Dokumen tersebut membahas tentang medan listrik pada muatan kontinu dan penerapan hukum Gauss. Terdapat penjelasan mengenai hitung medan listrik untuk berbagai sumber muatan kontinu seperti garis bermuatan, cincin bermuatan, pelat cakram, dan pelat tak hingga. Selanjutnya dibahas mengenai fluks listrik dan hukum Gauss."
Dokumen tersebut membahas tentang difraksi cahaya melalui celah tunggal dan ganda. Secara singkat, difraksi terjadi ketika gelombang cahaya dibelokkan saat melewati celah yang lebarnya sebanding dengan panjang gelombang cahaya. Intensitas cahaya yang keluar akan membentuk pola interferensi bergantung pada lebar dan jarak antar celah.
Dokumen tersebut membahas tentang kapasitansi dan dielektrik, termasuk definisi kapasitor, fungsi kapasitor, hubungan antara kapasitansi dan bahan dielektrik, serta contoh soal kapasitansi kapasitor sejajar dan paralel.
Interferensi gelombang terjadi ketika dua gelombang atau lebih bertemu dan berinteraksi. Terdapat dua jenis interferensi yaitu interferensi konstruktif dimana amplitudo gelombang meningkat dan interferensi destruktif dimana amplitudo gelombang menurun. Dokumen ini membahas berbagai contoh interferensi gelombang seperti interferensi gelombang cahaya, interferensi pada lapisan tipis, dan syarat agar terjadi interferensi.
Dokumen tersebut membahas tentang difraksi cahaya melalui celah tunggal dan ganda. Secara singkat, difraksi terjadi ketika gelombang cahaya dibelokkan saat melewati celah yang lebarnya sebanding dengan panjang gelombang cahaya. Intensitas cahaya yang keluar akan membentuk pola interferensi bergantung pada lebar dan jarak antar celah.
Dokumen tersebut membahas tentang kapasitansi dan dielektrik, termasuk definisi kapasitor, fungsi kapasitor, hubungan antara kapasitansi dan bahan dielektrik, serta contoh soal kapasitansi kapasitor sejajar dan paralel.
Interferensi gelombang terjadi ketika dua gelombang atau lebih bertemu dan berinteraksi. Terdapat dua jenis interferensi yaitu interferensi konstruktif dimana amplitudo gelombang meningkat dan interferensi destruktif dimana amplitudo gelombang menurun. Dokumen ini membahas berbagai contoh interferensi gelombang seperti interferensi gelombang cahaya, interferensi pada lapisan tipis, dan syarat agar terjadi interferensi.
Radiasi benda hitam adalah konsep penting dalam mekanika kuantum dimana benda menyerap dan memancarkan kembali semua frekuensi cahaya sesuai dengan suhunya. Teori awal oleh Rayleigh dan Jeans tidak sesuai dengan data eksperimen, namun Planck menjelaskan dengan baik dengan mengusulkan bahwa energi hanya dapat berupa paket diskrit. Prinsip ketidakpastian Heisenberg menyatakan bahwa tidak mungkin men
Dokumen tersebut membahas tentang bahan dielektrik dan kapasitansi. Ia menjelaskan tentang polarisasi pada bahan dielektrik akibat medan listrik dan definisi polarisasi. Dokumen juga menjelaskan hubungan antara rapat fluks listrik, medan listrik, dan permitivitas relatif pada bahan isotropik serta contoh soal perhitungan polarisasi. Selanjutnya dibahas tentang definisi kapasitansi dan rumus kapasitansi untuk
Orbital atom dapat saling tumpang tindih untuk membentuk ikatan kimia. Ikatan sigma terbentuk melalui tumpang tindih orbital s dan p. Hibridisasi terjadi ketika orbital-orbital campur untuk membentuk orbital baru yang memungkinkan pembentukan ikatan kovalen. Contohnya adalah orbital sp3 pada karbon yang memungkinkan pembentukan 4 ikatan.
Matematika teknik 06-transformasi linier-eigen valueel sucahyo
Dokumen tersebut membahas tentang transformasi linier. Definisi transformasi linier adalah fungsi yang memenuhi sifat kehomogenan dan sifat aditif. Contoh transformasi linier adalah perkalian vektor dengan matriks. Soal latihan membahas beberapa contoh untuk menentukan apakah suatu fungsi merupakan transformasi linier atau bukan dengan menggunakan syarat transformasi linier.
1. Dokumen tersebut berisi contoh soal dan pembahasan mengenai Gerak Lurus Beraturan (GLB) dan Gerak Lurus Berubah Beraturan (GLBB) untuk kelas 10 SMA. Materinya mencakup penggunaan rumus-rumus GLB dan GLBB serta pembacaan grafik kecepatan-waktu.
2. Terdapat 10 soal yang mencakup berbagai contoh penerapan rumus-rumus gerak beraturan untuk menentukan besaran seperti ke
Dokumen ini membahas tentang arus dan tegangan bolak-balik, diagram fasor, dan rangkaian listrik seri RLC. Arus dan tegangan bolak-balik berbentuk gelombang sinus dan dapat direpresentasikan melalui diagram fasor. Rangkaian seri RLC terdiri atas reaktansi resistif, induktif, dan kapasitif, dimana impedansi total didapat dari penjumlahan vektor ketiganya.
