Dokumen ini membahas operasi-operasi dasar pada matriks seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian bilangan real dengan matriks, perkalian matriks, determinan, minor, kofaktor, adjoint, dan invers matriks. Juga dibahas penyelesaian persamaan linier menggunakan matriks.

1. MEDIA MENGAJAR
UNTUK SMA/MA KELAS XI
MATEMATIKA
TINGKAT LANJUT

2. OPERASI MATRIKS
BAB 2
Sumber gambar: Shutterstock.com

3. 2.1 Operasi pada Matriks
Matriks adalah sekelompok bilangan yang disusun berbentuk persegi
panjang atau persegi. Anggota yang ditulis mendatar disebut baris dan
yang ditulis menurun disebut kolom yang semua anggotanya terletak
di dalam suatu tanda kurung.

4. Jika diberikan matriks A = 𝑎𝑖𝑗 dan matriks B = 𝑏𝑖𝑗, maka
A + B = C dengan ordo A = ordo B
Penjumlahan Matriks
Ordo C = ordo A = ordo B.
Dua matriks dapat dijumlahkan jika ordo kedua matriks
tersebut sama. Bentuk operasinya adalah dengan
menjumlahkan elemen-elemen yang seletak pada kedua
matriks tersebut.

5. Contoh
3 4
7 6
+
5 9
4 7
=
3 + 5 4 + 9
7 + 4 6 + 7
=
8 13
11 13
a.
b.
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
𝑒 𝑓
+
𝑝 𝑞
𝑟 𝑠
𝑡 𝑢
=
𝑎 + 𝑝 𝑏 + 𝑞
𝑐 + 𝑟 𝑑 + 𝑠
𝑒 + 𝑡 𝑓 + 𝑢

6. Telah kita ketahui bahwa setiap matriks mempunyai lawan, maka dapat kita tulis
𝐴 + (−𝐵) sebagai 𝐴 − 𝐵. Dengan kata lain, matriks A dikurang matriks B
didefinisikan sebagai matriks A ditambah dengan lawan dari matriks B.
Pengurangan Matriks
𝐴 − 𝐵 = 𝐴 + (−𝐵)

7. Matriks 𝑘𝐴 adalah suatu matriks yang elemen-elemennya merupakan hasil kali dari 𝑘
dengan elemen-elemen matriks A. Misalkan:
Perkalian Bilangan Real dengan Matriks
𝑀 =
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
2𝑀 = 2
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
=
2𝑎 2𝑏
2𝑐 2𝑑
Dapat disimpulkan bahwa jika 𝑘 adalah bilangan real, maka:
𝑘
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
=
𝑘𝑎 𝑘𝑏
𝑘𝑐 𝑘𝑑

8. A. Syarat perkalian matriks
Matriks A (matriks di sisi kiri) dan matriks B (matriks di sisi kanan) dapat dikalikan,
jika matriks A berordo 𝑚 × 𝑛 dan matriks B berordo 𝑛 × 𝑝 . Hasil kali matriks 𝐴 × 𝐵
adalah matriks berordo 𝑚 × 𝑝.
Perkalian Matriks
𝐴 × 𝐵 = 𝐶
𝑚 × 𝑛 𝑛 × 𝑝 = 𝑚 × 𝑝
sama

9. B. Matriks satuan (identitas)
Contoh
Jika matriks 𝐴 =
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
dan 𝐼 =
1 0
0 1
, maka:
𝐴𝐼 =
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
1 0
0 1
=
𝑎 + 0 0 + 𝑏
𝑐 + 0 0 + 𝑑
=
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
𝐼𝐴 =
1 0
0 1
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
=
𝑎 + 0 𝑏 + 0
0 + 𝑐 0 + 𝑑
=
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
𝐴𝐼 = 𝐼𝐴 dan hasil kalinya adalah matriks A. Demikian pula jika sembarang matriks
yang berordo 2 × 2 dikalikan dengan matriks 𝐼2 (matriks satuan berordo 2 × 2 ),
hasil kalinya adalah matriks itu sendiri.

10. 2.2 Determinan dan Invers Matriks Persegi Ordo 𝟐 × 𝟐
Jika matriks A dan B adalah matriks yang berordo 2 × 2 dikalikan menjadi 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 = 𝐼,
maka B adalah invers dari A dan A adalah invers dari B.
𝐴−1 =
1
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
𝑑 −𝑏
−𝑐 𝑎
Dalam hal ini (𝑎𝑑 − 𝑏𝑐) disebut determinan matriks A dan dinotasikan dengan 𝐴 .

