matriks

1. 1
MATRIKS
•JENIS MATRIKS
•MATRIKS TRANSPOSE
•OPERASI MATRIKS
•DETERMINAN MATRIKS
•INVERS MATRIKS
•APLIKASI MATRIKS
SUPRIANTO, S.Si., M.Si., Apt.

2. 2
NAMA DESKRIPSI Contoh
MatriksBaris Matriks hanya dengan satu baris
MatriksKolom Matriks hanya dengan satu kolom
Matriks Bujursangkar Matriks yang jumlah baris dan
jumlah kolomnya sama
Matriks Nol Matriks yang semua elemennya
nol
 
4
1
2
3 






3
2






 7
1
4
2






0
0
0
0
TIPE MATRIKS

3. 3
Matriks Transpose
Definisi:
Transpose mariks A adalah matriks AT dengan kolom-
kolomnya adalah baris-baris dari A, baris-barisnya adalah
kolom-kolom dari A.
4 2 6 7
5 3 -9 7
A = AT = A’ =
4 5
2 3
6 -9
7 7
[AT]mxn = [A]nxm
Sifat-sifat transpose matriks
1.Transpose dari A transpose adalah A: (AT )T = A
2. (A+B)T = AT + BT
3.(kA)T = k(A) T
4.(AB)T = BT AT

4. 4
OPERASI MATRIKS
• Penambahan dan Pengurangan Matriks
Syarat : Dua matriks berordo sama dapat dijumlahkan dan
dikurangkan
Contoh :
























h
d
g
c
f
b
e
a
h
g
f
e
d
c
b
a




























4
1
5
2
1
4
1
3
5
3
6
1




















6
7
7
4
1
4
1
3
5
3
6
1

5. 5
Hasil kali skalar dengan matriks
5 6 1
7 2 3
A = 5A = =
5x5
5x7
5x6
5x2
5x1
5x3
25
35
30
10
5
15
• Definisi:
Jika matriks A berukuran m x r dan B berukuran r x n,
maka matriks hasil kali A dan B menjadi AB mempunyai
elemen-elemen yang didefinisikan sebagai berikut:
Perkalianmatriks dengan matriks
A B AB
m x r r x n m x n
=
x

6. 6
Contoh :
A xB = 2.1 +3.7+4.4+5.11 -35
-49 -35
-94 -55
94 -35
-49 -35
-94 -55
=
2 3 4 5
8 -7 9 -4
1 -5 7 -8
A =
1 2
7 -6
4 -9
11 3
B =
BxA = tidak dapat didefinisikan

7. 7
Matriks A = [aij] adalah matriks nxn, dan misalkan M adalah
matriks (n-1)x(n-1) yang diperoleh dari A dengan menghapus
baris ke i dan kolom ke j pada matriks A.
Determinan dari M disebut minor dari aij (selanjutnya
ditulis Mij). Sedangkan cij adalah kofaktor aij dan didefinisikan
sebagai:
MINORdan Kofaktor Matriks
cij = (-1)i+j det Mij

8. 8
Contoh :
2 1 -1
5 3 4
4 7 5
A=
Tentukan minor dan kofaktor dari a11dan a12 !
Penyelesaian:
2 1 -1
5 3 4
4 7 5
A= 3 4
7 5
M11 = = 3.5 – 7.4= – 13
2 1 -1
5 3 4
4 7 5
A= 5 4
4 5
M12 = = 5.5 – 4.4 = 9
c11 = (-1)1+1 (-13) = - 13
c12 = (-1)1+2 (9) = - 9

9. 9
Adjoin Matriks
cij adalah kofaktor dari aij
Jika terdapat matirks A = [aij], maka
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
A=
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
Ajoin A=
T
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
=

10. 10
Sifat-sifat determinan
i. Setiap matriks dan transposenya mempunyai determinan
yang sama atau det A = det AT
ii. Jika terdapat matriks A dan matriks B, maka berlaku
det(AB)=det (A) det (B)
iii. Determinan dari matriks segitiga adalah perkalian dari
diagonalnya.
det (A) = (a11.a22)
a11 0
a21 a22
=
a11 a12
0 a22
(A) =

11. 11
iv) Jika matriks B adalah matriks yang didapat dari
mempertukarkan dua buah baris matriks A,
maka determinan matriks B berlawanan dengan
determinan matriks A
Sifat-sifat determinan
B=
a21 a22
a11 a12
a11 a12
a21 a22
A =
det (A) = - det (B)