Dokumen tersebut membahas tentang interferensi gelombang cahaya, termasuk interferensi pada celah ganda, N celah, lapisan tipis, dan hukum Snellius. Secara ringkas, dokumen menjelaskan bahwa interferensi terjadi akibat superposisi gelombang, yang menghasilkan pola gelap terang bergantung pada beda fasa antar gelombang. Dokumen juga menyajikan rumus untuk menentukan kondisi maksimum dan minimum intensitas akibat interferensi
Menyederhanakan fungsi boolean dengan menggunakan metode quin1BAIDILAH Baidilah
Dokumen tersebut membahas tentang metode Quine-McCluskey untuk menyederhanakan fungsi Boolean. Metode ini digunakan untuk menyederhanakan fungsi Boolean dengan jumlah variabel lebih dari empat karena metode aljabar dan peta Karnaugh kurang tepat. Metode Quine-McCluskey melibatkan dua langkah yaitu menentukan prime implicant dan memilih prime implicant inti.
SMAN 1 Bone-Bone, Luwu Utara, Sul-Sel
Kesalahan terbesar yang dibuat manusia dalam kehidupannya adalah terus-menerus merasa takut bahwa mereka akan melakukan kesalahan.
Dokumen tersebut merangkum materi tentang ruas garis berarah yang mencakup definisi, sifat-sifat, dan teorema-teorema yang terkait. Secara ringkas, dokumen tersebut membahas tentang:
1) Definisi ruas garis berarah dan sifat-sifat yang sederhana seperti kongruensi dan kesetaraan ruas garis berarah
2) Teorema yang menyatakan hubungan antara kesetaraan ruas garis berarah dengan s
1. Dokumen ini membahas medan listrik pada muatan kontinu dan penerapan hukum Gauss. Dijelaskan cara menghitung medan listrik untuk berbagai bentuk sumber muatan seperti garis, cincin, cakram, dan pelat dengan menggunakan persamaan integral.
2. Hukum Gauss digunakan sebagai teknik alternatif untuk menghitung medan listrik dari muatan kontinu. Definisi fluks listrik diperkenalkan sebelum pembahasan hukum Gauss
Radiasi benda hitam adalah konsep penting dalam mekanika kuantum dimana benda menyerap dan memancarkan kembali semua frekuensi cahaya sesuai dengan suhunya. Teori awal oleh Rayleigh dan Jeans tidak sesuai dengan data eksperimen, namun Planck menjelaskan dengan baik dengan mengusulkan bahwa energi hanya dapat berupa paket diskrit. Prinsip ketidakpastian Heisenberg menyatakan bahwa tidak mungkin men
Dokumen tersebut membahas tentang bahan dielektrik dan kapasitansi. Ia menjelaskan tentang polarisasi pada bahan dielektrik akibat medan listrik dan definisi polarisasi. Dokumen juga menjelaskan hubungan antara rapat fluks listrik, medan listrik, dan permitivitas relatif pada bahan isotropik serta contoh soal perhitungan polarisasi. Selanjutnya dibahas tentang definisi kapasitansi dan rumus kapasitansi untuk
Orbital atom dapat saling tumpang tindih untuk membentuk ikatan kimia. Ikatan sigma terbentuk melalui tumpang tindih orbital s dan p. Hibridisasi terjadi ketika orbital-orbital campur untuk membentuk orbital baru yang memungkinkan pembentukan ikatan kovalen. Contohnya adalah orbital sp3 pada karbon yang memungkinkan pembentukan 4 ikatan.
Matematika teknik 06-transformasi linier-eigen valueel sucahyo
Dokumen tersebut membahas tentang transformasi linier. Definisi transformasi linier adalah fungsi yang memenuhi sifat kehomogenan dan sifat aditif. Contoh transformasi linier adalah perkalian vektor dengan matriks. Soal latihan membahas beberapa contoh untuk menentukan apakah suatu fungsi merupakan transformasi linier atau bukan dengan menggunakan syarat transformasi linier.
1. Dokumen tersebut berisi contoh soal dan pembahasan mengenai Gerak Lurus Beraturan (GLB) dan Gerak Lurus Berubah Beraturan (GLBB) untuk kelas 10 SMA. Materinya mencakup penggunaan rumus-rumus GLB dan GLBB serta pembacaan grafik kecepatan-waktu.
2. Terdapat 10 soal yang mencakup berbagai contoh penerapan rumus-rumus gerak beraturan untuk menentukan besaran seperti ke
Dokumen ini membahas tentang arus dan tegangan bolak-balik, diagram fasor, dan rangkaian listrik seri RLC. Arus dan tegangan bolak-balik berbentuk gelombang sinus dan dapat direpresentasikan melalui diagram fasor. Rangkaian seri RLC terdiri atas reaktansi resistif, induktif, dan kapasitif, dimana impedansi total didapat dari penjumlahan vektor ketiganya.
Dokumen tersebut membahas tentang interferensi gelombang cahaya, termasuk interferensi pada celah ganda, N celah, lapisan tipis, dan hukum Snellius. Secara ringkas, dokumen menjelaskan bahwa interferensi terjadi akibat superposisi gelombang, yang menghasilkan pola gelap terang bergantung pada beda fasa antar gelombang. Dokumen juga menyajikan rumus untuk menentukan kondisi maksimum dan minimum intensitas akibat interferensi
Menyederhanakan fungsi boolean dengan menggunakan metode quin1BAIDILAH Baidilah
Dokumen tersebut membahas tentang metode Quine-McCluskey untuk menyederhanakan fungsi Boolean. Metode ini digunakan untuk menyederhanakan fungsi Boolean dengan jumlah variabel lebih dari empat karena metode aljabar dan peta Karnaugh kurang tepat. Metode Quine-McCluskey melibatkan dua langkah yaitu menentukan prime implicant dan memilih prime implicant inti.
SMAN 1 Bone-Bone, Luwu Utara, Sul-Sel
Kesalahan terbesar yang dibuat manusia dalam kehidupannya adalah terus-menerus merasa takut bahwa mereka akan melakukan kesalahan.
