Dokumen tersebut membahas tentang empat jenis transformasi geometri yaitu translasi, pencerminan, perputaran, dan perkalian. Translasi adalah perpindahan titik dengan jarak dan arah tertentu, pencerminan adalah pemindahan titik menggunakan sifat bayangan oleh cermin, perputaran adalah memutar titik sejauh sudut tertentu terhadap titik pusat, dan perkalian adalah mengubah jarak titik dengan factor pengali.

1. ⎛ − 2⎞
Jadi bayangan titik P(3,5) oleh translasi T= ⎜ ⎟
⎜ 3 ⎟
BAB XXI. ⎝ ⎠
TRANSFORMASI GEOMETRI adalah (1, 8)
B. Pencerminan (Refleksi)
Transformasi digunakan untuk untuk memindahkan suatu Transformasi yang memindahkan titik-titik dengan
titik atau bangun pada suatu bidang. menggunakan sifat bayangan oleh suatu cermin.
Transformasi geometri adalah bagian dari geometri yang
membahas tentang perubahan (letak,bentuk , penyajian) 1. Pencerminan terhadap sumbu X
yang didasarkan dengan gambar dan matriks. (dilambangkan dengan M X )
Transformasi pada bidang terdiri dari 4 macam :
1. Pergeseran (Translasi) M x : P(x,y) → P ' (x ' , y ' ) = P ' (x, -y)
2. Pencerminan (Refleksi)
3. Perputaran (Rotasi) Persamaan matriksnya :
4. Perkalian (Dilatasi)
⎛ x' ⎞ ⎛1 0 ⎞ ⎛ x⎞
⎜ '⎟ = ⎜
⎜ 0 −1⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎜ y⎟
⎜y ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
A. Pergeseran (Translasi)
Perpindahan titik-titik pada bidang dengan jarak dan 2. Pencerminan terhadap sumbu Y
arah tertentu yang diwakili oleh ruas garis berarah (dilambangkan dengan M Y )
(vector) AB atau dengan suatu pasangan bilangan
⎛a⎞ M Y : P(x,y) → P ' (x ' , y ' ) = P ' (-x, y)
misal ⎜ ⎟ .
⎜b⎟
⎝ ⎠ Persamaan matriksnya :
⎛a⎞ ⎛ x' ⎞ ⎛ −1 0⎞ ⎛ x ⎞
Translasi T = ⎜ ⎟ memetakan titik P(x 1 ,y 1 ) ke titik
⎜b⎟ ⎜ '⎟ = ⎜
⎝ ⎠ ⎜y ⎟ ⎜ 0 1⎟ ⎜ y ⎟
⎟ ⎜ ⎟
'
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
P ( x 1 + a, y 1 + b )yang dinotasikan dengan :
3. Pencerminan terhadap titik asal O(0,0)
(dilambangkan dengan M O )
⎛a⎞
⎜ ⎟
T = ⎜ ⎟ : P(x 1 ,y 1 ) → P ' ( x 1 + a, y 1 + b )
⎝b⎠ M O : P(x,y) → P ' (x ' , y ' ) = P ' (-x, -y)
contoh: Persamaan matriksnya :
⎛ − 2⎞ ⎛ x' ⎞ ⎛−1 0 ⎞ ⎛ x⎞
Bayangan titik P(3,5) oleh translasi ⎜ ⎟ adalah … ⎜ '⎟ = ⎜
⎜ 3 ⎟
⎝ ⎠ ⎜y ⎟ ⎜ 0 − 1⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎜ y⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
jawab: 4. Pencerminan terhadap garis y = x
(dilambangkan dengan M y= x )
⎛ − 2⎞
T = ⎜ ⎟ : P(3,5) → P ' (3 + (-2), 5 +3 )
⎜ 3 ⎟
⎝ ⎠ M y= x : P(x,y) → P ' (x ' , y ' ) = P ' (y, x)
www.matematika-sma.com - 1

2. Persamaan matriksnya : ⎛ x' ⎞ ⎛ 0.(−2) + 1.5 ⎞
⇔ ⎜ '⎟ = ⎜
⎜y ⎟ ⎜ 1.(−2) + 0.5 ⎟
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ x' ⎞ ⎛0 1⎞ ⎛ x ⎞
⎜ '⎟ = ⎜
⎜1 0⎟ ⎜ y ⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎜y ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ x' ⎞ ⎛ 5 ⎞
⇔ ⎜ '⎟ = ⎜ ⎟
⎜ y ⎟ ⎜ − 2⎟
5. Pencerminan terhadap garis y = -x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(dilambangkan dengan M y = − x )
⎛ 5 ⎞
Jadi titik bayangan A adalah A ' ⎜ ⎟
⎜ − 2⎟
M y = − x : P(x,y) → P ' (x ' , y ' ) = P ' (-y, -x) ⎝ ⎠
2. Bayangan garis y = 2x - 3 yang dicerminkan
terhadap garis y = - x adalah..
