1112

1. Практичне заняття 2.
Заміна змінної та інтегрування частинами
Мета заняття: ознайомлення студентів з методами інтегрування: заміна змінної
та інтегрування частинами
Зміст заняття.
Завдання 1. Надання коротких теоретичних відомостей про метод інтегрування –
заміна змінної та розв’язання прикладів на задану тему.
Завдання 2. Надання коротких теоретичних відомостей про метод інтегрування –
інтегрування частинами та розв’язання прикладів на задану тему.
Основні теоретичні відомості, формули та приклади.
Метод заміни змінної ґрунтується на теоремі:
Нехай функції , неперервні на , причому множина значень
функції лежить на , тоді з формули
,
випливає, що має місце формула
, .
Приклад 1. Обчислити
4
xdx
x  .
Розв’язання.
2
2 2
4 4
2
4 4 ( 4) 2
xdx x t t
tdt
tx x t dx t dt tdt
  
   
     
 
3 3
2 ( 4)
2 ( 4) 2( 4 ) 2( 4 4)
3 3
t x
t dt t C x C

         .
Формула інтегрування частинами:
Формула інтегрування частинами зокрема застосовується (можливо декілька
разів) для обчислення інтегралів виду , де - многочлени -
го степеня, одна з функцій:
 x x t  x t  , 
 x t  ,a b
   f x dx F x C   ,x a b
       f x t x t dt F x t C    ,t  
.udv uv vdu  
   nP x x dx  nP x n
 x

2. .
Приклад 2. Обчислити ( 5)sin2x xdx .
Розв’язання.
5
1
( 5)sin2 ( 5)cos21
2sin2 cos2
2
u x du dx
x xdx x x
dv xdx v x
  
     
  
1 1 1
cos2 ( 5)cos2 sin2
2 2 4
xdx x x x C      .
Приклад 3. Обчислити .
Розв’язання. Під знаком інтеграла стоїть добуток многочлена на
логарифмічну функцію, тому використаємо метод інтегрування частинами.
cos , sin , , ln , arcsin , arccos , arctg , arcctgx
x x e x x x x x
 
lnx xdx
2 2
2
1
ln ;
1 1 1
ln ln
1 2 2
;
2
u x du dx
x
x xdx x x x dx
x
dv xdx v xdx x
 
     
  
 

2 21 1
ln
2 4
x x x C  