = 0
 Panjang latus rectum = 4p
Persamaan garis singgung parabola
yang melalui titik (x1 , y1)
4pxy2

)x2p(xyy 11 
Persamaan garis singgung
parabola dengan gradien m
m
p
mxy 

14. Macam-macam Persamaan Parabola dan Persamaan Garis Singgung Parabola
Titik Puncak
(0, 0)
Titik Fokus
(-p, 0)
Persamaan Parabola
 Kurva terbuka kekiri
 Persamaan direktris: x = p
 Sumbu simetri: y = 0
 Panjang latus rectum = 4p
Persamaan garis singgung parabola
yang melalui titik (x1 , y1)
4pxy2

)x2p(xyy 11 
Persamaan garis singgung
parabola dengan gradien m
m
p
mxy 
02

15. Macam-macam Persamaan Parabola dan Persamaan Garis Singgung Parabola
Titik Puncak
(0, 0)
Titik Fokus
(0, p)
Persamaan Parabola
 Kurva terbuka keatas
 Persamaan direktris: y = - p
 Sumbu simetri: x = 0
 Panjang latus rectum
Persamaan garis singgung parabola
yang melalui titik (x1 , y1)
4pyx2

)y2p(yxx 11 
Persamaan garis singgung
parabola dengan gradien m
2
pmmxy 
03

16. Macam-macam Persamaan Parabola dan Persamaan Garis Singgung Parabola
Titik Puncak
(0, 0)
Titik Fokus
(0, -p)
Persamaan Parabola
 Kurva terbuka keatas
 Persamaan direktris: y = p
 Sumbu simetri: x = 0
 Panjang latus rectum
Persamaan garis singgung parabola
yang melalui titik (x1 , y1)
4pyx2

)y2p(yxx 11 
Persamaan garis singgung
parabola dengan gradien m
2
pmmxy 
04

17. Macam-macam Persamaan Parabola dan Persamaan Garis Singgung Parabola
Titik Puncak
(a, b)
Titik Fokus
(a + p, 0)
Persamaan Parabola
 Kurva terbuka kekanan
 Persamaan direktris: x = a - p
 Sumbu simetri: y = b
 Panjang latus rectum = 4p
Persamaan garis singgung parabola
yang melalui titik (x1 , y1)
a)-4p(xb)-(y 2

2a)-x2p(xb)b)(y(y 11 
Persamaan garis singgung
parabola dengan gradien m
m
p
a)-m(xb)-(y 
05

18. Macam-macam Persamaan Parabola dan Persamaan Garis Singgung Parabola
Titik Puncak
(a, b)
Titik Fokus
(a - p, 0)
Persamaan Parabola
 Kurva terbuka kekiri
 Persamaan direktris: x = a + p
 Sumbu simetri: y = b
 Panjang latus rectum = 4p
Persamaan garis singgung parabola
yang melalui titik (x1 , y1)
a)-4p(xb)-(y 2

2a)-x2p(xb)b)(y(y 11 
Persamaan garis singgung
parabola dengan gradien m
m
p
a)-m(xb)-(y 
06

19. Macam-macam Persamaan Parabola dan Persamaan Garis Singgung Parabola
Titik Puncak
(a, b)
Titik Fokus
(0, a + p)
Persamaan Parabola
 Kurva terbuka keatas
 Persamaan direktris: y = b - p
 Sumbu simetri: x = a
 Panjang latus rectum = 4p
Persamaan garis singgung parabola
yang melalui titik (x1 , y1)
b)-4p(ya)-(x 2

2b)-y2p(ya)a)(x(x 11 
Persamaan garis singgung
parabola dengan gradien m
2
pma)-m(xb)-(y 
07

20. Macam-macam Persamaan Parabola dan Persamaan Garis Singgung Parabola
Titik Puncak
(a, b)
Titik Fokus
(0, a - p)
Persamaan Parabola
 Kurva terbuka keatas
 Persamaan direktris: y = b - p
 Sumbu simetri: x = a
 Panjang latus rectum = 4p
Persamaan garis singgung parabola
yang melalui titik (x1 , y1)
b)-4p(ya)-(x 2