Persamaan matriksnya :
Jawab:
⎛ x' ⎞ ⎛ 0 − 1⎞ ⎛ x ⎞
⎜ '⎟ = ⎜
⎜−1 0 ⎟ ⎜ y ⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎜y ⎟ ⎛ x' ⎞ ⎛ 0 − 1⎞ ⎛ x ⎞
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ '⎟ = ⎜
⎜y ⎟ ⎜−1 0 ⎟ ⎜ y ⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6. Pencerminan terhadap garis x = h
(dilambangkan dengan M x = h ) ⎛ x' ⎞ ⎛− y⎞
⇔ ⎜ '⎟ = ⎜
⎜y ⎟ ⎜− x⎟
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
M x = h : P(x,y) → P ' (x ' , y ' ) = P ' (2h – x , y)
x ' = -y → x = - y '
7. Pencerminan terhadap garis y = k
(dilambangkan dengan M y = k ) y ' = -x → y = - x '
substitusikan ke persamaan garis y = 2x – 3 menjadi:
M y= k : P(x,y) → P ' (x ' , y ' ) = P ' ( x , 2k - y)
- x ' = 2 (- y ' ) – 3 → 2 y ' = x ' - 3
8. Pencerminan terhadap titik (a,b)
(dilambangkan dengan M ( a ,b ) ) Jadi bayangannya adalah 2y = x -3
M ( a ,b ) : P(x,y) → P ' (x ' , y ' ) = P ' ( 2a-x, 2b - y) C. Perputaran (Rotasi)
Contoh: Transformasi yang memindahkan titik-titik dengan
memutar titik-titik tersebut sejauh θ terhadap suatu titik
1. Titik A(-2, 5) dicerminkan terhadap garis y = x, pusat rotasi.
kordinat titik bayangan A adalah…
Suatu rotasi dengan pusat P dan sudut rotasi θ
Jawab: dinotasikan dengan R (P, θ ).
⎛ x' ⎞ ⎛0 1⎞ ⎛ x ⎞ 1. Rotasi terhadap titik pusat O(0,0)
⎜ '⎟ = ⎜
⎜1 0⎟ ⎜ y ⎟
⎟ ⎜ ⎟ (dilambangkan dengan R(O, θ )
⎜y ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Jika titik P(x,y) diputar sebesar θ belawanan arah jam
⎛x ⎞ ⎛0 1⎞ ⎛ − 2⎞
'
Terhadap titik pusat O(0,0), maka diperoleh bayangan
⇔ ⎜ '⎟ = ⎜
⎜y ⎟ ⎜1 0⎟ ⎜ 5 ⎟
⎟ ⎜ ⎟ P ' (x ' , y ' ).
