1. Практичне заняття 4.
Інтегрування тригонометричних функцій. Тригонометричні
заміни
Мета заняття: ознайомлення студентів з методами інтегрування
тригонометричних функцій та застосуванням
тригонометричних замін для обчислення деяких інтегралів.
Зміст заняття.
Завдання 1. Надання коротких теоретичних відомостей про інтегрування
тригонометричних функцій та прикладів задач по заданій темі.
Завдання 2. Розв’язування інтегралів, за допомогою тригонометричних замін.
Основні теоретичні відомості, формули та приклади.
Обчислення інтегралів від раціональних тригонометричних функцій
( )cos ,sinR x x dx∫ за допомогою універсальної тригонометричної підстановки
tg
2
x
t = , враховуючи, що 2arctgx t= , 2
2
1
dx dt
t
=
+
, 2
2
sin ,
1
t
x
t
=
+
2
2
1
cos
1
t
x
t
−
=
+
,
зводиться до інтегрування раціонального дробу. На практиці інтеграли від
раціональних тригонометричних функцій знаходять штучними методами.
Наприклад, інтеграли виду sin cosm n
x xdx∫ у випадку, коли б хоча б одне з чисел
,m n - ціле додатне непарне використовують метод відокремлення, а у випадку
коли обидва числа ,m n - цілі додатні парні, використовують формули пониження
степеня: 2 1 cos2
sin ;
2
x
x
−
= 2 1 cos2
cos .
2
x
x
+
=
Інтеграли від ірраціональних функцій обчислюють за допомогою заміни.
Для обчислення інтегралів від дробово-раціональних функцій, які містять
характерний корінь 2 2
a x− , або 2 2
a x+ , або 2 2
x a− використовують
тригонометричну підстановку: sinx a t= , tgy a t= ,
cos
a
y
t
= , відповідно.
2. Приклад 1. Обчислити 3
sin cosx xdx∫ .
Розв’язання. Для обчислення даного інтегралу використаємо метод внесення
функції під знак диференціала.
4
3 3 sin
sin cos sin sin
4
x
x xdx xd x C= = +∫ ∫ .
Приклад 2. Обчислити 4
tg .xdx∫
Розв’язання. Необхідно обчислити інтеграл від раціональної
тригонометричної функції tg x . Зробимо заміну tg .x t=
4
4
2
2
Заміна:
tg 1
tg ; arctg , 1
1
t
I xdx dt
t x x t dx dt t
t
= = =
= = = +
+
∫ ∫
Для обчислення інтегралу від неправильного дробу необхідно виділити цілу
частину.
4 3
2
2 2
1 1 1
1 arctg
31 1
t t
I dt t dt t t C
t t
− +
= = − + = − + +
+ +
∫ ∫ , де tg .t x=
Приклад 3. Обчислити
2 3
( 3)
dx
x +
∫ .
Розв’язання.
2 2
2
32 3 2
2
33tg ( 3) (3tg 3)
cos
3 3
( 3) 3 tg 1 3
cos cos
cos
dtx t x t
dx tI dt
x dx t
t t
t
= + = + =
= = = =
+ = = + =
∫ ∫
1 1 1
cos sin sinarctg
3 3 3 3
x
tdt t C C= = + = +∫
Завдання для індивідуальної роботи № 4.
Номер варіанта визначається за списком в журналі групи.
Відповіді слід надіслати у вигляді документу з розширенням
«.doc» або «.pdf»
3. Обчислити інтеграли:
4.1 а) 3 2
sin cosx xdx∫ б)
2
9 x
dx
x
+
∫
4.2 а) 5
ctg xdx∫ б)
3
2
4
x
dx
x−
∫
4.3 а)
5 2sin
dx
x−∫ б)
2
2
25
x dx
dx
x−
∫
4.4 а) 4
sin 2xdx∫ б)
2
16
dx
x x−
∫
4.5 а) 3 3
cos sin
dx
x x
∫ б)
2
25
dx
x x−
∫
4.6 а) 6
cos xdx∫ б)
2
2
4x
dx
x
−
∫
4.7 а) 4
tg xdx∫ б)
2
2
4
x dx
x−
∫
4.8 а) 4 4
cos sin
dx
x x
∫ б)
2
2
4 x
dx
x
−
∫
4.9 а)
4 3cos
dx
x−∫ б)
2
4
x dx
x +∫
4.10 а)
5 4sin
dx
x+∫ б)
2
9
dx
x x +
∫
4.11 а)
cos sin
dx
x x+∫ б)
3
2
4
x
dx
x−
∫
4.12 а) 5
ctg xdx∫ б)
2
2
49
x dx
x−
∫
4.13 а) 3
sin
dx
x
∫ б)
2
2
25
x dx
dx
x−
∫
4.14 а) 4
sin 2xdx∫ б)
2
16
dx
x x−
∫
4.15 а) 6
cos xdx∫ б)
2
25
dx
x x−
∫
4.16 а) 3 3
cos sin
dx
x x
∫ б)
2
2
1x
dx
x
−
∫
4.17 а)
2sin 3cos
dx
x x+∫ б)
2
1
dx
x x +
∫
4. 4.18 а)
4 3cos
dx
x−∫ б)
2
2
49
x dx
x−
∫
4.19 а)
5 2sin
dx
x−∫ б)
2
9
dx
x x−
∫
4.20 а) 4 4
cos sin
dx
x x
∫ б)
2
2
16
x dx
x−
∫
4.21 а) 5
ctg xdx∫ б)
3
2
4
x
dx
x−
∫
4.22 а) 2 4
cos sinx xdx∫ б)
2
16
dx
x x−
∫
4.23 а) 6
cos xdx∫ б)
2
25
dx
x x−
∫
4.24 а) 4
cos sinx xdx∫ б)
2
2
4
x dx
x−
∫
4.25 а)
5 4sin 3cos
dx
x x− +
∫ б)
2
2
4 x
dx
x
−
∫
4.26 а)
5 4sin
dx
x+∫ б)
2
1
dx
x x +
∫
4.27 а)
4 3cos
dx
x−∫ б)
2
2
4x
dx
x
−
∫
4.28 а)
2
4
sin
cos
xdx
x
∫ б)
2
2
49
x dx
x−
∫
4.29 а) 3 2
cos sin
dx
x x
∫ б)
2
9
dx
x x−
∫
4.30 а) 4
tg xdx∫ б)
2
2
1x
dx
x
−
∫
