урок-проект.docx

1. Застосування похідної
Урок з алгебрита початків аналізу в 11 класі, захист проекту .
Мета:
навчальна: поглибитиі розширити знання учнів про похідну функції;
закріпити навички визначати похідні різних функцій; показатимісце та
значення похідної для розв'язування задач з фізики, економіки, геометрії;
формувативміння досліджуватиіоцінювати соціальніявища засобами
математики; допомогтиформуватиособистеставлення до діяльності, яка
передбачає опанування математичних знань;
розвивальна: стимулюватитворче мислення та ініціативу учнів під час
розв'язування прикладнихзадач; сприятивиникненню інтересу до вивчення
математики;
виховна: розширюватинауковийсвітогляд учнів, висвітлюючишлях від
практичної потреби до розв'язання її математичної моделі, виховувати
патріотизм.
Хід уроку
Математика єзібранням висновків, якіможуть бути застосованідо чого
завгодно.
Бертран Рассел
І. Організаційний етап
ІІ. Вступне слово вчителя
Ми закінчилививчення теми «Похідна та її застосування» і постало
запитання: «Якізавдання може вирішити похідна». Нещодавно стало відомо,
що на Черкаському заводіукраїнськоїкорпорації«Богдан» заплановано
відкрити лінію по збору бронетранспортерів та карет швидкоїдопомоги.
Але не вистачає усіх комплектуючих. Враховуючитериторіальну близькість та
нинішню ситуацію в країні, наші учні взялись розробити проект створення
лінії по виготовленню комплектуючихдля бронетранспортерів та карет
швидкоїдопомоги. Утворили5 робочих груп, яківідповідають за такі відділи:
 Відділ постачань
 Технологічний відділ

2.  Фінансовий відділ
 Відділ охорони праці
 Матеріальний відділ
Запрошую керівників цих відділів до виступу.
ІІІ. Захист проекту
>> Відділ постачань
Задача. На двохбудівельнихмайданчикахбудують два одноповерхові
складизагальною площею 600 м2
. Вартість будівництва складу прямо
пропорційна квадрату його площі. Крім того, відомо, що будівництво 1 м2
на
другому майданчику коштуєна 40% дорожче, ніж на першому. Якою повинна
бути площа кожного складу, щоб вартість будівництва була найменшою?
Розв’язання
Нехай S1 – проща першого складу, S2 – площа другого складу. Р1 та Р2 –
вартість будівництва відповіднихскладів.
S1 = x ( м2
), S2 = 600 – x (м2
).
P1 = kx2
(г.о.), Р2 = k(600 – x)2
(г.о.).
Відомо, що будівництво 1 м2
другого складуна 40% дорожче, ніж 1 м2
першого. Враховуючице, маємо:
P = kx2
+ 1,4k(600 – x)2
.
Введемо функцію P(х) = kx2
+ 1,4k(600–x)2
, визначену на проміжку (0;600).
Знайдемо найменше значення функції .
P/
(х) =2 kx + 2,8k(600 –x)=0; х = 1,4(600-х); 2,4х= 1,4*600; х = 350.
0 350 600

3. Отже площа першого складу - 350 м2
, а другого - 250 м2
.
>> Технологічний відділ
Задача. На технологічній лінії рухнесучої частини задано рівнянням
s(t) =-0,1t5
+ 0,5t4
+ 3t3
- 12t2
+ 30t - 42.
Відомо, що вприскування мастила у двигунє найефективнішим у момент
максимального прискорення двигуна. У якийчас відбувається вприскування
мастила та чому дорівнюємаксимальнеприскорення двигуна?
Розв’язання
Задача зводиться до знаходження найбільшого значення функції a(t) при t є
[0;+∞). Оскільки a(t)=v’(t) = S’’(t); то
s(t) = -0,1t5
+ 0,5t4
+ 3t3
- 12t2
+ 30t - 42;
v(t) = s’(t)=-0,5t4
+ 2t3
+ 9t2
- 24t+ 30;
a(t) = v’(t) = s’’(t)= -2t3
+ 6t2
+ 18t- 24;
a’(t) = v’’(t) = s’’’(t) = -6t2
+ 12t+ 18;
a’(t) = 0
a’(t) = -6t2
+ 12t + 18 = -6(t2
-2t- 3) = -6(t - 3)(t+ 1)
Функція a(t) набуває свого найбільшого значення при t = 3.
a(3) = -2∙27 + 6∙9 + 18∙3 - 24 = 30 (м/с2
)
Отже, у момент часу t = 3 прискорення є максимальним ідорівнює 30 м/с2
.
Відповідь. 3 с, 30 м/с2
.
>>Фінансовий відділ
Задача. Завод з виготовлення блоків для бронетранспортерів виробляє Q
приладів за тиждень із витратами C(Q)=0,4Q2
+26Q + 1000 (г.о.). Завод є
монополістом з виготовлення таких апаратів. Попит на ринку визначають за
формулою Q=75 –0,3P, деP – ціна за один прилад. Скількиприладів щотижня
потрібно виробляти, щоб отримати максимальнийприбуток? Якою будетоді
ціна приладу?
Розв’язання
Запишемо функцію, що описує витрати заводу залежно від ринковоїціни:

4. С(Р) =0,4(75 - 0,3Р)2
+ 26(75 –0,3Р) +1000 (г.о.).
С(Р) = 0,0336Р2
–25,8Р +5200 (г.о.).
Знаючи, що
П(Р) = R(P) – C(P)
Де П(Р) – прибуток виробництва, R(P) – дохід від продажу, а
R(P) = P ∙ Q = 75P – 0,3P2
,
маємо
П(Р) = -0,336P2
+100,8P –5200.
Визначимо похідну цієї функції:
П’(P) = -0,336 ∙ 2 ∙ P + 100,8.
Визначимо критичні точки функції з умови
П’(Q) = 0: P=150 (г.о.).
Отже, за вартості на ринку за 1 прилад 150 г.о. – завод має максимальний
прибуток. Враховуючизнайдену ринкову вартість на прилад, знаходимо, що за
тиждень потрібно вироблять 30 приладів.
Відповідь. 30 приладів; 150 г.о.
>> Відділ охорони праці
Задача. Відомо, що для будь-якоїточкиС стрижня АВ – деталі, яка фіксує
виготовлений блок бронетранспортера – завдовжки10 м масу шматка стрижня
АС визначають за формулою m(l) = l3 – 3l2 + 9l + 4 (кг/м). Знайдіть лінійну
густину стрижня в середині відрізка та мінімальну лінійну густину.
Розв’язання
Лінійна густина в точці є похідною масивід відстані:
p(l) = m’(l) = 3l2 – 6l + 9;
p(5) = 3 ∙ 52
– 6 ∙ 5 + 9 = 54 (кг/м2
).
p’(l) = 0; p’(l) = 6l– 6 = 0, l = 1 (м) – відстань відрізка на якому стрижень має
найменшу лінійну густину.
р(1)=3-6+9=6(кг/м2
). Отже, мінімального значення лінійна густина 6(кг/м2
)
набуває на відстані 1м.

5. >> Матеріальний відділ
Задача. Завод з виготовлення блоків для бронетранспортерів (В) та міста А і С
розташовані у вершинах прямокутного трикутника (АСВ=90°), АС=285 км , ВС
=60 км. ПунктиА і С сполученізалізницею. У яку точку відрізка АС слід провести
ґрунтовоїдорогу з заводу (В) , щоб час перебування в дорозі від пункту А до
пункту В був найменшим, якщо відомо, що швидкість руху залізницею дорівнює
52 км/год, а ґрунтовою дорогою –20 км/год?
Розв’язання
Нехай ґрунтову дорогу треба провести в точку D . Позначимо через t – час
руху від точки А до точки В , t1 – час руху залізницею, t2 – час руху ґрунтовою
дорогою.
Враховуючишвидкість руху на відповідних ділянках, маємо
В
С D A
t1=AL/52; t2=BD/20. Нехай CD= x ,тоді AD=285-x; BD= ,
t1= , t2=
t=t1+t2 , t=
20
3600
52
285 2
х
x 



6. Задача зводиться до знаходження найменшого значення t(х) на проміжку
[0;285]. Визначимо значення похідної функції t(x):
Визначимо значення похідної функції t(x):
2
3600
20
52
1
)
(
х
х
x
t





Визначимо критичні точки: 2
3600
20
52
1
)
(
х
х
x
t




 =0
25(3600+х2
)=(13х2
), 25 ∙ 3600 +25х²=169х²; х=25
0 25 285
Отже, функція t(x) набуваєсвого найменшого значення прих = 25. Звідси
доходимо висновку, що ґрунтову дорогу слід провестив точку , розташовану на
відрізку АС на відстані 25 км від точки С.
ІV. Підсумки.
Які завдання вдалося сьогоднівирішити за допомогою похідної?
Сьогодніми переконалися, що математична теорія є надійним знаряддям у
виконанні багатьох завдань.
V. Рефлексія.
Розташуватиналіпки на графік похідноїфункції відповідно набутим знанням.
Поставити кому в потрібному місці «Забутине можна пам’ятати».

7. 1.Щоназ. Функцією?
Функція- залежність змінної у від незалежної змінної х, якщо кожному
значенню х відповідаєєдине значення у
2.Які точки наз. Критичними?
Це внутрішні точки області визначення Функції, в яких похідна = нулю або не
існує
3.Які ви знаєте умови монотонності Функції?
Якщо похідна додатна у кожній точці проміжку, то функція на цьому проміжку
зростає; якщо похідна – від’ємна,то функція спадає.
4. Які необхідні умови екстремуму?
У результаті переходу через критичну точку похідна функції змінює знак.
5.Як можназнайти швидкість,використовуючи похідну?
Миттєва швидкість – це похідна шляху або закону руху по часу.
6.Як знайти гіпотенузу прямокутного трикутника?
Потрібно знайти корінь квадратнийіз сумиквадратів катетів.
7.Як знайти час рухомоготіла?
Потрібно шляхподілити на швидкість.