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
R(O, θ ): P(x,y) → P (x , y ) = P (x cos θ - y sin θ , x sin θ + y cos
' ' ' '
θ)
www.matematika-sma.com - 2

3. Persamaan matriknya:
Jawab:
⎛x ⎞
'
⎛ cos θ − sin θ ⎞ ⎛ x⎞
⎜ '⎟ = ⎜
⎜ sin θ ⎟ ⎜ ⎟
⎜y ⎟
⎝ ⎠ ⎝ cos θ ⎟⎠
⎜ y⎟
⎝ ⎠
⎛ x' ⎞ ⎛ 0 − 1⎞ ⎛ x ⎞
⎜ '⎟ = ⎜
a. ⎜y ⎟ ⎜1 0 ⎟ ⎜ y⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Untuk θ = 90 0 , -90 0 , 180 0 , 270 0 , -270 0 dengan
memasukkan nilai θ tersebut didapat table sbb: ⎛ x' ⎞ ⎛ 0 − 1⎞ ⎛ 1 ⎞
⇔ ⎜ '⎟ = ⎜
⎜y ⎟ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 3⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Rotasi Bayangan Matriks
R(O, 90 0 ) (-y, x) ⎛ 0 − 1⎞ ⎛ x ' ⎞ ⎛ − 3⎞
⎜ ⇔ ⎜ '⎟ = ⎜ ⎟
⎜1 0 ⎟ ⎟ ⎜y ⎟ ⎜ 1 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
R(O, -90 0 ) (y, -x) ⎛ 0 1⎞
⎜
⎜ −1 0⎟
⎟ ⎛ x' ⎞ ⎛ 0 1⎞ ⎛ x ⎞
⎝ ⎠ b. ⎜ '⎟ = ⎜
⎜ −1 0⎟ ⎜ y ⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎜y ⎟
R(O, 180 0 ) (-x, -y) ⎛−1 0 ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎜
⎜ 0 − 1⎟⎟
⎝ ⎠ ⎛ x' ⎞ ⎛ 0 1 ⎞ ⎛1⎞
R(O, 270 ) 0 (y, -x) ⎛ 0 1⎞ ⇔ ⎜ '⎟ = ⎜
⎜y ⎟ ⎜ − 1 0 ⎟ ⎜ 3⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎜
⎜ −1 0⎟
⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
R(O, -270 0 ) (-y, x) ⎛ 0 − 1⎞ ⎛ x' ⎞ ⎛ 3 ⎞
⎜
⎜1 0 ⎟ ⎟ ⇔ ⎜ '⎟ = ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎜ y ⎟ ⎜ −1⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2. Rotasi terhadap titik pusat P(a, b)
D. Perkalian atau Dilatasi
(dilambangkan dengan R(O, θ )
Transformasi yang mengubah jarak titik-titik dengan
Jika suatu titik P (x,y) diputar sejauh θ berlawanan
factor pengali tertentu terhadap suatu titik tertentu.
dengan arah jam terhadap titik pusat A(a,b) maka
Perkalian atau dilatasi ini ditentukan oleh factor skala
bayangannya adalah P ' (x ' , y ' ) dengan
(k) dan pusat dilatasi.
x ' - a = (x –a) cos θ - (y-b) sin θ
1. Dilatasi terhadap titik pusat O(0,0)
y ' - b = (x – a) sin θ + (y- b) cos θ
Persamaan matriknya: Pemetaannya:
⎛ x' ⎞ ⎛ cos θ − sin θ ⎞ ⎛ x − a⎞ ⎛a⎞ [O, k] : P(x,y) → P ' (kx, ky)
⎜ '⎟ = ⎜
⎜ sin θ ⎟ ⎜
⎜ y − b⎟ + ⎜b⎟
⎜y ⎟
⎝ ⎠ ⎝ cos θ ⎟⎠ ⎝
⎟ ⎜ ⎟
⎠ ⎝ ⎠ persamaan matriksnya :
⎛ x' ⎞ ⎛k 0⎞ ⎛ x⎞
⎜ '⎟ = ⎜
⎜0 k ⎟ ⎜ y⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎜y ⎟
Contoh soal: ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1. Titik B(1,3) dirotasikan terhadap titik (0,0). 2. Dilatasi terhadap titik pusat A(a,b)
Tentukan Bayangan titik B apabila titik B dirotasikan
a. sejauh 90 0 berlawanan arah dengan jarum jam Titik P(x,y) dilatasi terhadap titik pusat A (a,b)
b. sejauh 90 0 searah jarum jam dengan factor skala k, didapat bayangan P ' ( x ' , y ' )
dengan:
www.matematika-sma.com - 3

4. masukkan ke dalam persamaan matriks:
⎛ 1 ⎞
' '
x - a = k(x - a) dan y - b = k (y - b)
⎛ x' ⎞ ⎜− 0 ⎟ ⎛ −1 − 2⎞ ⎛ 2⎞
⎜ '⎟ = ⎜ 2 ⎟ ⎜
⎜ ⎟ +⎜ ⎟
⎟ ⎜ ⎟
