Dokumen tersebut membahas tentang konsep limit dan kontinuitas dalam kalkulus. Secara ringkas: 1. Limit dan kontinuitas merupakan konsep dasar dalam kalkulus. 2. Suatu fungsi dikatakan kontinyu jika grafiknya dapat ditarik tanpa pensil. 3. Kontinuitas merupakan sifat point-wise suatu fungsi.

1. LIMIT
Pembuka
Ide dasar kalkulus adalah konsep limit. Latihan di Bagian I
Dirancang untuk meningkatkan pemahaman dan keterampilan Anda dalam bekerja dengan konsep
ini.
Simbolisme yang terlibat adalah kontraksi / singkatan yang berguna dan pengenalan
"Bentuk" dari ini sangat penting dalam menghasilkan hasil yang dibutuhkan dengan sukses.
Sebelum Anda memulai, jika Anda memerlukan peninjauan ulang fungsi, lihat Lampiran A: Fungsi
dasar dan Grafik mereka
Kontinuitas
Definisi kontinuitas
Fungsi f kontinyu pada satu titik c jika dan hanya jika
1. f (c) didefinisikan; dan
2. lim
𝑋→𝐶
F x ada; dan
3. lim
𝑋→𝐶
f(x) = f (lim
𝑋→𝐶
𝑥) = f(c)
Jika suatu fungsi gagal memenuhi salah satu dari kondisi ini, maka tidak berlanjut
Pada x = c dan dikatakan tidak terputus pada x = c.
Secara kasar, sebuah fungsi berlanjut jika grafiknya dapat ditarik tanpa pensil Sebenarnya, ini
tidak akurat secara matematis, tapi memang begitu adalah cara intuitif untuk memvisualisasikan
kontinuitas.
Perhatikan bahwa ketika sebuah fungsi berlanjut pada titik c, Anda memiliki situasinya, dimana
batas dapat dihitung dengan benar - benar mengevaluasi fungsi di Titik c. Ingatlah bahwa Anda
diperingatkan untuk tidak menentukan batasan dengan cara ini
Diskusi terdahulu; Namun, ketika sebuah fungsi diketahui kontinyu pada x = c,
Lalu lim
𝑥 →𝑐
𝑓( 𝑥) = 𝑓(𝑥)
Dengan definisinya, kontinuitas adalah properti point-wise dari sebuah fungsi, tapi ini. Gagasan
diperluas dengan mengatakan bahwa suatu fungsi berlanjut pada interval 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏

2. Jika dan hanya jika f kontinu pada setiap titik dalam interval. Pada titik akhir, Batas kanan dan kiri
berlaku, masing-masing, untuk mendapatkan kontinuitas kanan dan kiri jika
Batas ini ada
MASALAH
Tentukan apakah fungsi berikut juga
Kontinu atau terputus-putus pada titik yang ditunjukkan.
a. lim
𝑥→𝑐
√4𝑥 + 7= 4
b. lim
𝑥→𝑐
𝑥 − 4 = 3
c. lim
𝑥→𝑐
( 3𝑥2
+ 7 ) = 2
d. Lim
𝑥→𝑐
12
𝑥−2
=2
e. Lim
𝑥→𝑐
𝑥2
+ 4
𝑥−2
= 2
Solusi :
a. lim
𝑥→𝑐
√4𝑥 + 7= √lim(4𝑥 + 7) = √4 ( lim
𝑥→𝑐
𝑥 + 7) = √23 demikian, fungsi kontinyu di 4.
B. lim
𝑥→𝑐
𝑥 − 4 = ((lim 𝑥) − 4 ) = -1 dengan demikian, fungsinya kontinyu pada 11
C. lim
𝑥→𝑐
( 3𝑥2
+ 7 ) = ( 3 ( lim
𝑥→2
𝑥2
) + 7 ) = 19 demikian, fungsinya kontinu pada 2.
D. Lim
𝑥→𝑐
12
𝑥−2
tidak ada; Dengan demikian, fungsinya terputus-putus pada 2.
E. Lim
𝑥→𝑐
𝑥2
+ 4
𝑥−2
terputus-putus pada 2 karena fungsinya tidak didefinisikan pada 2.
{
lim
𝑥→𝑐
𝑥2
+ 4
𝑥−2
𝑥 ≠ 2
4 𝑥 = 2
Namun, batas f (x) sebagai x mendekati 2 adalah 4, jadi batasnya ada tapi
11