11. 2.3 Persamaan Matriks Berbentuk 𝑨𝑿 = 𝑩 dan 𝑿𝑨 = 𝑩
Untuk menyelesaikan persamaan matriks berbentuk 𝐴𝑋 = 𝐵 dan 𝑋𝐴 = 𝐵 dapat
dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut.
𝐴𝑋 = 𝐵 𝑋𝐴 = 𝐵
𝐴−1
𝐴𝑋 = 𝐴−1
𝐵
(𝐴−1𝐴)𝑋 = 𝐴−1𝐵
𝐼𝑋 = 𝐴−1
𝐵
𝑋 = 𝐴−1𝐵
(𝑋𝐴)𝐴−1
= 𝐵𝐴−1
𝑋(𝐴𝐴−1) = 𝐵𝐴−1
𝑋𝐼 = 𝐵𝐴−1
𝑋 = 𝐵𝐴−1

12. Contoh
Tentukan matriks 𝑋 orde 2 × 2 yang memenuhi persamaan
1 2
−1 3
𝑋 =
4 2
1 3
Jawab:
1 2
−1 3
𝑋 =
4 2
1 3
⇔ 𝑋 =
1 2
−1 3
4 2
1 3
−1
𝑋 =
1
3 − (−2)
3 −2
1 1
4 2
1 3
𝑋 =
1
5
10 0
5 5
𝑋 =
2 0
1 1
.

13. 2.4 Determinan dan Invers Matriks Persegi Ordo 𝟑 × 𝟑
(Pengayaan)
Determinan Matriks Persegi Ordo 𝟑 × 𝟑
𝐴 =
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
Determinan dari matriks 𝐴 adalah 𝐴 =
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝐴 =
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
𝑎31 𝑎32
+
+
+ - - -
𝐴 = 𝑎11𝑎22 𝑎33 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 + 𝑎13 𝑎21 𝑎32 − 𝑎13 𝑎22 𝑎31 − 𝑎11 𝑎23 𝑎32 − 𝑎12 𝑎21 𝑎33.
Cara Sarrus

14. Contoh
Diketahui matriks B =
3 −2 1
−2 1 1
−1 −2 1
tentukan 𝐵 .
Jawab:
𝐵 =
−1 2 3
4 5 −1
−2 0 1
−1 2
4 5
−2 0
= −1 5 1 + 2 −1 −2 + 3 4 0 − 3 5 −2 − −1 −1 0 − (2)(4)(1)
= −5 + 4 + 0 + 30 − 0 − 8
= 20

15. Jika dalam suatu determinan A elemen-elemen dari baris ke-𝑖 dan kolom ke-𝑗
dihilangkan, maka determinan yang tertinggal disebut minor dari determinan A dan
dinyatakan dengan 𝑀𝑖𝑗. Kofaktor dari determinan A dinyatakan dengan 𝛼𝑖𝑗 di
mana:
Minor dan Kofaktor
𝛼𝑖𝑗 = −1 𝑖+𝑗
𝑀𝑖𝑗

16. Misalkan 𝐴 =
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
Minor untuk 𝑎11 adalah 𝑀11 =
𝑎22 𝑎23
𝑎32 𝑎33
Kofaktor untuk 𝑎11 adalah 𝛼11 = (−1)1+1
𝑀11 = 𝑀11
analog, 𝛼21 = (−1)2+1
𝑀21 = −𝑀21.
Contoh

17. Jika A = (𝑎𝑖𝑗) adalah suatu matriks persegi ordo 3 × 3 dengan elemen-elemen 𝑎𝑖𝑗
dan kofaktor 𝑎𝑖𝑗, didefinisikan adjoint A adalah:
Adjoint dari Suatu Matriks Persegi Ordo 𝟑 × 𝟑
Adj A=
𝛼11 𝑎21 𝑎31
𝑎12 𝑎22 𝑎32
𝑎13 𝑎23 𝑎33
𝑎𝑑𝑗 𝐴
𝐴
× 𝐴 = 𝐼

18. Contoh
Tentukan adj A jika A =
1 1 3
2 3 2
3 3 4
Jawab:
𝛼11 = (−1)1+1
𝑀11 = 6
𝛼12 = (−1)1+2
𝑀12 = −2
𝛼13 = (−1)1+3
𝑀13 = −3
𝛼21 = (−1)3
𝑀21 = 1
𝛼22 = (−1)4
𝑀21 = −5
𝛼23 = (−1)5
𝑀21 = 3
𝛼31 = (−1)4
𝑀31 = −5
𝛼32 = (−1)5
𝑀32 = 4
𝛼33 = (−1)6
𝑀33 = −1
Jadi, adj A =
6 1 −5
−2 −5 4
−3 3 −1
.