Persamaan matriksnya : ⎜y ⎟ ⎜ 0 − 1 ⎟ ⎝ 2 − 3 ⎠ ⎝ 3⎠
⎝ ⎠ ⎜ ⎟
⎝ 2⎠
⎛ x' ⎞ ⎛k 0⎞ ⎛ x − a⎞ ⎛a⎞ ⎛ 1 ⎞
⎜ '⎟ = ⎜
⎜ 0 k ⎟ ⎜ y − b⎟ + ⎜b⎟
⎜y ⎟
⎝ ⎠ ⎝
⎟ ⎜
⎠ ⎝
⎟ ⎜ ⎟
⎠ ⎝ ⎠ ⎛ x' ⎞ ⎜ − 2 0 ⎟ ⎛ − 3⎞ ⎛ 2 ⎞
⇔ ⎜ '⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
⎜y ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ − 1⎟ ⎜ 3 ⎟
⎝ ⎠ ⎜ 0 − ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ 2⎠
⎛ x' ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ x' ⎞ ⎛ 7 ⎞
Contoh: ⇔ ⎜ ' ⎟ = ⎜ 2⎟ + ⎜ ⎟ ⇔ ⎜ ' ⎟ = ⎜ 2⎟
⎜ y ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 3⎟ ⎜ y ⎟ ⎜7 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 2⎠
1. Bayangan titik B(1,3) dilatasi terhadap titik pusat O(0,0)
dengan factor skala 2 adalah: Jadi bayangan titik B(-1, 2) dilatasi terhadap titik pusat
1
Jawab: A(2,3) dengan skala - adalah B ' ( 7 , 7 )
2 2 2
⎛ x' ⎞ ⎛k 0⎞ ⎛ x⎞
⎜ '⎟ = ⎜
⎜0 k ⎟ ⎜ y⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎜y ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ E. Transformasi oleh suatu Matriks.
k = 2, x = 1 ; y = 3 masukkan ke dalam pers matriks: Suatu titik A (x,y) ditransformasikan oleh
⎡a b ⎤
matriks ⎢ menjadi A ' ( x ' , y ' ).
⎛ x' ⎞ ⎛ 2 0 ⎞ ⎛1⎞ ⎣ c d⎥⎦
⎜ '⎟ = ⎜
⎜ 0 2 ⎟ ⎜ 3⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎜y ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Hubungan di atas dapat dituliskan dalam persamaan
didapat : matriks:
x ' = 2 dan y ' = 6 ⎛ x' ⎞ ⎛a b ⎞ ⎛ x⎞
⎜ '⎟ = ⎜
⎜c d ⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎜ y⎟
⎜y ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Jadi bayangan titik B(1,3) dilatasi terhadap titik pusat
O (0,0) dengan factor skala 2 adalah B ' (2,6) Contoh:
⎡ 2 4⎤
2. Bayangan titik B(-1,2) dilatasi terhadap titik pusat A(2,3) Hasil transformasi matriks ⎢ ⎥ terhadap titik
1 ⎣3 5⎦
dengan factor skala - adalah: B(2, -3) adalah…
2
jawab:
jawab:
⎛ x' ⎞ ⎛k 0⎞ ⎛ x − a⎞ ⎛a⎞
⎜ '⎟ = ⎜
⎜ 0 k ⎟ ⎜ y − b⎟ + ⎜b⎟
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ x' ⎞ ⎛a b ⎞ ⎛ x⎞
⎜y ⎟ ⎜ '⎟ = ⎜
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜y ⎟ ⎜c d ⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎜ y⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1
k= - ; x = -1 ; y = 2 ; a = 2 ; b ; 3 ⎛ x' ⎞ ⎛ 2 4⎞ ⎛ 2 ⎞
⎜ '⎟ = ⎜
⎜ y ⎟ ⎜ 3 5 ⎟ ⎜ − 3⎟
2
⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
www.matematika-sma.com - 4

5. ⎛ x' ⎞ ⎛ − 8⎞ contoh:
⇔ ⎜ '⎟ = ⎜ ⎟
⎜ y ⎟ ⎜ − 9⎟ ⎛ 3⎞
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Titik B(2,4) ditranslasikan oleh T 1 ⎜ ⎟ kemudian
⎜ 4⎟
⎝ ⎠
Jadi B ' adalah (-8, -9) ⎛1⎞
dilanjutkan dengan T 2 ⎜ ⎟ , bayangan titik B adalah…
⎜ 2⎟
⎝ ⎠
jawab:
F. Kompisisi Transformasi
⎛a⎞ ⎛ c ⎞ ⎛a +c⎞
T = T 2 o T1 = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = ⎜
⎜b⎟ ⎜d ⎟ ⎜b + d ⎟
⎟
Gabungan dari beberapa transformasi disebut dengan ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
komposisi transformasi.
