1. Modul ini membahas lanjutan konsep kekontinuan fungsi, limit fungsi trigonometri, kekontinuan fungsi komposisi, asimtot grafik fungsi kontinu, dan bentuk-bentuk tak tentu limit fungsi. 2. Dijelaskan bahwa fungsi polinom dan rasional kontinu di setiap bilangan riil kecuali di mana penyebutnya sama dengan nol. Fungsi komposisi kontinu jika fungsi terkait kontinu. 3. Limit fungsi trigonome

1. Modul ke:
Fakultas
Program Studi
03Teknik
Teknik Sipil Reza Ferial Ashadi, ST, MT
MATEMATIKA I
Lanjutan konsep kekontinuan fungsi
Limit fungsi trigonometri
Kekontinuan fungsi komposisi
Asimtot grafik fungsi kontinu
Bentuk-bentuk tak tertentu limit fungsi

2. Lanjutan Konsep Kekontinuan Fungsi
Fungsi polinom kontinu di setiap
bilangan riil c. Fungsi rasional kontinu
di setiap bilangan riil c dalam daerah
asalnya, yaitu kecuali di mana
penyebutnya sama dengan nol.

3. Kekontinuan Dalam Operasi Fungsi
Jika f dan g kontinu di c, maka demikian
juga kf, f + g, f – g, f.g, f/g (asalkan g(c) ≠
0),݂݊
, dan ඥ݂
݊
ܽ‫݈݊ܽ݇ܽݏ‬ ݂ሺܿሻ > 0 ݆݅݇ܽ ݊ ݃݁݊ܽ‫݌‬
Contoh : f(x) = 2x + 1 kontinu di x = 5,
g(x) = x + 3 kontinu di x = 5,
maka (f + g)(x) = f(x) + g(x)
= (2x + 1) + (x + 3) = 3x + 4 kontinu di x = 5

4. Kekontinuan Fungsi Komposisi
Teorema
1. Jika fungsi f dan g memenuhi Rf Ϲ Dg , f
kontinu di c ∈ Df, dan g kontinu di f(c) ∈
Dg, maka fungsi g ◦ f kontinu di c.
2. Jika fungsi f dan g memenuhi Rf Ϲ Dg , f
kontinu pada Df dan g kontinu pada Dg,
maka fungsi g ◦ f kontinu pada Df.

5. Contoh
Tunjukkan fungsi ݂ሺ‫ݔ‬ሻ =
‫1−ݔ‬
4−√‫ݔ‬2−9
kontinu pada daerah
asalnya.
Jawab : Kita tentukan dahulu daerah asal fungsi ini. Agar
݂ሺ‫ݔ‬ሻ ∈ ܴ , syaratnya adalah
‫ݔ‬2
− 9 ≥ 0 dan 4 − √‫ݔ‬2 − 9 ≠ 0
Dari syarat yang pertama diperoleh ‫ݔ‬ ≤ −3 atau ‫ݔ‬ ≥ 3 ,
sedangkan dari syarat kedua diperoleh ‫ݔ‬ ≠ ± 5
Jadi daerah asal fungsi f adalah :
Df = ((-∞,-3] ∪ [3, ∞)) – {-5, 5}
= (-∞, -5) ∪ (-5, -3] ∪ [3,5) ∪ (5, ∞)

6. Lanjut Contoh...
Untuk menunjukkan kekontinuan fungsi f pada Df, tulislah
݂ሺ‫ݔ‬ሻ =
݃ሺ‫ݔ‬ሻ
ℎሺ‫ݔ‬ሻ
, dengan g(x) = x – 1 dan ℎሺ‫ݔ‬ሻ = 4 − √‫ݔ‬2 − 9
Disini h dapat ditulis sebagai komposisi dari tiga fungsi
yang kontinu, yaitu
h(x) = (k◦l◦m)(x) = k(l(m(x))), dengan m(x) = x2
– 9 ,
l(x) = √‫ݔ‬ , dan k(x) = 4 – x
Karena fungsi m kontinu di Df, l kontinu di setiap m(x) ≥ 0,
dan k kontinu pada R, maka fungsi komposisi h = k◦l◦m
kontinu pada Df. Selanjutnya, kekkontinuan fungsi g dan h
pada Df mengakibatkan fungsi f juga kontinu pada Df.

