Pengertian limit fungsi

1. 1.1 Pengertian Limit Fungsi
Fungsi F mempunyai limit L untuk 𝑥 → 𝑎 atau lim
𝑥→𝑎
𝑓( 𝑥) = 𝐿 berart bahwa untuk
setiap 𝜀 > 0 bagaimana pun kecilnya akan didapat bilnangan positif 𝛿 sedemikian sehingga
untuk nilai x yang memenuhi 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 maka |𝑓( 𝑥) − 𝐿 < 𝜀 atau 𝛿 − 𝑎 < 𝑥 < 𝛿 + 𝑎
maka 𝑙 − 𝜀 < 𝑓( 𝑥) < 𝑙 + 𝜀
1.2 Menentukan Limit Fungs Aljabar yang Berbentuk lim
𝑥→𝑎
𝑓( 𝑥)
a) Metode Substitusi
Hitunglah nilai limit fungsi dari lim
𝑥→1
(2𝑥 − 5)
Jawab:
lim
𝑥→1
(2𝑥 − 5) = 2(1) − 5 = 2 − 5 = −3
b) Metode Pemfaktoran
Secara umum, pengerjaan limit fungsi yang mempunyai bentuk tk tentu dapat
dilakukan dengan cara metode pemfaktoran. Misalkan lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
𝑓(𝑎)
𝑔(𝑎)
=
0
0
. Upayakan f(x) dan
g(x) memiliki faktor yang sama dan faktor yang sama itu adalah (x-a), sehingga:
lim
𝑥→𝑎
𝑓( 𝑥)
𝑔( 𝑥)
= lim
𝑥→𝑎
( 𝑥−𝑎).𝑝( 𝑥)
( 𝑥−𝑎).𝑞( 𝑥)
= lim
𝑥→𝑎
𝑝( 𝑥)
𝑞( 𝑥)
=
𝑝( 𝑎)
𝑞( 𝑎)
, dengan catatan 𝑞( 𝑎) ≠ 0
Contoh:
Hitunglah nilai limit fungsi dari lim
𝑥→2
𝑥2
−4
𝑥−2
Jawab:
lim
𝑥→2
𝑥2
− 4
𝑥 − 2
= lim
𝑥→2
(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)
(𝑥 − 2)
= lim
𝑥→2
( 𝑥 − 2)
( 𝑥 − 2)
(𝑥 + 2)
= lim
𝑥→2
1(𝑥 + 2)

2. = lim
𝑥→2
( 𝑥 + 2) = 2 + 2 = 4
1.3 Menentukan Limit Fungsi Alajabar jika 𝑥 → ∞
a) Membagi dengan Pangkat Tertinggi
Limit fungsi yang berbentuk lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
dapat diselesaikan dengan cara membagi bagian
pembilang f(x) dan bagian peyebut g(x)dengan xn, n adalah pangkat tertinggi dari f(x) atau
g(x).
Contoh:
Hitunglah nilai limit fungsi berikut ini:
lim
𝑥→∞
4𝑥2
− 3𝑥 + 2
3𝑥2 + 5𝑥 − 1
= lim
𝑥→∞
4 −
2
𝑥
+
2
𝑥2
3 +
5
𝑥
+
1
𝑥2
=
4 − 0 + 0
3 + 0 − 0
=
4
3
Jadi, lim
𝑥→∞
4𝑥2
−3𝑥+2
3𝑥2 +5𝑥−1
=
4
3
b) Mengalikan dengan Faktor Lawan
Limit fungsi yang berbentuk lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
{√𝑓( 𝑥) − √𝑔( 𝑥)} dapat diselsaikandengan
cara mengalikan dengan faktor lawan, yaitu
{√𝑓( 𝑥)+√𝑔( 𝑥)}
{√𝑓( 𝑥)+√𝑔( 𝑥)}
`
Contoh:
Hitunglah limit fungsi berikut lim
𝑥→∞
{√2𝑥 − 1 − √3𝑥 + 5}
Jawab:
lim
𝑥→∞
{√2𝑥 − 1 − √3𝑥 + 5} = lim
𝑥→∞
{√2𝑥 − 1 − √3𝑥 + 5} × (
√2𝑥 − 1 + √3𝑥 + 5
√2𝑥 − 1 + √3𝑥 + 5
)

3. = lim
𝑥→∞
(√2𝑥 − 1)
2
− (√3𝑥 + 5)
2
√2𝑥 − 1 − √3𝑥 + 5
= lim
𝑥→∞
(2𝑥 − 1) − (3𝑥 + 5)
√2𝑥 − 1 − √3𝑥 + 5
= lim
𝑥→∞
−𝑥 − 2
√2𝑥 − 1 − √3𝑥 + 5
= −∞
1.4 Teorema Limit
Andaikan n bilangan bulat positif, k konstanta, dan f dan g fungsi-fungsi yang
mempunyai limit di a, maka:
1. lim
𝑥→𝑎
𝑘 = 𝑘
2. lim
𝑥→𝑎
𝑥 = 𝑎
3. lim
𝑥→𝑎
𝑘. 𝑓( 𝑥) = 𝑘 lim
𝑥→𝑎
𝑓( 𝑥)
4. lim
𝑥→𝑎
{ 𝑓( 𝑥) + 𝑔( 𝑥)} = lim
𝑥→𝑎
𝑓( 𝑥) + lim
𝑥→𝑎
𝑔( 𝑥)
5. lim
𝑥→𝑎
{ 𝑓( 𝑥) − 𝑔( 𝑥)} = lim
𝑥→𝑎
𝑓( 𝑥) − lim
𝑥→𝑎
𝑔( 𝑥)
6. lim
𝑥→𝑎
{ 𝑓( 𝑥). 𝑔(𝑥)} = {lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)}. {lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)}
7. lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
dengan catatn lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) ≠ 0
8. lim
𝑥→𝑎
{ 𝑓(𝑥)} 𝑛
= {lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)}
𝑛
lim
𝑥→𝑎
√ 𝑓(𝑥)𝑛
= √lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)𝑛
, untuk n genap haruslah f(x) ≥ 0