⎛ 1 + 3 ⎞ ⎛ 4⎞
Transformasi T 1 dilanjutkan dengan transformasi T 2 =⎜
⎜ 2 + 4⎟ = ⎜ 6⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
terhadap suatu titik P (x,y) :
⎛ x ⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 4⎞ ⎛ 6 ⎞
''
⎜ '' ⎟ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟
⎜ y ⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎜ 6 ⎟ ⎜10 ⎟
Dalam bentuk bagan urutan transformasi dapat ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
diperlihatikan sbb:
T1 T2 jadi bayangannya adalah (6,10)
P(x,y) → P ( x , y ) → P '' (x '' , y '' )
' ' '
2. Komposisi Refleksi
Pengerjaan transformasi ini dapat ditulis dengan: a . Komposisi dua refleksi terhadap sumbu-sumbu sejajar
T 2 o T1
1. Sejajar terhadap sumbu x
Jika titik P ' ( x ' , y ' ) adalah hasil pencerminan ter-
T 2 o T 1 P(x,y) P '' (x '' , y '' )
hadap garis y = a dan titik P '' (x '' , y '' ) adalah hasil
pencerminan titik P ' ( x ' , y ' ) terhadap garis y = b.
(lihat gambar)
1. Komposisi dua translasi
y
• P '' (x '' , y '' )
⎛a⎞ ⎛c⎞
Jika translasi T 1 ⎜ ⎟ dan T 2
⎜b⎟ ⎜ ⎟,
⎜d ⎟ y =b
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
b
komposisi translasi T 1 dilanjutkan dengan T 2 • P'( x', y')
dapat diwakili oleh translasi tunggal yang ditentukan
oleh: y=a
a
⎛a⎞ ⎛ c ⎞ ⎛a + c⎞ • P ( x,y )
T 2 o T1 = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = ⎜
⎜b⎟ ⎜d ⎟ ⎜b + d ⎟
⎟ x
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
y=a
sifat-sifat komposisi translasi
P ( x,y ) P ' (x, 2a – y)
1. Untuk dua translasi berurutan berlaku
y=b
T 1 o T 2 = T 2 o T 1 (komutatif) '
P (x, 2a – y) P '' ( x, 2b –(2a-y) )
P '' ( x, 2(b –a) +y )
2. Untuk tiga translasi berurutan berlaku
(T 1 o T 2 ) o T 3 = T 1 o ( T 2 o T 3 ) (asosiatif) P '' ( x, 2 d +y )
d= b–a jarak antara dua sumbu yang sejajar
www.matematika-sma.com - 5

6. Jadi jika transformasi pencerminan terhadap garis b . Komposisi dua refleksi terhadap sumbu-sumbu
y = a disebut dengan M y = a dan transformasi saling tegak lurus
pencerminan terhadap garis y = b disebut dengan
M y=b , maka Jika titik P ' ( x ' , y ' ) adalah hasil pencerminan titik
P (x, y) terhadap garis x = a dan titik P '' (x '' , y '' ) adalah
hasil pencerminan titik P ' ( x ' , y ' ) tehadap garis y=b.