12. 12
v) Jika matriks dan c adalah konstanta, maka
a11 a12
a21 a22
A =
a11 a12
a21 a22
a) c
c.a11 c.a12
a21 a22
=
a11 a12
c.a21 c.a22
=
a11 a12
a21 a22
b)
a11 + c.a21 a12+c.a22
a21 a22
=
a11 a12
a21 + c.a11 a22+c.a12
=
vi) Jika seluruh elemen dari salah satu baris suatu matriks sama
dengan nol, maka determinan matriks tersebut sama dengan
nol.
det (A) = o
a11 a12
0 0
0 0
a21 a22
=
A =

13. 13
1. DeterminandenganAturan Sarrus
a11 a12
a21 a22
a31 a32
+ -
a11 a12
a21 a22
a11 a12
a21 a22
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
det (A) = (a11.a22) – (a12.a21)
+ -
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
A2 =
det (A) = (a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32 )– (a13.a22.a31 + a11.a23.a32 + a12.a21.a33)
det = Determinan matriks
A1 =
Determinan matriks

14. 14
Secara umum untuk menghitung determinan dari matriks orde
n x n adalah sebagai berikut. Jika A adalah matriks persegi n x n,
maka determinan dari matriks A adalah
det A = ai1 . c i1 + ai2 . c i2 + ...... ain . c in
( i = 1,2,3,...., atau n)
det A = a1j . c 1j + a2j . c 2j + ...... anj . c nj
( j = 1,2,3,...., atau n)
2. DeterminandenganAturan KOFAKTOR
Determinan matriks n x n
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
A=
c11 c12 c13
c21 c22 c23
c31 c32 c33
C=
cij = (-1)i+j det Mij

15. Tentukan determinan dari:
Contoh:
-4 1 5
0 2 3
3 4 7
A=
Penyelesaian:
Karena A adaah matriks 3 x 3, maka nilai i diambil
antara 1, 2, atau 3.
det A = ai1 . c i1 + ai2 . c i2 + ai3 . c i3
a11= -4, a12= 1; a13 = 5
cij = (-1)i+j det Mij
Determinan matriks n x n

16. 16
det A =(–4)(2)+(1)(9)+(5)(–6) = –8 + 9 – 30 = –29
-4 1 5
0 2 3
3 4 7
A=
cij = (-1)i+j det Mij
2 3
4 7
c11 = (-1)1+1 =(1)(2.7 – 4.3) = 2
-4 1 5
0 2 3
3 4 7
A=
0 3
3 7
c12 = (-1)1+2 =(-1)(0.7 – 3.3)= 9
-4 1 5
0 2 3
3 4 7
A=
0 2
3 4
c13 = (-1)1+3 =(1)(0.4 – 3.2) =-6
det A = a11.c11+a12.c12+a13.c 13
a11= -4, a12= 1; a13 = 5
Determinan matriks n x n

17. 17
3. Determinandengan mereduksibaris
Menghitung determinan dengan reduksi baris adalah
mereduksi matriks menjadi bentuk eselon baris atau
matriks segitiga dengan menerapkan sifat-sifat
determinan.
-4 1 5
0 2 3
3 4 7
A=
Contoh:Tentukan determinan dari matriks berikut
dengan cara reduksi baris
Determinan matriks n x n

18. 18
Penyelesaian:
R3 – 3R1
R3 – 19/8R2
-4 1 5
0 2 3
3 4 7
det (A)=
1 -1/4 -5/4
0 2 3
3 4 7
= (-4)
1 -1/4 -5/4
0 2 3
0 19/4 43/4
= (-4)
1 -1/4 -5/4
0 2 3
0 0 29/8
= (-4)
= (-4) (1) (2)(29/8)
= -29
Determinan matriks n x n

19. 19
INVERS MATRIKS
Matriks A:
Determinan A:
det (A) = ad - bc
a b
c d
A =
Invers matriks A:
Contoh : Tentukan invers matriks berikut :
-2 5
-7 17
A =
17 -5
7 -2
A-1 =
1
ad - bc
A-1 = d -b
-c a
1
(-2.17) – (-7.5)
A-1 = 17 - 5
7 - 2
1
ad - bc
A-1 = d -b
-c a
Dimana: ad – bc  0
1. Metode Sarus

