Геометричний та фізичний зміст похідної

1. Похідна
Геометричний та
механічний зміст
похідної

2. х
у
о
y = (x)
х0 х0 + х∆
∆х
∆у
f
f
f (х + х)∆
(х)
Означення похідної
січна

3. х
у
о
y = (x)
х0
у0
f
Геометричний зміст похідної:
k = tgα = (x0 )
α
f
Кутовий коефіцієнт дотичної,
проведеної до графіка функції у = (x)
в точці (х0; у0) дорівнює значенню
похідної в точці х0.
f
/
дотична

4. Геометричний зміст похідної:
Кутовий коефіцієнт дотичної,
проведеної до графіка функції у = (x)
в точці (х0 ; у0) дорівнює значенню
похідної в точці х0.
f
k – кутовий коефіцієнт дотичної
k = tg α, α – кут нахилу дотичної
k = (x0)
f
/

5. х
у
о
y = (x)
х0
у0
f
Дотична до графіка функції у = (х)
α
f
січна дотична

6. х
у
о
y = (x)
х0
у0
f
Дотична до графіка функції у = (х)
α
f
А

7. х
у
о
y = (x)
х0
у0
f
Рівняння дотичної: у = (х0) + (х0)(х – х0).
k = tgα = (x0 )
α
f
f
/
f
f
/
у0 = (х0)

8. Механічний зміст похідної:
х0 – координата точки
v(t0)- швидкість точки в момент
часу t0
а(t0) – прискорення точки
в момент часу t0
/
v(t0) = x (t0)/
a(t0) = v (t0)

9. Задача
• Закон руху точки по прямій задано
формулою: х(t) = 0,3 t + 20;
Знайти миттєву швидкість руху точки при
t = 2

10. Задача
• Користуючись геометричним змістом похідної,
знайдіть (0).f /

11. Задача
• Користуючись геометричним змістом похідної,
знайдіть (0).f /

12. Задача
• Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної до
параболи у = х2
+ х в точці з абсцисою
х = 0.
• При нагріванні тіла температура
змінюється залежно від часу нагрівання
t за законом Т(t) = t2
- 2t + 3. Виведіть
формулу для обчислення миттєвої
швидкості v(t) зміни температури тіла.

13. Задача
• Запишіть рівняння дотичної до графіка
функції у = х2
– х + 3, яка паралельна
прямій х + у + 3 = 0.
• Тіло рухається за законом S(t)= 1 + 2t2
(S
– шлях у метрах t – час у секундах).
Обчисліть швидкість руху в момент
t =2с
• Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної до
параболи у = - х2
+ х в точці з абсцисою
х0 = 1.

14. Похідна
Застосування
похідної

15. х
у
о
y = (x)f
Означення1. Крива у = (x) називається
випуклою вниз у проміжку ( ;b), якщо
вона лежить вище від дотичної в будь-якій
точці цього проміжку .
f
а

16. х
у
о
y = (x)f
Означення1. Крива у = (x) називається
випуклою вгору у проміжку ( ;b), якщо
вона лежить нижче від дотичної в будь-якій
точці цього проміжку .
f
а

17. у
хо
-3
3
3
у =
(6; 12)
2
3
х
х −