3. f(2). Jika f (2) sekarang didefinisikan menjadi 4 maka fungsi "baru" f (x) �
𝑥 ≠ 2 Kontinu di 2. Karena diskontinuitas pada 2 dapat "dihapus,"
Maka fungsi aslinya dikatakan memiliki diskontinuitas yang dapat dilepas pada 2.
TUGAS 3-1
Tunjukkan bahwa fungsi berikut bersifat kontinu atau terputus-putus pada yang ditunjukkan titik.
1. f(x) = √5𝑥 − 7 pada 𝑥 = 1
2. f(x) =
𝑥3
−8
2−𝑥
pada x = 1
3. f(x) =
4
√2𝑥−3
pada x = 1
4. f(x) = [x] pada x = 3
5. g(x) =
𝑥2
+ 6
𝑥−5
pada x = 4
6. g(x) = pada x = 3
7. g(x) =
√𝑥−5
𝑥+2
pada x = 8
8. h(x) = 5𝑥2
− √ 𝑥 + 7 pada x = 5
9. f(x) =
𝑥−6
𝑥2 pada x = 6
10. h(x) =
(𝑥−𝑎)2
=𝑥−6
𝑥−𝑎+3
pada x = a
Sifat Kontinuitas
Sifat aritmatika kontinuitas segera mengikuti sifat batas pada Bab 1.
Jika f dan g kontinu pada x =c, maka fungsi berikut juga berlanjut pada c:
1. Jumlah dan perbedaan: f ≠ g
2. Produk: fg
3. Scalar multiple: af, untuk bilangan real
4. Mengutip : f/g. Berikan g (c) ≠ 0
12

4. Selanjutnya, jika g kontinyu pada c dan f kontinyu pada g (c) maka fungsi komposit f ° g
Didefinisikan oleh (f ° g) (x) = f (g (x)) terus berlanjut pada c. Dalam batas notasi, lim
𝑥→𝑐
𝑓( 𝑔( 𝑥)) =
𝑓 (lim
𝑥→𝑐
𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝑔(𝑥))
Komposisi fungsi properti ini merupakan salah satu hasil kontinuitas yang paling penting.
Jika sebuah fungsi berlanjut pada keseluruhan garis nyata, fungsi di mana-mana terus berlanjut;
Artinya, grafiknya tidak memiliki lubang, lompatan, atau celah di dalamnya. Jenis fungsi berikut
adalah terus menerus di setiap titik di domain mereka:
Fungsi konstan:
𝑓 ( 𝑥) = 𝑘 , di mana k adalah konstanta
Fungsi daya: 𝑓( 𝑥) = 𝑥 𝑛
, dimana n adalah bilangan bulat positif
Fungsi polinomial: 𝑓( 𝑥) = 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
+ 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1
+ 𝑎1 𝑥 + 𝑎0
Fungsi rasional: 𝑓( 𝑥) =
𝑝 (𝑥)
𝑞 (𝑥)
𝑞(𝑥) , asalkan 𝑝( 𝑥) dan 𝑞(𝑥) adalah polinomial dan 𝑞(𝑥) ≠ 0
Fungsi radikal: 𝑓( 𝑥) = √ 𝑥 , 𝑥 ≥ 0
𝑛
, n bilangan bulat positif
Fungsi trigonometri: f (x) = sinx dan f (x) = cosx ada dimana-mana terus-menerus; F (x) = tan x,
F (x)= csc x, f (x) = sec x, dan f (x) = cot x hanya kontinyu dimanapun mereka berada.
Fungsi logaritma: 𝑓( 𝑥) = 𝐼𝑛 𝑥 dan 𝑓( 𝑥) = 𝑙𝑜𝑔 𝑏 𝑥 , 𝑏 > 0 , 𝑏 ≠ 1
Fungsi eksponensial: 𝑓( 𝑥) = 𝑒 𝑥
𝑓(𝑥)
MASALAH
Diskusikan kontinuitas fungsi berikut: g (x) = 3 (sin3x) pada bilangan real c.
SOLUSI
3x kontinyu pada c dan sinx terus berlanjut pada semua bilangan real dan sin (3x)
Kontinu di c oleh komposisi properti. Akhirnya, 3sin (3x) terus berlanjut di c
Oleh beberapa properti konstan kontinuitas.
Tugas 3-2

