Materi Matematika Determinan - Bagaimana Menghitung Determinan Matriks ? Sebuah matriks agar dapat dihitung determinannya memiliki syarat yaitu harus merupakan matriks persegi.

1. 1
DETERMINAN

2. DETERMINAN
Untuk setiap matriks persegi A dengan elemen-elemen bilangan real,
terdapat tepat satu nilai yang berhubungan dengan matriks tersebut.
Satu nilai real ini disebut determinan.
Determinan dari matriks A ditulis det(A) atau |A|.
A =








52
43
Det(A) = -7. B =












413
112
221
|B| = 25
C =
















1301
2110
2211
3112
Det(C) = 0
Bagaimana menghitung nilai determinan ?

3. Cara menghitung determinan :
1. Definisi determinan
2. Sifat-sifat determinan
3. Ekspansi minor dan kofaktor
4. Kombinasi cara 2 dan 3
Determinan : produk (hasil kali) bertanda dari unsur-unsur matriks
sedemikian hingga berasal dari baris dan kolom yang berbeda,
kemudian hasilnya dijumlahkan.
MELALUI DEFINISI DETERMINAN
A =






2221
1211
aa
aa
Det(A) = a11 a22 – a12 a21
Bagaimana menentukan banyaknya suku ?
Bagaimana menentukan tanda + dan – tiap suku ?
Yaitu dengan cara permutasi (n!)

4. Urutan natural (asli) : 1 2 3 4 5 6 . . .
A =










333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
Produk yg berasal dari baris dan kolom yg berbeda :
a11 a22 a33
a11 a23 a32
a12 a23 a31
a12 a21 a33
a13 a21 a32
a13 a22 a31
Perhatikan, indeks baris sudah dalam urutan natural, indeks kolom
belum. Tanda + atau – ditentukan banyaknya langkah (transposisi) yg
membawa indeks kolom ke urutan natural. Jika genap +, jika ganjil (-)
negatif; atau tandanya adalah (-1)t, dengan t banyaknya transposisi.
Indeks kolom 1 2 3, sudah urut. Tidak ada transposisi.
Indeks kolom 1 3 2, belum urut. Satu kali pindah. 1 2 3
= a11 a22 a33 – a11 a23 a32
Indeks kolom 2 3 1, belum urut. Dua kali pindah. 1 3 2 dan 1 2 3
+ a12 a23 a31
Indeks kolom 2 1 3, belum urut. Satu kali pindah. 1 2 3
– a12 a21 a33
Indeks kolom 3 1 2, belum urut. Dua kali pindah. 2 1 3 dan 1 2 3
+ a13 a21 a32
Indeks kolom 3 2 1, belum urut. Satu kali pindah. 1 2 3
– a13 a22 a31
|A|

5. A =














44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
Det(A) = ? Jumlah dari 4! = 24 suku, dengan tiap suku
terdiri dari empat faktor.
Catatan : Khusus determinan dimensi 3, bisa pakai aturan SARRUS
Det(A) =
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
3231
2221
1211
aa
aa
aa
+
= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32
–
– a13 a22 a31 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33

6. |A| =
24
37

= 26
|B| =
211
011
312



= – 6
|C| =
1111
0101
0121
1121

= 0
Dengan bantuan sifat determinan,
membantu memudahkan menghitung
nilai determinan.

7. Submatriks / matriks bagian :
Matriks yang diperoleh dengan menghilangkan beberapa baris
dan/atau beberapa kolom dari suatu matriks
A =













5873
1206
5213
Menghilangkan baris pertama diperoleh submatriiks : 







5873
1206
Menghilangkan baris kedua dan kolom ketiga diperoleh submatriks :








573
513
dan sebagainya.

8. Minor dan Kofaktor
Andaikan A berdimensi n, determinan dari submatriks yg berdimensi (n-1)
disebut minor.
Mij : minor dari submatriks dng menghilangkan baris ke i kolom ke j.
Andaikan A =
a11
a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
M11 = a22 a23
a32 a33
= a22 a33 – a23 a32
M32 =
a11 a13
a21 a23
= a11a23 – a13a21
Untuk matriks A berdimensi 3
tersebut ada berapa minor ?
Matriks tersebut mempunyai 9 minor

9. Kofaktor
Kofaktor yang berhubungan dengan minor Mij adalah Kij = (-1)i+j Mij.
A =












112
431
112
K11 = (-1)1+1 M11 = (-1)2
11
43

= 1 (7) = 7
K12 = (-1)1+2 M12 = (-1)3
12
41

= (-1) (9) = -9
K13 = (-1)4 M13 = M13 =
12
31

= 5
K21 = (-1)3 M21 = - M21 = -
11
11

 = 0
K22 = M22 = 0
K23 = - M23 = 0
K31 = M31 = 7
K32 = - M32 = - 9
K33 = M33 = 5

10. Menghitung determinan dengan ekspansi
kofaktor (Ekspansi Laplace (n ≥ 3))
Nilai determinan adalah jumlah perkalian
elemen-elemen dari sebarang baris atau kolom
dengan kofaktor-kofaktornya.