Dokumen tersebut merangkum materi tentang ruas garis berarah yang mencakup definisi, sifat-sifat, dan teorema-teorema yang terkait. Secara ringkas, dokumen tersebut membahas tentang:
1) Definisi ruas garis berarah dan sifat-sifat yang sederhana seperti kongruensi dan kesetaraan ruas garis berarah
2) Teorema yang menyatakan hubungan antara kesetaraan ruas garis berarah dengan s
1. Dokumen ini membahas medan listrik pada muatan kontinu dan penerapan hukum Gauss. Dijelaskan cara menghitung medan listrik untuk berbagai bentuk sumber muatan seperti garis, cincin, cakram, dan pelat dengan menggunakan persamaan integral.
2. Hukum Gauss digunakan sebagai teknik alternatif untuk menghitung medan listrik dari muatan kontinu. Definisi fluks listrik diperkenalkan sebelum pembahasan hukum Gauss
Dokumen tersebut membahas tentang hukum Gauss yang menyatakan bahwa jumlah garis medan listrik yang menembus suatu permukaan tertutup sebanding dengan jumlah muatan listrik yang dilingkupi permukaan tersebut. Diberikan pula contoh perhitungan kuat medan listrik akibat pengaruh beberapa muatan titik dan konduktor bermuatan.
BERISI TENTANG MATERI DARI LISTRIK STATIS DAN BIASANYA DIGUNAKAN UNTUK MEDIA PRESENTASI. MATERI INI BIASANYA ADA PADA KELAS X DI TINGKAT SMK. MEDIA INI TIDAK HANYA BISA DIGUNAKAN OLEH GURU SAJA NAMUN JUGA BISA DIGUNAKAN OLEH SISWA. FILE PADA MEDIA INI MERUPAKAN FILE POWER POINT. INI BISA DIGUNAKAN UNTUK SEGALA KURIKULUM. MEDIA INI JUGA BISA DIGUNKAN SEBAGAI SUMBER BELAJAR BAGI SISWA.
(1) Hukum Gauss menyatakan bahwa jumlah garis gaya medan listrik yang menembus suatu permukaan tertutup sebanding dengan muatan di dalam permukaan tersebut; (2) Kuat medan listrik pada pelat bermuatan sama dengan muatan dibagi permitivitas ruang hampa; (3) Kapasitor dapat menyimpan muatan listrik dan energi medan listrik, dengan kapasitansi bergantung pada luas permukaan, jarak, dan bahan pemisah.
Dokumen tersebut membahas tentang muatan listrik, medan listrik, dan dipol listrik. Muatan listrik adalah besaran skalar yang menentukan interaksi listrik antara partikel, sedangkan medan listrik adalah vektor yang menunjukkan gaya listrik pada muatan. Dipol listrik terdiri atas sepasang muatan berlawanan tanda yang terpisah jarak tertentu.
Kapasitor menyimpan muatan listrik dan terdiri dari dua konduktor berdekatan. Kapasitansi dan muatan dipengaruhi oleh jarak, luas permukaan, dan dielektrika. Dielektrika meningkatkan kapasitansi dengan menimbulkan muatan induksi.
1. Kuat medan listrik di titik 3 cm dari muatan -10 mC dan 9 cm dari muatan +9 mC adalah 9 × 107 N/C.
2. Kecepatan elektron yang bergerak antara dua keping logam dengan beda potensial V dan jarak d dalam waktu t adalah V/md.
3. Kapasitas kapasitor tidak berbanding lurus dengan muatannya dan tidak berbanding terbalik dengan tegangannya.
4. Muatan yang menyebabkan massa 2
Modul Ajar Bahasa Inggris Kelas 10 Fase E Kurikulum MerdekaFathan Emran
Modul Ajar Bahasa Inggris Kelas 10 SMA/MA Fase E Kurikulum Merdeka - abdiera.com. Modul Ajar Bahasa Inggris Kelas 10 SMA/MA Fase E Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Bahasa Inggris Kelas 10 SMA/MA Fase E Kurikulum Merdeka.
Teori Fungsionalisme Kulturalisasi Talcott Parsons (Dosen Pengampu : Khoirin ...nasrudienaulia
Dalam teori fungsionalisme kulturalisasi Talcott Parsons, konsep struktur sosial sangat erat hubungannya dengan kulturalisasi. Struktur sosial merujuk pada pola-pola hubungan sosial yang terorganisir dalam masyarakat, termasuk hierarki, peran, dan institusi yang mengatur interaksi antara individu. Hubungan antara konsep struktur sosial dan kulturalisasi dapat dijelaskan sebagai berikut:
1. Pola Interaksi Sosial: Struktur sosial menentukan pola interaksi sosial antara individu dalam masyarakat. Pola-pola ini dipengaruhi oleh norma-norma budaya yang diinternalisasi oleh anggota masyarakat melalui proses sosialisasi. Dengan demikian, struktur sosial dan kulturalisasi saling memengaruhi dalam membentuk cara individu berinteraksi dan berperilaku.
2. Distribusi Kekuasaan dan Otoritas: Struktur sosial menentukan distribusi kekuasaan dan otoritas dalam masyarakat. Nilai-nilai budaya yang dianut oleh masyarakat juga memengaruhi bagaimana kekuasaan dan otoritas didistribusikan dalam struktur sosial. Kulturalisasi memainkan peran dalam melegitimasi sistem kekuasaan yang ada melalui nilai-nilai yang dianut oleh masyarakat.
3. Fungsi Sosial: Struktur sosial dan kulturalisasi saling terkait dalam menjalankan fungsi-fungsi sosial dalam masyarakat. Nilai-nilai budaya dan norma-norma yang terinternalisasi membentuk dasar bagi pelaksanaan fungsi-fungsi sosial yang diperlukan untuk menjaga keseimbangan dan stabilitas dalam masyarakat.