2b)-y2p(ya)a)(x(x 11 
Persamaan garis singgung
parabola dengan gradien m
2
pma)-m(xb)-(y 
08

21. Elips
Elips didefinisikan sebagai kedudukan
titik-titik yang jumlah jaraknya dari
dua titik (titik fokus) adalah konstan

22. 01
Puncak Sumbu
Mayor
Puncak Sumbu
Minor
Persamaan Elips
 Kurva lonjong mendatar
 Panjang sumbu mayor = 2a
 Panjang sumbu minor = 2b

 Titik fokus f1 (-c, 0) dan f2 (c, 0)
 Eksentrisitas
 Direktriks dan
 Panjang latus rectum
Persamaan Elips
)0,(
)0,(
2
1
aA
aA 
),0(
),0(
2
1
bB
bB 
1
b
y
a
x
2
2
2
2

222
bacba 
a
c
e 
c
a
x
2

c
a
x
2

a
2b2
Pusat (0, 0)

23. Puncak Sumbu
Mayor
Puncak Sumbu
Minor
Persamaan Elips
 Kurva lonjong vertikal
 Panjang sumbu mayor = 2a
 Panjang sumbu minor = 2b

 Titik fokus f1 (0, - c) dan f2 (0, c)
 Eksentrisitas
 Direktriks dan
 Panjang latus rectum
Persamaan Elips
),0(
),0(
2
1
aA
aA 
)0,(
)0,(
2
1
bB
bB 
1
a
y
b
x
2
2
2
2

222
bacba 
d
c
e 
c
a
x
2

c
a
x
2

a
2b2
02
Pusat (0, 0)

24. Puncak Sumbu
Mayor
Puncak Sumbu
Minor
Persamaan Elips
 Kurva lonjong mendatar
 Panjang sumbu mayor = 2a
 Panjang sumbu minor = 2b

 Titik fokus f1 (h – c, 0) dan f2 (h + c, 0)
 Eksentrisitas
 Direktriks dan
 Panjang latus rectum
Persamaan Elips
)0,(
),(
2
1
ahA
akhA


),(
),(
2
1
bkhB
bkhB


1
b
k)-(y
a
h)-(x
2
2
2
2

222
bacba 
d
c
e 
c
a
hx
2

c
a
hx
2

a
2b2
03
Pusat (h, k)

25. Puncak Sumbu
Mayor
Puncak Sumbu
Minor
Persamaan Elips
 Kurva lonjong mendatar
 Panjang sumbu mayor = 2a
 Panjang sumbu minor = 2b

 Titik fokus f1 (0, k - c) dan f2 (0, k + c)
 Eksentrisitas
 Direktriks dan
 Panjang latus rectum
Persamaan Elips
),(
),(
2
1
akhA
akhA


),(
),(
2
1
kbhB
kbhB


1
a
k)-(y
b
h)-(x
2
2
2
2

222
bacba 
a
c
e 
c
a
kx
2

c
a
kx
2

a
2ab2
04
Pusat (h, k)

26. PERSAMAAN GARIS SINGGUNGPERSAMAAN ELIPS
Persamaan Garis Singgung yang melewati titik (x1, y1)
12
2
2
2

b
y
a
x
12
2
2
2

a
y
b
x
1
)()(
2
2
2
2




b
ky
a
hx
1
)()(
2
2
2
2




a
ky
b
hx
12
1
2
1

b
yy
a
xx
12
1
2
1

a
yy
b
xx
1
))(())((
2
1
2
1




b
kyky
a
hxhx
1
))(())((
2
1
2
1




a
kyky
b
hxhx

27. PERSAMAAN GARIS SINGGUNGPERSAMAAN ELIPS
Persamaan Garis Singgung dengan gradien m
12
2
2
2

b
y
a
x
12
2
2
2

a
y
b
x
1
)()(
2
2
2
2




b
ky
a
hx
1
)()(
2
2
2
2




a
ky
b
hx
222
bmamxy 
222
mbamxy 
222
)( bmahxmky 
222
)( mbahxmky 

28. Hiperbola
Hiperbola didefinisikan sebagai
kedudukan titik-titik yang selisih
jaraknya dari dua titik (titik fokus)
adalah konstan

