The document discusses the Bolzano-Weierstrass theorem, which states that every bounded real number sequence has a convergent subsequence. It first provides definitions of sequences and subsequences. It then proves the theorem by showing that every sequence has a monotonic subsequence by considering cases where the sequence has infinitely many peaks or finitely many peaks. The proof establishes the existence of convergent subsequences for bounded sequences.

1. The
Balzano-
Weierstrass
Theorem

2. Pada bagian ini kita akan memperkenalkan pengertian tentang barisan bilangan real. Secara informal, sub
barisan adalah pemilihan istilah dari barisan yang diberikan sehingga istilah yang dipilih membentuk
barisan baru. Biasanya pemilihan dilakukan untuk tujuan tertentu. Misalnya, subbarisan sering berguna
dalam menetapkan konvergensi atau divergensi barisan. Kita juga akan membuktikan teorema keberadaan
penting yang dikenal sebagai Teorema Bolzano-Weierstrass, yang akan digunakan untuk menetapkan
sejumlah hasil yang signifikan.
3.4.1. Definisi. Misalkan X = (𝑥𝑛) barisan dan 𝑛1 < 𝑛2< ... < 𝑛𝑘 < ..., barisan bilangan asli yang naik. Maka
barisan X’ dalam R yang diberikan oleh
Disebut subbarisan dari X
Sub barisan

3. Sebagai contoh, jika X :=(
1
1
,
1
2
,
1
3
, … ), maka memilih angka genap itu menghasilkan subbarisan.
Dimana 𝑛1 = 2, 𝑛2 = 4, . . . , 𝑛𝑘 = 2𝑘, . . . . Subbarisan lain dari X =
1
2
adalah sebagai berikut :
berikut bukan merupakan subbarisan dari X =
1
𝑛
:
ekor suatu barisan adalah jenis subbarisan khusus, ekor-m bersesuaian dengan suatu barisan yang di tentukan dengan
𝑛1 = 𝑚 + 1, 𝑛2 = 𝑚 + 2, . . . . , 𝑛𝑘 = 𝑚 + 𝑘, . . . .
Tetapi tidak semua subbarisan merupakan ekor barisan
subbarisan dari barisan konvergen juga konvergen ke limit yang sama, seperti yang akan kita tunjukkan berikut

4. 3.4.2. Teorema. Jika suatu barisan bilangan real X = 𝑥𝑛 konvergen ke x, maka
sebarang subbarisan dari X juga konvergen ke x.
Bukti : Misalkan ε > 0 diberikan dan pilih bilangan asli Κ(ε) sedemikian sehingga
jika n ≥ Κ(ε), maka 𝑥𝑛 − 𝑥 < 𝜀. Karena 𝑛1 < 𝑛2 < ⋯ < 𝑛𝑘 < ⋯... adalah barisan
bilangan real naik maka dapat dibuktikan (dengan induksi) bahwa 𝑛𝑘 ≥ 𝑘 . Dari sini,
bila 𝑘 ≥ 𝐾(𝜀), kita juga mempunyai 𝑛𝑘 ≥ 𝑘 ≥ 𝐾 𝜀 , dengan demikian .
Oleh karena itu subarisan juga konvergen ke x.

5. 3.4.3 Beberapa contoh (a). lim (𝑏𝑛
) = 0 bila 0 < b < 1.
Kita telah melihat, pada Contoh 3.1.11 (b), bahwa bila 0 < b < 1 dan bila 𝑥𝑛 ≔ 𝑏𝑛
,
maka dari Ketaksamaan Bernoulli diperoleh bahwa lim 𝑥𝑛 = 0. Cara lain, kita
melihat bahwa karena 0 < b < 1, maka 𝑥𝑛+1 = 𝑏𝑛+1
< 𝑏𝑛
= 𝑥𝑛 dengan demikian
(𝑥𝑛) adalah barisan turun. Jelas juga bahwa 0 ≤ 𝑥𝑛 ≤ 1, sehingga menurut Teorema
Konvergensi Monoton 3.3.2 barisan tersebut konvergen. Misalkan 𝑥 ≔ lim 𝑥𝑛.
Karena (𝑥2𝑛) subbarisan dari (𝑥𝑛) menururt Teorema 3.4.2 maka x = lim (𝑥2𝑛) . Di
lain pihak, karena 𝑥2𝑛 = 𝑏2𝑛
= 𝑏𝑛.2
= 𝑥𝑛
2
, menurut Teorema 3.2.3 diperoleh
Oleh karena itu kita mesti mempunyai x = 0 atau x = 1. Karena 𝑥𝑛 barisan turun
dan terbatas di atas oleh b˂ 1, maka haruslah x = 0.