M y =b o M y = a
P (x, y) P '' ( x, 2 d +y ) ; d = b – a
2. Sejajar terhadap sumbu y
Jika titik P ' ( x ' , y ' ) adalah hasil pencerminan ter-
hadap garis x = a dan titik P '' (x '' , y '' ) adalah hasil
pencerminan titik P ' ( x ' , y ' ) terhadap garis x = b
(lihat gambar)
y
' ' ' '' '' ''
P ( x, y ) P (x ,y ) P (x , y )
• • • Maka:
x=a
P ( x,y ) P ' ( (2a-x), y)
y=b
x '
P (2a-x, y) P '' (2a-x, 2b-y)
x =a x=b
Jadi
x=a M y=b o M x = a
P ( x,y ) P ' ( (2a-x), y)
P ( x,y ) P '' (2a-x, 2b-y)
x=b
'
P (2a-x, y) P '' (2b –(2a-x),y ) Pencerminan terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus
ekuivalen dengan rotasi pusat perpotongan dua sumbu dan
P '' ( (2b- 2a)+ x, y )
sudut putar 180 0 , ditulis sbb:
P '' ( (2(b- a)+ x, y )
P '' (2 d +x, y )
M y =b o M x = a = R((a,b), 180 0 )
d= b–a jarak antara dua sumbu yang
sejajar c . Komposisi dua refleksi terhadap sumbu-sumbu
saling berpotongan
Jadi jika transformasi pencerminan terhadap
garis x = a disebut dengan M x = a dan Pencerminan terhadap dua sumbu yang saling
berpotongan akan menghasilkan rotasi yang bersifat:
Transformasi pencerminan terhadap garis x = 1. Titik potong kedua sumbu pencerminan adalah pusat
b disebut dengan M x =b , maka perputaran
2. Besar sudut putar adalah dua kali sudut antara kedua
M x =b o M x = a sumbu pencerminan
(x, y) P '' (2d + x, y ) ; d = b – a 3. Arah perputaran sama dengan arah dari sumbu pertama
ke sumbu kedua.
www.matematika-sma.com - 6

7. Pemetaannya dapat ditulis sbb: Luas Bangun A ' = |det T | x Luas bangun A
M 2 o M 1 = R(T, 2 θ ) |det T | dinamakan factor perbesaran luas, merupakan nilai
mutlak determinan matriks T.
T = titik potong kedua sumbu
θ = sudut antara kedua sumbu | det T | = |ad – bc|
3. Komposisi Rotasi Contoh soal:
Dua rotasi berurutan yang sepusat ekivalen dengan Diketahui segitiga ABC dengan koordinat A(1,1), B(1,5),
rotasi sejauh jumlah kedua sudut rotasinya terhadap C(6,1). Berapa luas bayangan segitiga ABC oleh
pusat yang sama. transformasi yang bersesuaian dengan
⎛ 1 3⎞
matriks ⎜
⎜ − 2 2⎟ ?
⎟
Jika R 1 = R (0, θ ) dan R 2 = R(0, β ) ⎝ ⎠
maka:
Jawab:
R 2 o R 1 = R(0, ( θ + β ) )
Komposisi Transformasi dengan Matriks
Jika T 1 adalah transformasi yang bersesuaian dengan
⎛a b ⎞
matriks M 1 = ⎜⎜ c d ⎟ dan T 2 adalah transformasi
⎟
⎝ ⎠
⎛c d ⎞
yang bersesuaian dengan matriks M 2 = ⎜ ⎜ e f ⎟ maka
⎟ diketahui ∆ ABC :
⎝ ⎠ Alas = AC = 5 ; tinggi = AB=4
komposisi transformasi :
1 1
Luas ∆ ABC = x alas x tinggi = x AC x AB
1. T 2 o T 1 adalah perkalian matriks M 2 . M 1 2 2
⎛c d ⎞ ⎛a b ⎞
M 2 . M1 = ⎜ ⎜e f ⎟ ⎜c d ⎟
⎟⎜ ⎟ 1
⎝ ⎠⎝ ⎠ = . 5 . 4 = 10 satuan luas
2
2. T 1 o T 2 adalah perkalian matriks M 1 . M 2
∆ ABC ditransformasikan yang bersesuaian dengan matriks
⎛ 1 3⎞
⎛a b ⎞ ⎛c d⎞ ⎜
⎜ − 2 2⎟ .