Dengan demikian, konsep struktur sosial dalam teori fungsionalisme kulturalisasi Parsons tidak dapat dipisahkan dari kulturalisasi karena keduanya saling berinteraksi dan saling memengaruhi dalam membentuk pola-pola hubungan sosial, distribusi kekuasaan, dan pelaksanaan fungsi-fungsi sosial dalam masyarakat.
Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 Fase D Kurikulum Merdeka - [abdiera.com]Fathan Emran
Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka - abdiera.com. Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka.
2. 22
1. MEDAN LISTRIK PADA MUATAN KONTINU
Dalam bab satu kita telah dapat menghitung medan listrik di sekitar suatu
muatan titik menggunakan persamaan yang diperoleh dari hukum
Coulomb. Namun bagaimana jika sumber muatan bukan muatan titik ?
misalnya muatan berupa bongkahan bermuatan yang memiliki volume
tertentu.
Untuk muatan yang memiliki volume, dikenal rapat muatan atau ρ yang
didefinisikan sebagai :
V
Q
=ρ
atau dalam bentuk diferensial :
dV
dQ
=ρ
atau jika muatan dianggap tidak bervolume dan hanya memiliki panjang,
maka muatan persatuan panjang didefinsikan sebagai :
dx
dQ
=ρ
jika diungkapkan dalam pernyataan integral muatan dalam sumber muatan
listrik dengan volume V :
∫ ⋅ρ=
V
dVQ
sehingga persamaan (3) dalam bab I untuk muatan kontinu menjadi :
rE ˆ
r
dQ
k 2∫=
r E
Q
Gb 2.1 Medan listrik sejauh r dari sumber muatan
listrik Q dengan volume V
V
(1)
(5)
(4)
(2)
(3)
3. 23
rE ˆdV
r
k 2∫
ρ
=
Mari kita hitung beberapa sumber muatan kontinu menggunakan persamaan
(5) atau (6)
1.1 Garis Bermuatan
a. Medan listrik sepanjang garis
Kita hitung medan listrik pada titik P sejauh x dari garis bermuatan
sepanjang L berikut :
Dengan menggunakan persamaan (5) :
rE ˆ
r
dQ
k 2∫=
kita tempatkan pada ujung garis pada pusat koordinat :
Sehingga jarak elemen muatan dQ ke titik P adalah (x-b) dan dQ
sebagaimana persamaan (3) adalah ρdx :
rE ˆ
x)-(b
dx
k 2∫
ρ
=
persaaaan ini harus diintegrasi dengan teknik substitusi variabel, ini
permasalahan Kalkulus.
Variabel (b-x) kita ganti dengan u sehingga :
uxb =− dan dudx −= , maka integrasi menjadi :
(6)
L
PdQ
b
P
x
L
b
dx
Gb 2.2 Medan listrik sejauh b dari sumber muatan
berbentung garis sepanjang L
4. 24
rE ˆ
u
du
k 2∫
ρ
−=
−
ρ
=
−
−
ρ=
−
ρ=ρ=
)Lb(b
L
k
b
1
Lb
1
k
xb
1
k
u
1
k
L
0
E
karena ρL = Q, maka besarnya medan magnet sejauh b dari garis
sepanjang garis :
Contoh :
Hitunglah medan listrik dari sebuah garis bermuatan sepanjang 1 meter dengan
rapat muatan 5 µC/m pada jarak 50 cm pada arah sepanjang garis seperti pada
gambar :
Jawab :
Dengan mengunakan persamaan (6) di mana :
k = 9x109 Nm2/C2
L = 1 m
b = 1 mr + 50 cm = 1,5 m
Q = ρ L = (5x10-6 C/m)⋅(1 m) = 5x10-6 C
C/N10x6
(0,75)
5x10
10x9
1)-(1,5)(1,5
6-5x10
10x9
)Lb(b
Q
kE 4
-6
99
=
=
=
−
=
(6)
−
=
)Lb(b
Q
kE
1 meter
50 cm
5. 25
b. Medan listrik tegak lurus pusat garis
Sekarang kita hitung medan listrik di titik p pada jarak b tegak lurus
garis. Dengan menempatkan pertengahan garis pada pusat koordinat
kartesius :
Dari persamaan (5) :
rE ˆ
r
dQ
k 2∫=
jarak dari elemen muatan dQ dengan panjang dx pada titik P adalah :
22
xbr += dan dQ = ρdx, sehingga :
rE ˆ
xb
dx
k
2/L
2/L
22∫− +
ρ=
sekarang kita perhatikan gambar berikut :
x
L
b
dx
P
x
b
θθθθ
E
E cos
θ
E sin θ
E
E sin θ
Gb 2.3 Medan listrik sejauh b tegak lurus garis
6. 26
Tampak bahwa komponen x dari E ( E sinθ) saling menghilangkan satu
sama lain sehingga tidak perlu kita hitung dan kita perhatikan komponen
y nya saja :
dx
xb
cos
kE
2/L
2/L
22∫−
+
θ
ρ=y
sampai di sini permasalahannya adalah pengetahuan kalkulus :
dx
)tan(1b
cos
kdx
)
b
x
(1b
cos
kE
2/L
2/L
22
2/L
2/L
2
2
2
∫∫ −−
θ+
θ
ρ=
+
θ
ρ=y
karena 1+tan2θ = sec2θ :
dx
secb
cos
kE
2/L
2/L
22y ∫−
θ
θ
ρ=
kita ganti :
x = tanθ, jika diturunkan maka dx = sec2θ dθ
sehingga :
dsec
secb
cos
kE 2
22y ∫−
θθ
θ
θ
ρ=
2/L
2/l
22
y
xb
x
b
k
sin
b
k
dcos
b
k
E
−+
ρ
=θ
ρ
=
θθ
ρ
= ∫
sehingga medan magnet sajauh d tegak lurus garis :