7. Limit Fungsi Komposisi
Teorema
Jika lim‫ܿ→ݔ‬ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = ‫ܮ‬ dan fungsi g kontinu di
L, maka lim‫ܿ→ݔ‬ ݃൫݂ሺ‫ݔ‬ሻ൯ = ݃ሺ‫ܮ‬ሻ
Contoh : Dengan menggunakan teorema di
atas, karena fungsi ‫ݕ‬ = √‫ݔ‬ kontinu untuk
setiap x ≥ 0, maka
lim
‫2→ݔ‬
ඥ1 + 2‫ݔ‬2 = ටlim
‫2→ݔ‬
ሺ1 + 2‫ݔ‬2ሻ = √1 + 8 = 3

8. Limit FungsiTrigonometri
1. lim‫ݔ‬→0
sin ‫ݔ‬
‫ݔ‬
= lim‫ݔ‬→0
‫ݔ‬
sin ‫ݔ‬
= 1
2. lim‫ݔ‬→0
sin ܽ‫ݔ‬
ܽ‫ݔ‬
= lim‫0→ݔ‬
ܽ‫ݔ‬
sin ܽ‫ݔ‬
= 1
3. lim‫ݔ‬→0
tan ‫ݔ‬
‫ݔ‬
= lim‫ݔ‬→0
‫ݔ‬
tan ‫ݔ‬
= 1
4. lim‫ݔ‬→0
tan ܽ‫ݔ‬
ܽ‫ݔ‬
= lim‫ݔ‬→0
ܽ‫ݔ‬
tan ܽ‫ݔ‬
= 1
5. lim‫ݔ‬→0
sin ܽ‫ݔ‬
ܾ‫ݔ‬
= lim‫0→ݔ‬
ܽ‫ݔ‬
sin ܾ‫ݔ‬
=
ܽ
ܾ
6. lim‫ݔ‬→0
tan ܽ‫ݔ‬
ܾ‫ݔ‬
= lim‫ݔ‬→0
ܽ‫ݔ‬
tan ܾ‫ݔ‬
=
ܽ
ܾ
7. lim‫ݔ‬→0
sin ܽ‫ݔ‬
sin ܾ‫ݔ‬
= lim‫0→ݔ‬
tan ܽ‫ݔ‬
tan ܾ‫ݔ‬
=
ܽ
ܾ
8. lim‫ݔ‬→0
sin ܽ‫ݔ‬
tan ܾ‫ݔ‬
= lim‫ݔ‬→0
tan ܽ‫ݔ‬
sin ܾ‫ݔ‬
=
ܽ
ܾ

9. Contoh
lim‫0→ݔ‬
1−cos 2‫ݔ‬
1−cos 4‫ݔ‬
=
1−cos 2ሺ0ሻ
1−cos 4ሺ0ሻ
=
1−1
1−1
=
0
0
, bentuk tak-tentu
lim
‫0→ݔ‬
1 − cos 2‫ݔ‬
1 − cos 4‫ݔ‬
= lim
‫0→ݔ‬
1 − ሺ1 − 2‫݊݅ݏ‬ 2
‫ݔ‬ሻ
1 − ሺ1 − 2‫݊݅ݏ‬ 22‫ݔ‬ሻ
lim
‫0→ݔ‬
‫݊݅ݏ‬ 2
‫ݔ‬
‫݊݅ݏ‬ 22‫ݔ‬
= lim
‫0→ݔ‬
‫݊݅ݏ‬ 2
‫ݔ‬
ሺ2 sin ‫ݔ‬ cos ‫ݔ‬ሻ2
lim
‫0→ݔ‬
‫݊݅ݏ‬ 2
‫ݔ‬
4 ‫݊݅ݏ‬2‫ݔ‬ ܿ‫ݏ݋‬2‫ݔ‬
lim
‫0→ݔ‬
1
4 ܿ‫ݏ݋‬2‫ݔ‬
=
1
4 ܿ‫ݏ݋‬2ሺ0ሻ
=
1
4