⎟
⎜ c d ⎟ ⎜e
M1. M 2 = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠
⎝ ⎠⎝ f⎟
⎠ Misal matriks ini adalah T, maka:
|det T | = |1 .2 – 3(-2) | = |2 + 6| = 8
Luas daerah bangun hasil transformasi
Luas bayangan ∆ ABC = |det T | x Luas ∆ ABC
⎛a b ⎞
Jika matriks transformasi T = ⎜
⎜c d ⎟
⎟
⎝ ⎠ = 8 x 10
= 80 satuan luas
mentransformasikan bangun A menjadi bangun A ' ,
maka :
www.matematika-sma.com - 7

8. Tabel macam-macam Transformasi dan matriksnya :
No Transformasi Notasi Matriks
⎛a⎞ P(x 1 ,y 1 ) → P ' ( x 1 + a, y 1 + b ) ⎛a⎞
1 Translasi ⎜ ⎟
⎜b⎟ ⎜ ⎟
⎜b⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 Pencerminan terhadap sumbu X P(x,y) → P ' (x, -y) ⎛1 0 ⎞
(Refleksi) ⎜
⎜ 0 − 1⎟
⎟
⎝ ⎠
3 Pencerminan terhadap sumbu Y P(x,y) → P ' (-x, y) ⎛ −1 0⎞
(Refleksi) ⎜
⎜ 0 1⎟ ⎟
⎝ ⎠
4 Pencerminan terhadap titik asal P(x,y) → P ' (-x, -y) ⎛−1 0 ⎞
(0,0) ⎜
⎜ 0 − 1⎟
⎟
⎝ ⎠
5 Pencerminan terhadap garis y = x P(x,y) → P ' (y, x) ⎛0 1⎞
⎜
⎜1 0⎟
⎟
⎝ ⎠
6 Pencerminan terhadap garis y = -x P(x,y) → P ' (-y, -x) ⎛ 0 − 1⎞
⎜
⎜−1 0 ⎟⎟
⎝ ⎠
7 Pencerminan terhadap garis x = h P(x,y) → P ' (2h – x , y)
8 Pencerminan terhadap garis y = k P(x,y) → P ' ( x , 2k - y)
9 Pencerminan terhadap titik (a,b) P(x,y) → P ' ( 2a-x, 2b - y)
⎛ cos θ − sin θ ⎞
Rotasi terhadap titik pusat O(0,0) P(x,y) → P (x cos θ - y sin θ , x sin θ + y cos
10 '
⎜
⎜ sin θ ⎟
cos θ ⎟
R(O, θ ) berlawanan arah jam θ) ⎝ ⎠
11 Rotasi terhadap titik pusat P(a, b) x ' - a = (x –a) cos θ - (y-b) sin θ ⎛cos −sin ⎞ ⎛ x − a ⎞ ⎛ a ⎞
θ θ
R(O, θ ) berlawanan ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜sin cos ⎟ ⎜ y − b ⎟ + ⎜ b ⎟
y ' - b = (x – a) sin θ + (y- b) cos θ ⎝ θ θ ⎟⎝
⎠ ⎠ ⎝ ⎠
dengan arah jam
12 Dilatasi terhadap titik pusat O(0,0) [O, k] : P(x,y) → P ' (kx, ky) ⎛k 0⎞ ⎛ x⎞
⎜
⎜0 ⎟ ⎜ ⎟
⎝ k⎟
⎠
⎜ y⎟
⎝ ⎠
13 Dilatasi terhadap titik pusat A(a,b) x ' - a = k(x - a) ⎛k 0⎞ ⎛ x − a⎞ ⎛a⎞
⎜
⎜0 ⎟⎜ ⎟ +⎜ ⎟
y ' - b = k (y - b) ⎝ k ⎟ ⎜ y − b⎟ ⎜b⎟
⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
* T 2 o T1 Transformasi T 1 dilanjutkan oleh T 2
Jika M 1 dan M 2 adalah matriks transformasi T 1 dan
T 2 maka T 2 o T 1 adalah M 2 x M 1
www.matematika-sma.com - 8