+
ρ
=
22y
)2/L(b
L
b
k
E
atau :
(7)
(8)
+
ρ
=
22y
)2/L(b
2/L
b
2k
E
7. 27
Contoh :
Hitunglah medan listrik dari sebuah garis bermuatan sepanjang 1 meter dengan
rapat muatan 5 µC/m pada jarak 50 cm tegak lurus garis seperti pada gambar :
Jawab :
Dengan mengunakan persamaan (8) di mana :
k = 9x109 Nm2/C2
L = 1 m
b = 50 cm = 0,5 m
ρ = 5x10-6 C/m
C/N1.27x10
2
10x8,1
)2/1(5,0
2/1
5,0
)10x5)(10x9(2
)2/L(b
2/L
b
2k
E
5
5
22
69
22y
≈=
+
=
+
ρ
=
−
Jika garis sangat panjang sehingga L/2 >> b, maka persamaan (8) dapat
diaproksimasi menjadi :
ρ
=
2y
)2/L(
2/L
b
2k
E
atau :
(9)
b
2k
Ey
ρ
=
1 meter
50 cm
8. 28
1.2 Cincin Bermuatan
Kasus kedua misalnya sebuah cincin bemuatan sebagai berikut :
Kita akan menghitung medan listrik pada titik P sejauh x dari pusat cincin
menggunakan persamaan (5) :
rE ˆ
r
dQ
k 2∫=
sama dengan alasan seblumnya bahwa medan lsitrik pada komponen y akan
saling menghilangkan satu sama lain, sehingga medan listrik yang kita
perhatikan hanya komponen x saja :
θ= ∫ cos
r
dQ
kE 2x
Karena jarak elemen muatan dQ pada titik P :
22
xbr += , dan cos θ = x/r maka :
∫
∫
+
=
+
=
dQ
)x(b
kx
xb
dQ
r
x
kE
2/322
22x
sehingga kuat medan magnet pada titik P sejauh x dari pusat cincin :
x
r
b
θ P
E
Ex
Ey
dQ
(10)
Gb 2.4 Medan listrik sejauh x dari sumber muatan
berbentuk cincin berjari-jari b
2/322x
)x(b
kxQ
E
+
=
9. 29
Contoh :
Hitunglah medan listrik dari sebuah cincin bermuatan dengan jari-jari 10 cm
dengan muatan 15 µC pada jarak 50 cm tegak lurus dari pusat cincin
Jawab :
Dengan mengunakan persamaan (10) di mana :
k = 9x109 Nm2/C2
x = 50 cm = 0,5 m
b = 10 cm = 0,1 m
Q = 5x10-6 C/m
C/N1,697x10
)5,01,0(
)10x5)(5,0(10x9
)x(b
kxQ
E 5
2/322
69
2/322x ≈
+
=
+
=
−
1.3 Medan Pada Pelat Cakram
Sekarang kita hitung kasus lain, yaitu
medan listrik pada titik P sejauh x dari
pusat benda berbentuk cakram dengan
jari-jari b seperti pada gambar :
Kasus ini dapat dipandang sebagai
penjumlahan dari muatan-muatan
berbentuk cincin sebagaimana telah
kita hitng sebelumnya. Cincin-cincin ini
jari-jarinya membesar mulai dari r = 0
hingga r = b sehingga akhirnya
membentuk cakram. Untuk itu kita
tuliskan persamaan (10) dengan cincin
x Pθ
E
Ex
Ey
b
r
Gb 2.5 Medan listrik sejauh x dari
sumber muatan berbentung
cakram berjari-jari b
x
r
b
θ
P
10. 30
berjari-jari r bermuatan dQ sebagai berikut :
2/322x
)x(r
dQ
kxdE
+
=
dengan dQ = rapat muatan x luas cincin = ρ(2πr⋅dr)
Medan akibat cincin ini kita integralkan dari r=0 hingga r=b, sehingga :
∫∫ +
πρ=
+
πρ
=
b
0
2/322
b
0
2/322x
)x(r
rdr
2kx
)x(r
rdr2
kxE
sekali lagi, ini tinggal persoalan kalkulus. Kita lakukan teknik substitusi
variabel, di mana :
22
xru += dan rdr2du =
b
0
22
b
0
2/3
xr
1
kx2
u
du
2
1
2kxE
+
ρπ−=πρ= ∫
−
+
ρπ−=
x
1
xb
1
kx2E
22
1.3 Medan Pada Pelat Tak hingga
Untuk pelat tak hingga, kita bisa menggunakan persamaan (11) dengan
menganggap b = ∞ sehingga persamaan (12) menjadi:
( )01k2
xb
x
1k2E
22
−ρπ≈
+
−ρπ=
(11)
(12)
(13)
+
−ρπ= 22
xb
x
1k2E
ρπ= k2E
11. 31
2. HUKUM GAUSS PADA MEDIUM NON-KONDUKTOR
2.1 Fluks Listrik
Teknik lain untuk menghitung medan magnet dari muatan kontinu adalah
menggunakan hukum Gauss. Teknik yang digunakan Gauss relatif lebih
mudah untuk kasus-kasus benda geometris.
Sebelum kita melangkah lebih jauh dengan hukum Gauss, kita definisikan
sebuah besaran fisis yang akan kita gunakan nanti, yaitu fluks listrik Φ. Fluks
listrik didefinisikan sebagai perkalian-titik medan listrik E dan luas yang
dilewatinya A, namun secara fisis fluks menggambarkan banyaknya garis
medan magnet yang menembus sebuah permukaan luas. Jika kita
ilustrasikan dalam gambar :
Kita bisa membayangkan fluks magnetik ini dengan sebuah kipas angin yang
menerpa selembar kertas, hembusan angin terasa lebih keras ketika kertas
tegak lurus pada hembusan angin artinya vektor luas permukaan searah
dengan arah hembusan angin, namun ketika kertas sejajar dengan arah
hembusan angin, tekanan angin sangat minim.