5. Teorema Nilai Intermediet (TNI)
Teorema Nilai Intermediate menyatakan: Jika f kontinyu pada interval tertutup [a, b] dan jika F
(a) � f (b), maka untuk setiap bilangan k antara f (a) dan f (b) terdapat nilai x0 pada interval [A, b]
sedemikian rupa sehingga f (x) k 0.
The Intermediate Value Theoreme adalah alat yang berguna untuk menunjukkan adanya nol
fungsi. Jika fungsi kontinyu berubah tanda pada interval, maka teorema ini meyakinkan Anda
bahwa di sana 14 Batas Harus menjadi titik dalam interval di mana fungsi mengambil nilai 0. Harus
dicatat, Namun, teorema itu adalah teorema eksistensi dan tidak menemukan titik di mana nol
terjadi Menemukan titik itu adalah masalah lain. Contoh berikut akan menggambarkan
penggunaan IVT
Untuk menentukan apakah ada nol dan memberikan beberapa wawasan untuk
menemukan titik (atau titik) tersebut.
PERTANYAAN
Terdapat angka dengan interval [0,3] seperti halnya 𝑓( 𝑥) = 𝑥2
− 𝑥 − 2 = −1? Ini sama dengan
menanyakan apakah ada angka di [0, 3] seperti itu
Bahwa 𝑓( 𝑥) = 𝑥2
− 𝑥 − 1 = 0 .
SOLUSI
13

6. Fungsi kontinyu pada [0, 3], dan Anda dapat melihat bahwa 𝑓(0) = 02
− 0 − 1 = −1 Dan
𝑓(3) = 32
− 3 − 1 = 5. Karena f (0) = 0 dan f (3) = 0, oleh TNI, Anda tahu
Harus ada angka di [0, 3] sehingga 𝑓( 𝑥) = 𝑥2
− 𝑥 − 1 = 0 ; Itu ada disana
Adalah solusi untuk masalah. Dalam hal ini, solusi bisa ditemukan dengan cara memecahkannya
Persamaan kuadrat, 𝑓( 𝑥) = 𝑥2
− 𝑥 − 1 = 0, untuk mendapatkan dua akar:
1+√5
2
. Anggaplah
kedua nilai adalah 1,62 dan - 0,62, yang hanya 1,62 berada di
Interval [0, 3]. Dengan demikian, memang ada satu nomor, yaitu
1+√5
2
, dalam interval
[0, 3] sedemikian rupa sehingga 𝑓
1+√5
2
= 0
LATIHAN
Untuk 1-5, gunakan IVT untuk menentukan apakah fungsi yang diberikan memiliki nilai nol pada
interval yang diberikan.
Jelaskan alasan Anda.
Untuk 6-10, gunakan IVT untuk menentukan apakah nol ada pada interval yang ditentukan; Dan,
kalau begitu, temukan yang nol
(Atau nol) dalam interval.

7. 14