19. Invers Matriks Persegi Ordo 𝟑 × 𝟑
Jika A dan B adalah suatu matriks persegi ordo 3 × 3, di mana berlaku 𝐴𝐵 = 𝐼 = 𝐵𝐴,
maka 𝐴−1 = 𝐵 atau 𝐵−1 = 𝐴 dengan demikian 𝐴𝐴−1
= 𝐼
𝐴 × 𝑎𝑑𝑗 𝐴 = 𝐴 𝐼 ⇔ 𝐴 ×
𝑎𝑑𝑗 𝐴
𝐴
= 𝐼.
Jadi, 𝐴−1 =
𝑎𝑑𝑗 𝐴
𝐴

20. 1. Jika 𝐴 adalah matriks yang mengandung sebaris bilangan nol dan 𝐵 adalah
matriks yang mengandung sekolom bilangan nol, berlaku 𝐴 = 𝐵 = 0.
2. Jika 𝐴 adalah matriks segitiga atas dan 𝐵 adalah matriks segitiga bawah,
maka 𝐴 dan 𝐵 adalah hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama, yakni
𝐴 = 𝐵 = 𝑎11 𝑎22 … 𝑎𝑛𝑛
Sifat-Sifat Determinan Matriks

21. 3. Misalkan 𝐵 adalah matriks yang dihasilkan dari perkalian matriks segitiga atas
atau segitiga bawah matriks 𝐴 dengan konstanta 𝑘, di mana 𝐴 dan 𝐵 merupakan
matriks persegi berordo 𝑛 × 𝑛, berlaku 𝐵 = 𝑘𝑛 𝐴 .
4. Jika elemen-elemen pada satu baris atau satu kolom pada suatu matriks 𝐴 sama
identik dengan baris atau kolom lainnya, berlaku 𝐴 = 0 .
5. Jika matriks 𝐵 mempunyai salah satu baris atau kolom kelipatan 𝑘 dengan baris
atau kolom yang bersesuaian pada matriks 𝐴, berlaku 𝐵 = 𝑘 𝐴 .

22. 6. Misalkan 𝐵 adalah matriks yang dihasilkan dari pertukaran dua baris atau pertukaran
dua kolom dalam matriks 𝐴, berlaku 𝐴 = − 𝐵 .
7. Misalkan 𝐵 adalah matriks yang dihasilkan dari kelipatan salah satu baris atau kolom
pada matriks 𝐴, kemudian ditambahkan ke baris atau kolom lain pada matriks 𝐴,
berlaku 𝐴 = 𝐵 .
8. Misalkan 𝐵 adalah transpos dari matriks 𝐴 atau sebaliknya, berlaku 𝐴 = 𝐵 .

23. 9. Misalkan 𝐴, 𝐵, dan 𝐶 adalah matriks persegi yang mempunyai (𝑛 – 1) baris atau
kolom yang sama identik dengan matriks lainnya dan sisa baris atau kolom pada matriks
𝐶 diperoleh dengan menjumlahkan sisa baris atau kolom matriks 𝐴 dan matriks 𝐵,
berlaku 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 .
10. Jika 𝐴 dan 𝐵 adalah matriks persegi berordo sama, berlaku 𝐴𝐵 = 𝐴 . 𝐵 .
11. Jika matriks 𝐴 mempunyai hasil kuadrat, berlaku 𝐴𝑛 = 𝐴 𝑛.
12. Jika matriks 𝐴 mempunyai invers, berlaku 𝐴−1 =
1
𝐴
atau 𝐴 =
1
𝐴−1 .

24. 2.5 Masalah yang Melibatkan Matriks
Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Dua Variabel
Selesaikan sistem persamaan linier dua variabel
Contoh
3𝑥 + 𝑦 = 9
4𝑥 + 3𝑦 = 17
3 1
4 3
𝑥
𝑦 =
9
17
𝑥
𝑦 =
1
9 − 4
3 −1
−4 3
9
17
𝑥
𝑦 =
1
5
10
15
=
2
3
Himpunan Penyelesaiannya adalah 2, 3 .

25. Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel
Jika
𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1𝑧 = 𝑑1
𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2𝑧 = 𝑑2
𝑎3𝑥 + 𝑏3𝑦 + 𝑐3𝑧 = 𝑑3
, maka 𝑥 =
𝐷𝑥
𝐷
, 𝑦 =
𝐷𝑦
𝐷
dan 𝑧 =
𝐷𝑧
𝐷
Di mana 𝐷 =
𝑎1 𝑏1 𝑐1
𝑎2 𝑏2 𝑐2
𝑎3 𝑏3 𝑐3
, 𝐷𝑥 =
𝑑1 𝑏1 𝑐1
𝑑2 𝑏2 𝑐2
𝑑3 𝑏3 𝑐3
, 𝐷𝑦 =
𝑎1 𝑑1 𝑐1
𝑎2 𝑑2 𝑐2
𝑎3 𝑑3 𝑐3
,
𝐷𝑧 =
𝑎1 𝑏1 𝑑1
𝑎2 𝑏2 𝑑2
𝑎3 𝑏3 𝑑3
.
dan