Arah vektor
Medan listrik E
A
Arah vektor permukaan A
30o
3
2
EA
30cosEAAE o
==⋅=Φ
rr
Arah vektor
Medan listrik E
A
Arah vektor permukaan A
EA0cosEAAE o
==⋅=Φ
rr
GB 2.6 Fluks Medan Listrik Menembus Sebuah Luas Permukaan A
Gauss
12. 32
Gauss menyatakan bahwa : “Jumlah Garis Gaya yang keluar dari suatu
permukaan tertutup (atau fluks Φ) sebanding dengan jumlah muatan listrik
yang dilingkupi oleh permukaan tertutup itu” atau “Sumber dari sebuah
medan magnet adalah muatan listrik”, jika diungkapkan dalam sebuah
persamaan matematis :
Qdlm adalah besarnya muatan yang dilingkupi oleh permukaan Gauss.
Hukum Gauss ini tidak akan dijelaskan terlalu detail karena kesulitan teknis
mengingat anda belum mendapatkan dasar kalkulus yang cukup terutama
tentang divergensi dan integral permukaan. Akan tetapi, kita akan gunakan
hukum Gauss ini untuk menghitung kuat medan listrik dari sebuah benda-
benda geometris sederhana seperti bola, silinder, pelat tipis, sebab pada
kenyataannya kita seringkali berhadapan dengan benda-benda geometris
seperti ini, dan nantinya kita akan menggunakan hasil perhitungan kuat
medan listrik tersebut untuk menghitung medan listrik pada sebuah
kapasitor.
o
dlm
S
ε
Q
dΦ =⋅= ∫ AE
Gb 2.7 Analogi fluks adalah seperti angin dari kipas
angin yang meniup kertas, jika kertas tegak lurus arah
angin (artinya vektor luas dengan vektor arah angin
sejajar), maka fluksnya maksimum
(14)
13. 33
Kita akan memulai menghitung medan listrik menggunakan hukum Gauss
pada muatan titik sekaligus membuktikan kesesuaian medan listrik yang
diperoleh hukum Coulomb pada persamaan (5) dengan hukum Gauss.
2.2 Menurunkan Medan Listrik Pada Muatan Titik Menggunakan Hukum
Gauss (Membuktikan Hukum Coulomb)
Perhatikan sebuah muatan titik dengan besar muatan Q pada gambar 2.3
Muatan ini kita lingkupi dengan sebuah “permukaan Gauss” yang kta pilih
berbentuk bola. Pemilihan bentuk permukaan Gasuss ini sebetulnya
sekehendak kita, kita juga boleh saja memilih berbentuk kubus atau apapun,
namun dengan mempertimbangkan pertama, muatan harus terlingkupi
seluruhnya dan kedua, kemudahan dalam perhitungan. Atas kedua dasar ini
kita bentuk bola.
Kita gunakan hukum Gauss pada persamaan (14) :
Sudut θ adalah sudut yang dibentuk vektor permukaan dA dengan vektor
medan E yang arahnya dalam hal ini sejajar, namun jika permukaan Gauss
tidak berbentuk bola, kedua vektor ini belum tentu sejajar bahkan mungkin
berubah-ubah seperti yang anda lihat pada gambar 2.9. Inilah alasan kita
memilih permukaan Gauss berbentuk bola.
Karena cos0o adalah 1 maka :
oS
ε
Q
dAE∫ =
Gb 2.8 Muatan
ini kita lingkupi
dengan sebuah
permukaan
Gauss berbentuk
bola dengan
radius R
oS
o
oS
o
o
dlm
S
ε
Q
0cosdAE
ε
Q
cosdAE
ε
Q
dΦ
∫
∫
∫
==
=θ=
=⋅= AE
R
dA
E
Gb 2.9 Jika kita
pilih permukaan
Gauss bebentuk
kubus maka
sudut antara dA
dengan E sangat
bervariasi dan
menyulitkan
perhitungan
dA
dA
E
E
14. 34
integral permukaan dari dA berarti luas permukaan bola, yaitu 4πr2 :
o
2
ε
Q
R4E =π
persis seperti medan listrik yang diturunkan melalui Coulomb pada bab I.
2.2 Hukum Gauss Pada Bidang Datar
Misalnya kita memiliki pelat bermuatan positif persatuan luas ρ. Untuk
menghitung medan listrik dengan hukum Gauss kita harus memilih sebuah
ruang-volume yang melingkupi pelat bermuatan. Pada dasarnya kita bebas
memilih bentuk ruang-volume ini, pda umumnya yang biasa dipakai
berbentuk silinder, bola atau kubus. Pemilihan ini sangat bergantung pada
kemudahan perhitungannya nanti. Misalnya, kita ambillah permukaan
sebuah silinder berjari-jari r.