20. 20
2. Metode Adjoin Matriks
Jika matriks A adalah matriks yang dapat dibalik, maka
1
det (A)
A-1 = A
adj
Contoh :
3 -2 5
2 1 2
3 0 4
Jika A= , tentukan A-1
INVERS MATRIKS nxn

21. 21
Penyelesaian:
3 -2 5
2 1 2
3 0 4
A=
1 2
0 4
c11 = (-1)1+1 =(1)(4 – 0) = 4
2 2
3 4
c12 = (-1)1+2 =(-1)(8 – 6) = -2
2 1
3 0
c13 = (-1)1+3 =(1)(0 – 3) = -3
-2 5
0 4
c21 = (-1)2+1 =(-1)(-8 – 0) = 8
INVERS MATRIKS nxn
cij = (-1)i+j det Mij

22. 3 5
3 4
c22 = (-1)2+2 =(1)(12 – 15) = -3
3 -2 5
2 1 2
3 0 4
A=
3 -2
3 0
c23 = (-1)2+3 =(-1)(0 –(-6)= -6
-2 5
1 2
c31 = (-1)3+1 =(1)(-4) –(5)= -9
3 5
2 2
c32 = (-1)3+2 =(-1)(6 –10) = -4
3 -2
2 1
c33 = (-1)3+3 =(1)(3 –(-4) = 7
INVERS MATRIKS nxn
cij = (-1)i+j det Mij

23. 23
4 -2 -3
8 -3 -6
-9 -4 7
Adjoin A=
T 4 8 -9
-2 -3 -4
-3 -6 7
=
det (A) =(3)(4)+(-2)(-2)+(5)(-3) = 12+ 4 - 15 = 1
3 - 2 5
2 1 2
3 0 4
A=
4 -2 -3
8 -3 -6
-9 -4 7
c=
INVERS MATRIKS nxn

24. 24
INVERS MATRIKS nxn
1
det (A)
A-1 = A
adj
4 8 -9
-2 -3 -4
-3 -6 7
=
Adjoin A
A-1 =
det (A)
4 8 -9
-2 -3 -4
-3 -6 7
=
1

25. 25
3. Operasi baris elementer (OBE)
INVERS MATRIKS nxn
Untuk menentukan balikan (invers) dari matriks A yang dapat
dibalik dengan menggunakan metode Operasi Baris Elementer,
kita harus melakukan sejumlah operasi baris elementer untuk
mereduksi A menjadi matriks identitas dan melakukan opersi
yang sama terhadap In untuk memperoleh A-1.
Langkah penyelesaian
1. Gabungkan matriks identitas ke sebelah kanan A
[ A | I ]
2. Lakukan operasi baris elementer, sehingga [ A | I ]menjadi
[ I | A-1]

26. 26
INVERS MATRIKS nxn
Tentukan balikan dari matriks berikut dengan
menggunakan operasi baris elementer.
Contoh :
Penyelesaian
1/3 R1
3 -2 5
2 1 2
3 0 4
A=
3 -2 5
2 1 2
3 0 4
(A)(I)=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 -2/3 5/3
2 1 2
3 0 4
=
1/3 0 0
0 1 0
0 0 1
R2 –2R1
R3 –3R1

27. 27
INVERS MATRIKS nxn
1 -2/3 5/3
0 7/3 -4/3
0 2 -1
(A)(I)=
1/3 0 0
-2/3 1 0
-1 0 1
3/7 R2
R1 + 2/3R2
R3 – 2R2
1 -2/3 5/3
0 1 -4/7
0 2 -1
=
1/3 0 0
-2/7 3/7 0
-1 0 1
1 0 9/7
0 1 -4/7
0 0 1/7
=
1/7 2/7 0
-2/7 3/7 0
-3/7 -6/7 1 7R3

28. 28
INVERS MATRIKS nxn
1 0 9/7
0 1 -4/7
0 0 1
(a)(I)=
1/7 2/7 0
-2/7 3/7 0
-3 -6 7
R1 – 9/7R3
R2 + 4/7R3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
=
4 8 -9
-2 -3 4
-3 -6 7
Maka A-1 =
4 8 -9
-2 -3 4
-3 -6 7