11. A =










333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
Menghitung determinan dengan ekspansi kofaktor :
Ekspansi melalui baris pertama :
Det(A) = a11K11 + a12K12 + a13K13
Atau ekspansi melalui baris ketiga :
Det(A) = a31 K31 + a32 K32 + a33 K33
Atau ekspansi melalui kolom ke dua :
Det(A) = a12K12 + a22K22 + a32K32
Dan sebagainya.

12. + - + - + … …
- + - + - … …
+ - + - + … …
- + - + - … …
dst., dst.
TANDA TEMPAT PADA KOFAKTOR ( – atau + )

13. Dengan ekspansi kofaktor, hitung determinan :
B =












411
113
121
Andaikan dilakukan ekspansi melalui baris kedua :
Det(B) = b21 K21 + b22 K22 + b23 K23 K21 = - M21 = -
41
12
= 9
K22 = M22 = 3
K23 = - M23 = - 3
Det(B) = (3)(9) + (1)(3) + (-1) (-3)
Det(B) = 33
Atau jika dikerjakan dengan ekspansi melalui kolom ketiga :
Det(B) = b13 K13 + b23 K23 + b33 K33 K13 = M13 = 2
K23 = - M23 = - 3
K33 = M33 = 7
Det(B) = (1)(2) + (-1)(-3) + (4)(7)
Det(B) = 33

14. SIFAT-SIFAT DETERMINAN
1. Determinan dari matriks dan transposenya adalah sama; |AT| = |A|
|A| =
24
37

= 26 |AT| =
23
47 
= 26
Akibatnya :
semua sifat determinan berlaku secara baris / dan secara kolom.
2. Matriks persegi yang mempunyai baris (kolom) nol, determinannya nol (0).
det(B) =
567
000
312 
= 0 det(C) =
087
056
022


= 0

15. 3. Determinan dari suatu matriks persegi A yang salah satu baris (kolom)
dikalikan dengan skalar k, maka determinannya berubah menjadi k A
|A| =
43
12


|A| = 5
Jika baris kedua
dikalikan dengan 7 2821
12


= 35 = 7 |A|
Akibat sifat ini :
2821
12


= 7
43
12

 = 7 (5) = 35
Suatu determinan jika salah satu baris (kolom) mempunyai
faktor yang sama, maka sudah dapat difaktorkan.
211
121
1269
 = 3
211
121
423

2121
183
142



= 4
231
123
112




16. 4. Determinan suatu matriks yang salah satu baris (kolom) nya ditukar dengan
baris (kolom) yang lain, maka nilai determinan matriks tersebut berubah
menjadi negatip determinan semula.
32
57 
= 31 Baris pertama ditukar baris kedua
57
32

= – 31
5. Determinan dari suatu matriks persegi yang mempunyai dua baris (kolom)
yang sama adalah sama dengan 0 (nol).
27
27

 = 0
303
232
111


= 0

17. 6. Determinan dari suatu matriks persegi yang salah satu barisnya (kolomnya)
merupakan kelipatan dari baris (kolom) yang lain adalah sama dengan 0 (nol).
|B| =
1121
3161
2241
1121




Karena kolom ke dua kelipatan kolom ke empat, |B| = 0
7. Determinan dari matriks persegi A = (aij) berdimensi n yang baris ke -i
(kolom ke-j) terdiri dari elemen-elemen yang dapat diuraikan menjadi dua
suku binomium, maka determinannya sama dengan determinan A yang
baris ke-i (kolom ke-j) diganti dengan suku binomium yang pertama
ditambah determinan A yang baris ke-i (kolom ke-j) diganti dengan
suku yang kedua.
69
58
69
1435  =
69
45
+
69
13
645
535

 =
65
55
+
64
53

18. 8. Determinan suatu matriks persegi tidak berubah nilainya jika salah satu baris
(kolom) ditambah dengan kelipatan baris (kolom) yang lain.
41
32