Pada gambar disamping kita bagi silinder menjadi tiga permukaan A1, A2,
dan A3. Fluks yang menembus ketiga permukaan ini adalah :
Pada A1 : E⋅A1⋅cos 0o : EA1
A1
A2
A3
E
r
Gb 2.10 Fluks listrik yang menembus sebuah permukaan bidang
datar dapat didekati dengan permukaan Gauss berbentuk silinder
2
o R
Q
ε4
1
E
π
=
15. 35
Pada A3 : E⋅A3⋅cos 0o : EA3
Pada A2 : E⋅A2⋅cos 90o : 0
Dengan demikian :
∫ ε
=+==Φ
s o
dlm
21
Q
)AA(EEdA
Karena A1 dan A3 merupakan luas pelat katakanlah A. Sehingga
medan pada pelat bermuatan :
karena Q/A =σ, maka untuk pelat bermuatan kita dapatkan medan listrik :
atau :
πρ=
ρ
ε
πε
πε
=
2k
2
4
4
1
E
0
0
0
persis seperti hasil yang diperoleh persamaan (13)
2.3 Hukum Gauss Pada Bola Pejal Bermuatan
a. Kuat medan sejauh r (r≥≥≥≥R)
Kuat medan magnet untuk benda bermuatann berbentuk bola dengan jari-
jari sejauh r seperti ditunjukkan gambar 2.6. Dengan menggunakan hukum
Gauss :
o
dlm
S
ε
Q
d =⋅∫ AE
Untuk menghitung medan listrik sejauh r kita pilih permukaan Gauss
berbentuk bola dengan luas permukaan 4πr2.
rR r
o
total
A2
Q
E
ε
=
o2
E
ε
ρ
=
Gb 2.11 Bola Pejal
(15)
πρ= 2kE
16. 36
Karena arah vektor medan listrik searah dengan vektor permukaan (artinya
sudutnya 0o), maka :
o
2
o
dlmo
S
Q
)r4(E
Q
)0cos(d
ε
=π=
ε
=∫ AE
jarak r adalah radius permukaan Gauss yang kita pilih, sehingga medan
listrik di luar bola pejal bermuatan adalah :
b. Kuat medan sejauh r (r<R)
Kuat medan pada titik di dalam bola pejal bermuatan sejauh a dari pusat
dapat kita peroleh sebagai berikut :
o
dlm
S
ε
Q
d =⋅∫ AE
ruas kiri akan menghaasilkan nlai yang sama seperti sebelumnya :
o
dlm2
ε
Q
E)r4( =π
Sekarang Qdlm bola dengan radius r dimana r < R dapat dihitung dari
perbandingan volume :
(16)
r
Permukaan
Gauss
Arah vektor dA
E
rˆ
r
Q
4̟
1
)( 2
0∈
=rE
Gb 2.12 Arah Medan listrik dari bola bermuatan
sarah dengan arah permukaan Gauss
17. 37
3
3
3
dlm
R
r
Q
R
3
4
r
3
4
Q
=
π
π
=
sehingga diperoleh kuat medan sejauh r di dalam bola berjari-jari R :
Q
ε
)
R
r
(
E)r4(
o
3
2
=π
Medan lsitrik dalam bola pejal bermuatan mulau-mula naik secara linier
sebagaimana ditunjukan persamaan (17), ketika sampai r = jari-jari bola R
kuat medan menjadi persamaan (16) yang turun secara kuadratik sebanding
dengan (1/r2). Jika diilustrasikan :
(17)
GB 2.13 Perubahan E pada Bola Pejal Konduktor
Naik linier
sesuai
persamaan (17) Turun kuadratik
sesuai
persamaan (16)
r
E
R
r
R
Q
4
1
E 3
o
πε
=
konstanta
18. 38
Contoh :
Sebuah bola pejal berjari-jari 1 cm memiliki muatan 5µC, hitunglah kuat medan
sejauh :
a. 2 cm dari pusat bola
b. 0,5 cm dari pusat bola
Jawab :
a. Karena jarak sejauh 2 cm berada di luar bola maka dengan menggunakan
persamaan (16) :
C/N10x25,2
10x2
10x5
10x9
r
Q
kE 6
2
6
9
2
=== −
−
b. Karena jarak sejauh 0,5 cm berada di luar bola maka dengan menggunakan
persamaan (17) :
( )
C/N10x25,210x5,0
10x1
10x5
10x9r
R
Q
kr
R
Q
4
1
E 82
32
6
9
33
o
===
πε
= −
−
−
2.4 Hukum Gauss Pada Bola Berrongga (‘kopong’)
Istilah “bola pejal” di sini penting karena jika bola tidak pejal namun
berrongga (atau kopong), kuat medan di dalam bola bernilai nol namun di
luar bola kuat medan seperti bola pejal. Untuk bola berrongga kuat
perubahan kuat medannya jika diilustrasikan menghasilkan gambar berikut :
E=0
Turun kuadratik
sesuai
persamaan (16)
r
E
Gb 2.14 Perubahan E pada Bola Berrongga Konduktor
19. 39
r
A1
A2
A3
L
silinder
Gb 2.16 Silinder
Panjang
Bermuatan
2.5 Hukum Gauss Pada Kawat Panjang Bermuatan
Untuk kawat panjang dengan muatan persatuan panjang ρ kita dihitung
medan listrik sejauh r menggunakan hukum Gauss :
o
dlm
S
ε
Q
d =⋅∫ AE
dengan permukaan Gauss berupa silinder kita dapatkan ruas kiri pada
persamaan Gauss :
o
dlmQ
ε
=⋅+⋅+⋅ 321 AEAEAE
karena sudut vektor E dengan A1 (tutup silinder) dan A3 (alas silinder)
adalah 90o, sedangkan terhadap A2 0o, maka :
o
dlm
2
o
dlmo
3
o
2
o
1
Q
AE
Q
90cosAE0cosAE90cosAE
ε
=⋅
ε
=⋅+⋅+⋅
sedangkan A2 adalah luas selimut silinder yaitu 2πrL Maka kuat medan
sejauh r dari kawat adalah sebagai berikut :
L
Q
r2
1
E dlm
oεπ
=
2.5 Hukum Gauss Pada Silinder Panjang Bermuatan
Untuk kawat berbentuk silnider berrongga, maka medan listik di luar
silinder akan menghasilkan nilai yang sama dengan kawat panjang :
Namun medan listrik di dalam silinder adalah nol, karena permukaan Gauss
tidak melingkupi muatan apapun :
E=0
Gb 2.15 Kawat
Panjang
Bermuatan
(18)
r
A1
A2
A3
L
(19)
rˆ
r2̟
1
o
ρ
ε
=E
rˆ
r2̟
1
o
ρ
ε
=E
20. 40
Elektron
bebas
2.17 Elektron
bebas dalam
konduktor
2.18 Medan listrik di dalam konduktor adalah nol karena
muatan bergerak ke tepi dan membentuk medan internal
yang melawan medan luar
3. MEDAN LISTRIK PADA MEDIUM KONDUKTOR
Medium konduktor memiliki kekhususan tesendiri ketika dipengaruhi
medan listrik. Sebagaimana kita katahui bahwa dalam konduktor terdapat
muatan-muatan (dalam hal ini elektron) yang tidak terikat pada atom dan
dapat bergerak secara acak dan bebas. Semakin banyak elektron bebas
tersebut maka medium tersebut akan makin konduktif.