6. (b). lim (𝑐1/𝑛
) = 1untuk c > 1.
Limit ini telah diperoleh dalam contoh 3.1.11 (c) untuk c > 0, dengan pemikiran argumen yang banyak
diakal-akali. Di sini kita melihat pendekatan lain untuk kasus c > 1. Perhatikan bahwa jika 𝑧𝑛 ≔ 𝑐1/𝑛
,
maka 𝑧𝑛 > 1 dan 𝑧𝑛+1 < 𝑧𝑛 untuk semua n∈N. Jadi dengan menggunakan Teorema Konvergensi
Monoton, 𝑧 ≔ 𝑙𝑖𝑚(𝑧𝑛) ada. Menurut teorema 3.4.2, berlaku z = lim(𝑧2𝑛). Di lain pihak, karena
dan Teorema 3.2.10, maka
Karena itu 𝑧2
= 𝑧 yang menghasilkan z = 0 atau z = 1. Karena 𝑧𝑛 > 1 untuk semua n∈N, maka haruslah
z = 1.
Untuk kasus 0 < c < 1, kita tinggalkan sebagai latihan.
Kegunaan subbarisan membuatnya mudah untuk menyajikan uji divergensi suatu barisan

7. 3.4.4 teorema. Misa 𝑋 = (𝑥𝑛) barisan dari bilangan riil. Maka yang berikut ini setara :
(i) barisan 𝑋 = (𝑥𝑛) tidak konvergen ke 𝑥 untuk 𝑥 ∈ 𝑅
(ii) terdapat 𝜀0 > 0 seperti itu untuk sebarang 𝑘 ∈ 𝑁. Ada 𝑛𝑘 ∈ 𝑁 seperti 𝑛𝑘 ≥ 𝑘 dan 𝑥𝑛𝑘
− 𝑥 ≥ 𝜀0
(iii) terdapat 𝜀0 > 0 dan subbarisan 𝑋′
= (𝑥𝑛𝑘
) dari 𝑥 seperti 𝑥𝑛𝑘
− 𝑥 ≥ 𝜀0 untuk semua k ∈ 𝑅
bukti
(i)→(ii) jika (𝑥𝑛) tidak konvergen ke 𝑥, kemudian untuk beberapa 𝜀0 > 0 itu tidak mungkin di temukan sebuah
bilangan asli 𝑘 untuk semua n ≥ 𝑘 istilahnya 𝑥𝑛m memenuhi 𝑥𝑛 − 𝑥 < 𝜀0. Bahwa untuk setiap 𝑘 ∈ 𝑁 itu
tidak benar bahwa untuk semua n ≥ 𝑘 ketidaksetaraan 𝑥𝑛 − 𝑥 < 𝜀0 berlaku. Dengan kata lain untuk setiap k ∈
𝑅 ada bilangan asli 𝑛𝑘 > 𝑘 seperti 𝑥𝑛𝑘
− 𝑥 ≥ 𝜀0

8. (ii)→(iii) misalkan 𝜀0 seperti pada (ii) dan misalakan 𝑛1 ≥ 1 dan 𝑥𝑛1
− 𝑥 ≥ 𝜀0. Sekarang
misalkan 𝑛2 ∈ 𝑁 sehingga 𝑛2 > 𝑛1 dan 𝑥𝑛2
− 𝑥 ≥ 𝜀0 ; misalkan 𝑛3 ∈ 𝑁 sehingga 𝑛3 > 𝑛2
dan 𝑥𝑛3
− 𝑥 ≥ 𝜀0. Dengan meneruskan cara ini diperoleh subbarisan 𝑋′
= (𝑥𝑛𝑘
) dari 𝑋
sehingga 𝑥𝑛𝑘
− 𝑥 ≥ 𝜀0 untuk setiap k ∈ 𝑅
(iii)→(i) Misalkan 𝑋 = (𝑥𝑛) mempunyai subbarisan 𝑋′
= (𝑥𝑛𝑘
) memenuhi kondisi (iii), maka 𝑋
tidak mungkin konvergen ke 𝑥. Karena andaikan demikian . Maka menurut Teorema 3.4.2 subbarisan
𝑋′
juga akan konvergen ke 𝑥. Tetapi ini tidak mungkin suku dari 𝑥 termuat 𝜀0- lingkungan dari 𝑥
lanjutan