10. Asimtot Fungsi Kontinu
Asimtot fungsi adalah garis lurus yang didekati
grafik fungsinya.
Ada tiga jenis asimtot fungsi, yaitu
1. Asimtot tegak.
Garis x = c disebut asimtot tegak grafik fungsi
y = f(x) jika lim‫ܿ→ݔ‬ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = ±∞

11. Lanjut...
2. Asimtot Datar
Garis y = b disebut asimtot datar grafik fungsi
y = f(x) jika lim‫∞±→ݔ‬ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = ܾ
3. Asimtot miring
Garis y = ax + b disebut asimtot miring jika
lim‫∞±→ݔ‬
݂ሺ‫ݔ‬ሻ
‫ݔ‬
= ܽ dan lim‫∞±→ݔ‬ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ − ܽ‫ݔ‬ = ܾ

12. Contoh
Tentukan semua asimtot dari fungsi :
݂ሺ‫ݔ‬ሻ =
ሺ‫ݔ‬ + 1ሻ2
‫ݔ‬
Jawab :
(i) Asimtot tegak : x = 0 , karena lim‫ݔ‬→0−
ሺ‫1+ݔ‬ሻ2
‫ݔ‬
= −∞
(ii) Asimtot Miring/datar :
ܽ = lim
‫ݔ‬→±∞
݂ሺ‫ݔ‬ሻ
‫ݔ‬
= lim
‫ݔ‬→±∞
ሺ‫ݔ‬ + 1ሻ2
‫ݔ‬
.
1
‫ݔ‬
= lim
‫ݔ‬→±∞
‫ݔ‬2
+ 2‫ݔ‬ + 1
‫ݔ‬2
= 1
ܾ = lim
‫ݔ‬→±∞
݂ሺ‫ݔ‬ሻ − ܽ‫ݔ‬ = lim
‫∞±→ݔ‬
ሺ‫ݔ‬ + 1ሻ2
‫ݔ‬
− ‫ݔ‬
= lim
‫ݔ‬→±∞
‫ݔ‬2
+ 2‫ݔ‬ + 1 − ‫ݔ‬2
‫ݔ‬
= lim
‫∞±→ݔ‬
2‫ݔ‬ + 1
‫ݔ‬
= 2

13. Lanjut...
Jadi asimtot miring : y = x + 2 ; asimtot datar tidak ada
Grafik
x
y
2
- 2 0
y = x + 2
‫ݕ‬ =
ሺ‫ݔ‬ + 1ሻ2
‫ݔ‬

14. Bentuk-bentuk Tak-Tentu Limit Fungsi
1. Limit tak Hingga
lim
‫ܿ→ݔ‬
݂ሺ‫ݔ‬ሻ = ∞
menyatakan bahwa :
f(x) membesar tanpa batas bila x mendekati c. f(x)
dapat dibuat lebih besar dari sebarang bilangan positif
dengan cara mengambil x yang cukup dekat ke c, tetapi
x ≠ c.

15. Lanjut...
2. Limit di Tak Hingga
lim
‫∞→ݔ‬
݂ሺ‫ݔ‬ሻ = ‫ܮ‬
menyatakan bahwa f(x) mendekati L bila x membesar
tanpa batas. f(x) dapat dibuat sebarang dekat ke L
dengan cara mengambil x yang cukup besar
atau
jarak f(x) ke L dapat dibuat sebarang kecil bila x dibuat
lebih besar dari suatu bilangan positif

16. Lanjut...
3. Limit Tak Hingga di Tak Hingga
Limit tak hingga di tak hingga adalah kasus dimana
f(x) → ± ∞ bila x → ± ∞. Terdapat empat kasus untuk
limit ini. Situasi geometri untuk dua kasus pertama
diperlihatkan pada gambar dibawah ini.
x
y
0
f
lim
‫∞→ݔ‬
݂ሺ‫ݔ‬ሻ = ∞lim
‫ݔ‬→−∞
݂ሺ‫ݔ‬ሻ = −∞