Jika terdapat medan listrik dari luar perilaku elektron berubah dan bergerak
hingga permukaan konduktor sedemikian sehingga medan listrik di dalam
konduktor menjadi nol.
Dalam konduktor gambar 2.18 elektron dan muatan positif di dalamnya
terpolarisasi (terpisah) pada kedua sisi konduktor sehingga menimbulkan
medan listrik di dalam Ei konduktor yang awahnya berlawanan dengan
medan listrik luar Eo sehingga jumlah medan listrik di dalam konduktor nol .
Dengan demikian jika muatan listrik merupakan bola pejal konduktor,
silinder konduktor dll, maka penerapan hukum Gauss untuk menghitung
medan listrik akan menghasilkan nilai yang berbeda dengan yang telah kita
hitung sebelumnya.
E=0
Eo
Ei
21. 41
2.19 Medan listrik E dari sebuah bola konduktor sejauh r
2.19 Variasi Medan listrik E dari sebuah bola konduktor
3.1 Hukum Gauss pada Bola Konduktor
a. Medan listrik di luar bola konduktor
Medan listrik di luar bola konduktor akan menghasilkan nilai yang sama
dengan bola pejal sebelumnya, yaitu :
b. Medan listrik di dalam bola konduktor
Medan listrik di dalam bola konduktor (dan semua konduktor) adalah nol
karena seluruh muatan diasumsikan berada dalam permukaan konduktor
sehiingga :
0
ε
Q
d
o
dlm
S
==⋅∫ AE , maka E = 0
Jika kita skesta dalam gafik maka akan kita dapatkan seperti bola berrongga
pada gambar 2.14 :
r
Permukaan
Gauss
Arah vektor dA
E
(20)
(21)
R
Turun kuadratik sesuai
persamaan (20)
r
E
2
o R
Q
4
1
E
πε
=
E=0
rE ˆ
r
Q
4
1
2
oπε
=
22. 42
SOAL-SOAL
1. Muatan garis dengan kerapatan muatan 4 µC/cm sepanjang 4 cm,
diletakkan dalam koordinat kartesius dari x = 0 hingga x = 4 hitunglah :
a. Muatan total dari garis
b. Medan listrik di x = 5 cm
c. Medan listrik di x = 250 m
2. Hitung medan listrik dari benda yang dianggap muatan titik dengan
muatan 16 µC sejauh 250 meter dan bandingkan hasilnya dengan nomor
1.d di atas
3. Hitunglah medan listrik dari sebuah garis bermuatan sepanjang 50 cm
dengan rapat muatan 15 µC/m pada jarak 20 cm pada arah sepanjang
garis seperti pada gambar :
4. Hitunglah medan listrik dari sebuah
garis bermuatan sepanjang 50 cm
dengan rapat muatan 5 µC/m pada
jarak 10 cm tegak lurus garis seperti
pada gambar :
5. Hitunglah medan listrik dari sebuah cincin bermuatan dengan jari-jari 5
cm dengan muatan 15 µC pada titik P sejauh 15 cm tegak lurus dari
pusat cincin
50 cm
20 cm
50 cm
10 cm
15 cm
5cm
P
23. 43
6. Hitunglah medan listrik dari sebuah cincin bermuatan dengan jari-jari 5
cm dengan muatan 15 µC di pusat cincin
7. Bola bermuatan 4 x 103 C berjari-jari 2 cm berada dalam medium udara.
Berapakah medan listrik yang ditimbulkannya pada jarak :
a. 4 cm dari pusat bola
b. 1 cm dari pusat bola
8. Bola konduktor bermuatan 4 x 103 C berjari-jari 2 cm berada dalam
medium udara. Hitunglah kuat medan listrik yang ditimbulkannya pada
jarak :
a. 4 cm dari pusat bola
b. 1 cm dari pusat bola
9. Hitunglah medan listrik di titik P dari sebentuk kawat bermuatan yang
terdiri dari dua kawat lurus identik dengan muatan masing-masing 15
µC yang dirangkai dengan kawat setengah lingkaran dengan muatan 15
µC seperti gambar di bawah ini
10. Sebuah cakram dengan jari 20 cm dengan kerapatan muatan terdistribusi
merata 2µC/cm2. Hitunglah kuat medan listrik sejauh 10 cm dari pusat
cakram.
11. Dua kawat panjang bermuatan 4µC/cm sepanjang 5 cm ditempatkan
secara sejajar seperti pada gambar. Hitunglah kuat medan lsitrik
a. Di tengah antara dua kawat
b. 2 cm di kiri kawat pertama
c. 2 cm di kanan kawat kedua
2 cm
14 cm
P
4 cm