![応力テンソル
σxxσx ＝
τyx σyx＝
τzy σzy＝
i 軸に垂直な面で
j 方向に作用する応力
σij垂直応力
せん断応力
応力は２階のテンソル
行列表示
σyyσy ＝
σzzσz ＝
τzx σzx＝
・独立6成分
・せん断成分は対称
σx
σy
σz
τyx τzx
τzy
Sym.
[σ] ＝
9/18](https://image.slidesharecdn.com/ii-09stressstatein3d-181207115509/85/3-II-09-2018-9-320.jpg)
![応力成分と応力テンソル
τyx τzxTnx σx nx＝ ＋ ny＋ nz
σy τzyTny τxy nx＝ ＋ ny＋ nz
τyz σzTnz τxz nx＝ ＋ ny＋ nz
応力テンソルから
任意面の応力成分が決定できる
[σ]T
T
＝
(n)
・n
17/18
どの面の応力成分でも成立するので右肩の“➖”を削除](https://image.slidesharecdn.com/ii-09stressstatein3d-181207115509/85/3-II-09-2018-17-320.jpg)
![まとめ
1. 応力テンソル
2. 平衡方程式
応力は２階のテンソル
18/18
・独立6成分
・せん断成分は対称
3. 任意面の応力成分
bx：体積力
応力テンソルから
任意面の応力が決定できる
[σ]T
T
＝
(n)
・n
[σ]＝](https://image.slidesharecdn.com/ii-09stressstatein3d-181207115509/85/3-II-09-2018-18-320.jpg)
【材料力学】3次元空間の応力 (II-09 2018)
- 1. 3次元空間の応力 1. 応力テンソルを説明できる 目標 1/18 2. 平衡方程式を導出できる 3.任意面の応力成分を決定できる
- 2.
- 3. 応力の定義 一意に定義 T ＝ lim ΔS→0 ΔS ΔN 3/24 ΔS ΔN (x, y, z) ΔS → 0 ΔS ΔN (x, y, z) ΔS ΔN 応力 ＝ ΔS の取り方に依存ΔNが 点で考える T
- 4. Nn PP Nn σ ＝ Nn A ＝ P A 復習：応力成分は面に依存する A’ ＝ cosθ A σ’ N’n A’ ＝ ＝ P A cos2 θ P P Aθ A’ Nn P NnN’n＝ cos θ θ 4/18
- 5.
- 6. x, y, z軸に垂直な面の応力成分 x面y面 z面 3面 3方向× ＝ 9成分 6/18 x z σx τxy τxz y x z y σy τyx τyz x z y τzy τzx σz
- 7.
- 8. せん断応力の共役性 z軸周りのモーメント ( )τxy ＋ dzdy dx( )τyx ＋ dx dz dy− ＝ 0 τxy ＋ ＝ τyx ＋ 9成分 3成分− ＝ 6成分 独立な応力成分 τxz ＋ τzx ＋ ＝ τyz ＋ ＝ τzy ＋ 8/18 同様にして
- 9. 応力テンソル σxxσx ＝ τyx σyx＝ τzyσzy＝ i 軸に垂直な面で j 方向に作用する応力 σij垂直応力 せん断応力 応力は２階のテンソル 行列表示 σyyσy ＝ σzzσz ＝ τzx σzx＝ ・独立6成分 ・せん断成分は対称 σx σy σz τyx τzx τzy Sym. [σ] ＝ 9/18
- 10.
- 11. x軸方向に作用する力 x z y x面 τyx σx ＋ y面 x z y x z y z面 τyx ＋ τzx ＋ τzx σx ＋ dy dz Fxx FyxFzx＝＝＝ − − σx − σxdy dz− − dzdxτyx−τyx ＋ dzdx − dxdyτzx ＋ − τzx dxdy − 11/18
- 12. 応力の変化と力の計算 x z y σx ＋ σx dx＋＝σx ＋ σx ∂ ∂ x σx− − dx − Fxx＝ σxdydz−σx ＋ dy dz − dx＋σx ∂ ∂ x σx− − ( ) dzdy σxdy dz− − ＝ ＝ dx ∂ ∂ x σx − dzdy 12/18 応力の変化
- 13. x軸方向応力の釣合い方程式 dy ∂ ∂ y τyx dx dzFyx＝ − x z y τyx σx ＋ σx x z y x z yτyx ＋ τzx ＋ τzx − − − Fxx＝ dx ∂ ∂ x σx − dzdy Fxx＋Fyx＋Fzx ＝ 0＋ bx dx dzdy bx：体積力 ＝ 0＋ bx∂ ∂ x σx ∂ ∂ y τyx ＋ ＋ ∂ ∂ z τzx − − − 13/18 dz ∂ ∂ z τzx dxdyFzx ＝ −
- 14. 応力の釣合い方程式（平衡方程式） ∂ ∂ x σx ∂ ∂ y τyx ＋ ＋ ∂ ∂ z τzx ＝ 0＋bx ∂ ∂ x τxy ∂ ∂ y σy ＋ ＋ ∂ ∂ z τzy ＝ 0＋ by ∂ ∂ x τxz ∂ ∂ y τyz ＋ ＋ ∂ ∂ z σz ＝ 0＋ bz bx，by，bz：体積力 14/18 どの面の応力成分でも成立するので右肩の“➖”を削除
- 15. σy τyz τyx − − − τxz σxτxy − − − 任意面の投影面積 x z σx ＋ τxy ＋ τxz ＋ y σy ＋ τyx ＋ τyz ＋ △OBC＝ Sx ＝ S・nx △OCA ＝ Sy ＝ S・ny △OAB ＝ Sz ＝ S・nz △ABC ＝ S A B C △ABCの単位法線ベクトル n nx ny nz ＝ O 15/18
- 16. σx − x軸方向の力の釣合い x z y A B C O Tnx τyx − τzx − Tnx S σx − Sxτyx − Sy τzx − Sz− − − bx＋ V ＝ 0 τyx − τzx − Tnx σx − nx＝ ＋ ny＋ nz − bxV S τyx − τzx − Tnx σx − nx＝ ＋ ny＋ nz ( )S → 0∵ bx：体積力 応力成分 T Tnx Tny Tnz ＝ (n) 16/18 △OBC ＝ Sx ＝ S・nx △OCA ＝ Sy ＝ S・ny △OAB ＝ Sz ＝ S・nz △ABC ＝ S
- 17. 応力成分と応力テンソル τyx τzxTnx σxnx＝ ＋ ny＋ nz σy τzyTny τxy nx＝ ＋ ny＋ nz τyz σzTnz τxz nx＝ ＋ ny＋ nz 応力テンソルから 任意面の応力成分が決定できる [σ]T T ＝ (n) ・n 17/18 どの面の応力成分でも成立するので右肩の“➖”を削除
- 18. まとめ 1. 応力テンソル 2. 平衡方程式 応力は２階のテンソル 18/18 ・独立6成分 ・せん断成分は対称 3.任意面の応力成分 bx：体積力 応力テンソルから 任意面の応力が決定できる [σ]T T ＝ (n) ・n [σ]＝