29. 29
APLIKASI MATRIKS nxn
1. Aturan Cramer dapat digunakan untuk
penyelesaian 3 x 3 system.
ax + by + cz = j
dx + ey + fz = k
gx + hy + iz = l
det (A)
X =
j b c
k e f
l h i
det (A)
y =
a j c
d k f
g l i
det (A)
z =
a b j
d e k
g h l
a b c
d e f
g h i
A=
det (A)
Xk =
det (Ak)
k = 1,2,3,……,n

30. 30
APLIKASI MATRIKS nxn
• Contoh : Selesaikan SPL berikut !
2 8 6
4 2 – 2
3 - 1 1
det (A) = = 4 – 48 - 24 -36 -32 – 4 = -140
2 0 8 6
- 2 2 – 2
11 - 1 1
det (A1) = = 40 – 176 +12-132+16-40 = -280
Penyelesaian :
2 20 6
4 - 2 – 2
3 11 1
det (A2) = = -40 – 120 +264+36-80+44 = 140
2 8 20
4 2 – 2
3 -1 11
det (A3) = = 44 – 48 – 80 -120 -352 -4 = - 560
2x1 + 8x2 + 6x3 = 20
4x1 + 2x2 – 2x3 = -2
3x1 - x2 + x3 = 11

31. 31
APLIKASI MATRIKS nxn
det (A)
Xk =
det (Ak)
det (A)
X1=
det (A1)
-140
X1= = 2
-280
det (A)
X2=
det (A2)
-140
X2= = -1
140
det (A)
X3=
det (A3)
-140
X3= = 4
-560

32. 32
APLIKASI MATRIKS nxn
2. Menggunakan invers matriks
• Bila Det(A)≠ 0, maka A-1 ada
• AX = B
• A-1.AX = A-1.B
• Jadi : X = A-1 penyelesaian sistem ini.
• Catatan :
• Bila m=n dan Det(A) = 0, maka sistemnya
mempunyai tak berhingga banyak penyelesaian.
• Contoh : selesaikan SPL berikut dengan
menggunakan invers matriks !
2x1 + 8x2 + 6x3 = 20
4x1 + 2x2 – 2x3 = -2
3x1 - x2 + x3 = 11

33. 33
APLIKASI MATRIKS nxn
Penyelesaian:
2 8 6
4 2 -2
3 -1 1
A=
2 -2
-1 1
c11 = (-1)1+1 =(1)(2 – 2) = 0
4 -2
3 1
c12 = (-1)1+2 =(-1)(4 + 6) = -10
4 2
3 -1
c13 = (-1)1+3 =(1)(-4 – 6) = -10
8 6
-1 1
c21 = (-1)2+1 =(-1)(8 +6) = -14
cij = (-1)i+j det Mij

34. 34
2 6
3 1
c22 = (-1)2+2 =(1)(2 – 18) = -16
2 8 6
4 2 -2
3 -1 1
A=
2 8
3 -1
c23 = (-1)2+3 =(-1)(-2 –24)= 26
8 6
2 -2
c31 = (-1)3+1 =(1)(-16 –12) = -28
2 6
4 -2
c32 = (-1)3+2 =(-1)(-4 –24) = 28
2 8
c33 = (-1)3+3 =(1)(4 –32) = -28
cij = (-1)i+j det Mij
APLIKASI MATRIKS nxn

35. 35
2 8 6
4 2 -2
3 -1 1
A=
0 -10 -10
-14 -16 26
-28 28 -28
c=
det (A) =(2)(0)+(8)(-10)+(6)(-10)
= 0-80 - 60 = -140
0 -10 -10
-14 -16 26
-28 28 -28
cT =
T
Matriks Adjoint (A):
0 -14 -28
-10 -16 28
-10 26 -28
=
1
det (A)
A-1 = A
adj
1
- 140
A-1 =
0 -14 -28
-10 -16 28
-10 26 -28
APLIKASI MATRIKS nxn

36. 36
2x1 + 8x2 + 6x3 = 20
4x1 + 2x2 – 2x3 = -2
3x1 - x2 + x3 = 11
2 8 6
4 2 -2
3 -1 1
x1
x2
x3
20
-2
11
A X = B
X = A-1.B
x1
x2
x3
=
1
- 140
0 -14 -28
-10 -16 28
-10 26 -28
20
-2
11
x1
x2
x3
=
2
-1
4
1
- 140
x1
x2
x3
0.20+ (-14)(-2)+(-28).11
-10.20+(-16)(-2)+ 28.11
-10.20+26.(-2)+(-28)11
=
APLIKASI MATRIKS nxn