17. Lanjut...
Dua kasus berikutnya adalah sebagai berikut :
x
y
0
f
lim
‫∞→ݔ‬
݂ሺ‫ݔ‬ሻ = − ∞
lim
‫∞−→ݔ‬
݂ሺ‫ݔ‬ሻ = ∞

18. Lanjut...
4. Bentuk tak tentu
0
0
Kita akan menghitung lim‫ܿ→ݔ‬
݂ሺ‫ݔ‬ሻ
݃ሺ‫ݔ‬ሻ
, dengan lim‫ܿ→ݔ‬ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ =
lim‫ܿ→ݔ‬ ݃ሺ‫ݔ‬ሻ = 0
Cara penyelesaian :
Ubahlah bentuk
݂ሺ‫ݔ‬ሻ
݃ሺ‫ݔ‬ሻ
sehingga sifat-sifat limit fungsi
dapat digunakan. Cara yang dapat dicoba adalah
menguraikan pembilang dan penyebut, menggunakan
rumus trigonometri dan limit trigonometri, merasionalkan
bentuk pecahannya, dan sebagainya.

19. Lanjut...
5. Bentuk Tak Tentu
∞
∞
Kita akan menghitung lim‫∞→ݔ‬
݂ሺ‫ݔ‬ሻ
݃ሺ‫ݔ‬ሻ
dimana lim‫∞→ݔ‬|݂ሺ‫ݔ‬ሻ|
= lim‫∞→ݔ‬|݃ሺ‫ݔ‬ሻ| = ∞
Cara Penyelesaian :
Ubahlah bentuk
݂ሺ‫ݔ‬ሻ
݃ሺ‫ݔ‬ሻ
sehingga sifat-sifat limit fungsi
dapat digunakan. Cara yang dapat dicoba adalah
merasionalkan bentuk pecahannya, memunculkan
bentuk
1
‫ݔ‬݊ , n bilangan asli, dan sebagainya

20. Lanjut...
6. Bentuk Tak Tentu 0.∞
Kita akan menghitung lim‫ܿ→ݔ‬ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ݃ሺ‫ݔ‬ሻ , dengan
lim‫ܿ→ݔ‬ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = 0 dan lim‫ܿ→ݔ‬|݃ሺ‫ݔ‬ሻ| = ∞
Cara penyelesaian :
Tulislah f(x)g(x) sebagai
݂ሺ‫ݔ‬ሻ
1
݃ሺ‫ݔ‬ሻ
untuk memperoleh bentuk
0
0
, atau sebagai
݃ሺ‫ݔ‬ሻ
1
݂ሺ‫ݔ‬ሻ
untuk memperoleh bentuk
∞
∞
,
kembali ke masalah sebelumnya.

21. Lanjut...
7. Bentuk Tak Tentu ∞ − ∞
Kita akan menghitung lim‫∞→ݔ‬ሺ݂ሺ‫ݔ‬ሻ − ݃ሺ‫ݔ‬ሻሻ , dengan
lim‫∞→ݔ‬ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = ∞ dan lim‫∞→ݔ‬ ݃ሺ‫ݔ‬ሻ = ∞
Cara penyelesaian
Ubahlah bentuk limitnya menjadi
∞
∞

22. Referensi
1. _____. e-paper. http://www.konsep-
matematika.com/2015/11/penyelesaian-limit-fungsi-
trigonometri.html
2. _____. e-paper. http://alewoh.com/limit-fungsi-trigonometri.php
3. _____. e-paper. http://elib.unikom.ac.id/download.php?id=106713
4. Martono, Koko, Drs, M.Si. 1999. Kalkulus. ITB Bandung. Penerbit
Erlangga.
5. Purcell, Edwin J dan Varberg, Dale. 1990. KALKULUS dan
Geometri Analitis. Jilid 1. Jakarta. Penerbit Erlangga.

23. Terima Kasih
Reza Ferial Ashadi, ST, MT