= 11
Jika k2 + 3k1
11
92

= 11
Jika b1 – b2
41
13

 = 11
Sifat ke 8 ini sering dipakai untuk
menyederhanakan baris (kolom),
sebelum menghitung nilai determinan
9. Determinan dari matriks segitiga adalah sama dengan produk (hasil kali)
elemen-elemen diagonalnya.
500
310
273


= (3)(-1)(5) = - 15
1300
0411
0020
0003



= (-3)(-2)(4)(1) = 24

19. Strategi menghitung determinan :
1. Gunakan kombinasi beberapa metode (definisi, sifat, ekspansi kofaktor).
2. Pilih ekspansi melalui baris atau kolom yang paling sederhana.
3. Gunakan sifat ke 8 untuk membuat unsur-unsur pada baris/kolom
yang dipilih sebanyak mungkin menjadi nol.
4. Ulangai langkah 1, dan seterusnya.
CATATAN:
- Jika nilai determinan dari suatu matriks adalah 0 (nol), maka
matriks tersebut merupakan matriks singular
- SEBALIKNYA, Jika nilai determinan dari suatu matriks adalah
bukan 0 (nol), maka matriks tersebut merupakan matriks
singular

20. Gunakan sifat determinan untuk menghitung :
112
453
221



b2 + 3b1
112
210
221



b3 – 2 b1
330
210
221



b3 + 3 b2
300
210
221


= (1)(-1)(3) = - 3
Petunjuk umum : Gunakan sifat ke 8, untuk mereduksi matriks menjadi
matriks segitiga; kemudian gunakan sifat ke 9

21. Hitung determinan dari : E =













245
111
312
Dikerjakan dengan ekspansi melalui baris ke dua :
|E| =
245
111
312



K2 + K1
295
101
332


K3 – K1
795
001
532


|E| = e21 K21 + e22 K22 + e23 K23
|E| = e21 K21 + 0 + 0
|E| = (1) (-24) = - 24
K21 = - M21 = - {(3)(-7) – (-5)(9)} = - 24

22. Berapakah determinan dari F =













211
540
231
Dipilih ekspansi melalui kolom pertama :
|F| =
211
540
231



B3 + B1
420
540
231



Det(F) = f11 C11 = (1) (6) = 6

23. Berapakah determinan dari G =

















1023
1121
4132
3112
Dipilih ekspansi melalui kolom ke tiga :
Det(G) =
1023
1121
4132
3112



B2 + B1
1023
1121
7040
3112


B3+B1
1023
4033
7040
3112


Det(G) = g13 C13 = g13 M13 = (-1)
123
433
740

B3 – B2
550
433
740

(-1)
Det(G) = (-1) g21 C21 = (-1) g21 (- M21) = g21 M21 = (3) {(4)(-5) – (7)(-5)}
Det(G) = (3) (15) = 45.

24. |A| =
24
37

= 26
|B| =
211
011
312



= – 6
|C| =
1111
0101
0121
1121

= 0 K3=K1 (sifat ke 5)
Ekspansi B2,Menggunakan sifat ke 8 untuk
mengubah b22 menjadi nol, kemudian cari
determinan menggunakan laplace
Menggunakan sifat ke 4 (B2 mempunyai FPB yaitu
2)

25. Tentukan Determinan dari matriks berikut!
SILAHKAN KERJAKAN SOAL DI BAWAH
INI











341
432
321
A












521
142
461
B









 

321
430
311
C

26. Matriks kofaktor :
Matriks yang anggota-anggotanya berupa kofaktor suatu matriks.
A =






54
23 K11 = M11 = -5
K12 = - M12 = - 4
K21 = - M21 = - 2
K22 = M22 = 3
Jadi matriks kofaktor dari A adalah : K =






2221
1211
KK
KK
= 







32
45
Matriks adjoint :
Transpose dari matriks kofaktor.
Adj (A) = KT =








34
25






2212
2111
KK
KK
=

27. Hitung (a) adjoint dari matriks A, (b) determinan matriks A
A =












201
112
321 K11 = M11 = 2
K12 = -M12 = - 5
K13 = M13 = - 1
K21 = -M21 = 4
K22 = M22 = -1
K23 = -M23 = -2
K31 = M31 = -1
K32 = -M32 = 7
K33 = M33 = 5
(a) adj(A) = KT =
T
KKK
KKK
KKK










333231
232221
131211
=










332313
322212
312111
KKK
KKK
KKK
=













521
715
142
(b) Det(A) = a11 K11 + a12 K12 + a13 K13 = (1)(2) + (-2)(-5) + (3)(-1) = 9
A adj(A) = ?