29. 01 PERSAMAAN HIPERBOLA
Puncak P1 (-a, 0) dan P2 (a, 0)
Horizontal
12
2
2
2

b
y
a
x
 Kurva terbuka ke kiri dan kanan
 Panjang sumbu nyata (melintang) = 2a
 Panjang sumbu imajinr (sekawan) = 2b

Titik fokus f1 ( -c, 0) dan f2 (c, 0)
 Eksentrisitas
 Direktriks dan
 Panjang latus rectum
 Asimtot hipperbola
222
bac 
a
c
e 
c
a
x
2

c
a
x
2

a
b2
2
x
a
b
y 
Titik pusat (0,0)

30. Puncak P1 (0, - a) dan P2 (0, a)
Vertikal
 Kurva terbuka ke atas dan bawah
 Panjang sumbu nyata (melintang) = 2a
 Panjang sumbu imajinr (sekawan) = 2b

Titik fokus f1 (0, - c) dan f2 (0, c)
 Eksentrisitas
 Direktriks dan
 Panjang latus rectum
 Asimtot hipperbola
12
2
2
2

a
y
b
x
222
bac 
a
c
e 
c
a
x
2

c
a
x
2

a
b2
2
x
b
a
y 
02 PERSAMAAN HIPERBOLA
Titik pusat (0,0)

31. Puncak P1 (h – a, 0) dan P2
(h + a, 0)
Horizontal
 Kurva terbuka ke kiri dan kanan
 Panjang sumbu nyata (melintang) = 2a
 Panjang sumbu imajinr (sekawan) = 2b

Titik fokus f1 (h – c, 0) dan f2 (h + c, 0)
 Eksentrisitas
 Direktriks dan
 Panjang latus rectum
 Asimtot hipperbola1
)()(
2
2
2
2




b
ky
a
hx
222
bac 
a
c
e 
c
a
hx
2

c
a
hx
2

a
b2
2
)( hx
a
b
ky 
03 PERSAMAAN HIPERBOLA
Titik pusat (h, k)

32. Puncak P1 (0,k - a) dan P2
(0, k + a)
Vertikal
 Kurva terbuka ke atas dan bawah
 Panjang sumbu nyata (melintang) = 2a
 Panjang sumbu imajinr (sekawan) = 2b

Titik fokus f1 (0, k – c)) dan f2 (0, k + c))
 Eksentrisitas
 Direktriks dan
 Panjang latus rectum
 Asimtot hipperbola1
)()(
2
2
2
2




b
hx
a
ky
222
bac 
a
c
e 
c
a
kx
2

c
a
kx
2

a
b2
2
)( hx
b
a
ky 
04 PERSAMAAN HIPERBOLA
Titik pusat (h, k)

33. PERSAMAAN GARIS SINGGUNGPERSAMAAN HIPERBOLA
Persamaan Garis Singgung yang melewati titik (x1, y1)
12
2
2
2

b
y
a
x
12
2
2
2

a
y
b
x
1
)()(
2
2
2
2




b
ky
a
hx
1
)()(
2
2
2
2




b
hx
a
ky
12
1
2
1

b
yy
a
xx
12
1
2
1

a
yy
b
xx
1
))(())((
2
1
2
1




b
kyky
a
hxhx
1
))(())((
2
1
2
1




b
hxhx
a
kyky

34. PERSAMAAN GARIS SINGGUNGPERSAMAAN HIPERBOLA
Persamaan Garis Singgung dengan gradien m
12
2
2
2

b
y
a
x 222
bmamxy 
222
mbamxy 
222
)( bmahxmky 
222
)( mbahxmky 
12
2
2
2

a
y
b
x
1
)()(
2
2
2
2




b
ky
a
hx
1
)()(
2
2
2
2




b
hx
a
ky

35. Latihan Soal
1. Lingkaran memotong garis y = 3. Garis
singgung yang melalui titik potong antara lingkaran an garis
tersebut adalah?
2. Koordinat titik pusat elips adalah?
3. Hiperbola memiliki garis singgung yang
tegak lurus garis Tentukan garis singgungnya.
9)3()1( 22
 yx
0609628167 22
 yxyx
1
6
)1(
49
)3( 22



 xy
0142  yx

36. Terima kasih