201
112
321













521
715
142
=










900
090
009
= |A| I= 9










100
010
001

28. Adj(A) A = ?













521
715
142












201
112
321
=










900
090
009
= 9










100
010
001
= |A| I
Sifat :
1. A adj(A) = adj(A) A = det(A) I
2. adj(AB) = adj(B) adj(A)

29. Invers Matriks
Definisi :
 Misalkan A dan B adalah dua matriks yang
berordo 2 × 2 dan memenuhi persamaan
 AB = BA = I
 maka matriks A adalah matriks invers dari matriks
B atau matriks B adalah matriks invers dari
matriks A
 Contoh:
 Apakah AB=BA=I??





 

25
13
A 




 

35
12
B

30. Metode
mencari
INVERS
MATRIKS
Definisi invers
matriks
Operasi baris
elementer
.

31. Invers Matriks
Definisi :
Kebalikan (invers) A-1 dari matriks bujur sangkar
non sigular A = (aij) sama dengan adjoint A dibagi
dengan determinan A.
Tidak semua matriks bujur sangkar mempunyai
invers.
A
Aadj
A
)(1

Matriks yang mempunyai invers ( ) disebut
matrik non-singular, matriks yang tidak
mempunyai invers( ) disebut matriks singular

32. Tentukan Invers dari Matriks A !
A =












201
112
321 K11 = M11 = 2
K12 = -M12 = - 5
K13 = M13 = - 1
K21 = -M21 = 4
K22 = M22 = -1
K23 = -M23 = -2
K31 = M31 = -1
K32 = -M32 = 7
K33 = M33 = 5
 adj(A) = KT =
T
KKK
KKK
KKK










333231
232221
131211
=










332313
322212
312111
KKK
KKK
KKK
=













521
715
142
 = a11 K11 + a12 K12 + a13 K13 = (1)(2) + (-2)(-5) + (3)(-1) = 9
Contoh
A
Aadj
Amaka
)(
, 1

)( 1
A
A
=













521
715
142
9
1
=



















9
5
9
2
9
1
9
7
9
1
9
5
9
1
9
4
9
2

33. Metode mencari Invers Matriks
 Operasi Baris Elementer (OBE)
A I dengan menggunakan OBE menjadi
 Operasi baris elementer yaitu dengan cara
1. Menukarkan baris satu dengan baris lainnya
2. Mengalikan suatu baris dengan knstanta (c)
3. Menjumlahkan atau mengurangkan baris satu
ke baris yang lain
1
IA
























1
33
1
32
1
31
1
23
1
22
1
21
1
13
1
12
1
11
333231
232221
311211
100
010
001
100
010
001
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa

34. Contoh
 Carilah Invers dari Matriks A













201
112
321
A


























1
33
1
32
1
31
1
23
1
22
1
21
1
13
1
12
1
11
100
010
001
100
010
001
201
112
321
aaa
aaa
aaa

35.  












 122
100
010
001
201
112
321
BB
 















 221
101
0
5
1
5
2
001
120
5
7
10
321
BB
 


















 3
3
7
2
9
5
9
2
9
1
0
5
1
5
2
0
5
2
5
1
100
5
7
10
5
1
01
BB
 












 13
000
012
001
201
750
321
BB
















2
5
1
101
012
001
120
750
321
B
 



















  223
101
0
5
1
5
2
0
5
2
5
1
120
5
7
10
5
1
01
BB



















3
9
5
1
5
2
5
1
0
5
1
5
2
0
5
2
5
1
5
9
00
5
7
10
5
1
01
B
 


















 3
5
1
1
9
5
9
2
9
1
9
7
9
1
9
5
0
5
2
5
1
100
010
5
1
01
BB



















9
5
9
2
9
1
9
7
9
1
9
5
9
1
9
4
9
2
100
010
001

36. Apakah matriks berikut mempunyai invers?
Jika kemungkinan ada, maka Tentukan inversnya!
SILAHKAN KERJAKAN SOAL DI BAWAH
INI











341
432
321
A












521
142
401
B









 

321
130
311
C













301
131
320
D

37. MATERI MINGGU DEPAN
“MENYELESAIKAN SISTEM
PERSAMAAN LINEAR” DENGAN
MENGGUNAKAN:
1. METODE CRAMER
2. METODE AUGMENTED MATRIKS
3. METODE GAUSS
4. NILAI EIGEN