9. 3.4.5 Kriterian Divergen
jika suatu bilangan real 𝑋 = (𝑥𝑛) memiliki salah satu di bawah ini, maka 𝑋 divergen
(i) 𝑋 memiliki dua subbarisan konvergen 𝑋′
= (𝑥𝑛𝑘
) dan 𝑋′′
= (𝑥𝑟𝑘
) yang batasnya tidak sama
(ii) 𝑋 tidak terbatas
3.4.6 Contoh
a. Barisan 𝑋;=( −1)n
divergen
subbarisan 𝑋′
≔ ( −1)2𝑛
= (1,1, … ) konvergen ke 1, dan subbarisan 𝑋′′
:=( −1)2n−1
= (−1, −1, … )
konvergen ke −1. Oleh karena itu dapat disimpulkan menurut teorema 3.4.5 (i) bahwa barisan diatas divergen.
b. Barisan (1,
1
2
, 3,
1
4
, ) divergen
ini adalah barisan 𝑌 = (𝑦𝑛), dimana 𝑦𝑛 = 𝑛 jika 𝑛 ganjil, dan 𝑦𝑛 =
1
𝑛
jika 𝑛 genap. Secara mudah dapat
dilihat bahwa barisan ini tidak terbatas. Maka menurut teorema 3.4.5 (ii) bahwa barisan diatas divergen

10. c. Barisan𝑆 ≔ (sin 𝑛) divergen
Gunakan sifat dasar fungsi sinus. Kita ingat kembali bahwa sin
𝜋
6
=
1
2
= sin(
5𝜋
6
) dan bahwa sin 𝑥 >
1
2
untuk
𝑥 pada interval 𝐼1 ≔ (
𝜋
6
,
5𝜋
6
). Karena panjang 𝐼1 adalah
5𝜋
6
−
𝜋
6
=
2𝜋
3
> 2. terdapat setidaknya dua bilangan asli
yang berada di dalam 𝐼1. Kita misalkan 𝑛1 menjadi bilangan pertama. Demikian pula, untuk setiap 𝑘 ∈ 𝑁,
sin 𝑥 >
1
2
untuk 𝑥 dalam interval
Karena panjang dari 𝐼𝑘 lebih dari 2, terdapat setidaknya dua bilangan asli yang berada didalam 𝐼𝑘: kita
misalkan 𝑛𝑘 menjadi salah satu bilangan pertamanya. Sub barisan 𝑆′
≔ (sin 𝑛𝑘) dari 𝑆 yang diperoleh dengan
cara ini memiliki sifat yang semua nilainya terletak pada interval
1
2
, 1 .

11. Demikian pula jika 𝑘 ∈ 𝑁 dan 𝐽𝑘 merupakan interval
Maka sudah terlihat bahwa sin 𝑥 > −
1
2
untuk semua x ∈ 𝐽𝑘 dan panjang dari 𝐽𝑘 lebih dari 2.
Misalkan 𝑚𝑘 menjadi bilangan asli pertama yang berada dalam 𝐽𝑘. Maka, subbarisan 𝑆′′
≔
sin 𝑚𝑘 dari 𝑆 memiliki sifat bahwa semua nilainya terletak pada interval −1, −
1
2
Diberikan sembarang bilangan riil c. sudah terlihat bahwa setidaknya satu dari subbarisan 𝑆′
dan
𝑆′′
sepenuhnya terletak diluar
1
2
- Lingkungan dari c . Oleh karena itu, c bukanlah suatu limit dari
S, karena c ∈ 𝑅 sembarang bilangan, kita simpulkan bahwa S divergen.
Lanjutan

12. Sementara tidak setiap barisan adalah barisan monoton, kita sekarang akan menunjukkan bahwa setiap barisan mempunyai
sub barisan monoton
3.4.7 teorema sub barisan monoton jika suatu barisan bilangan real 𝑋 = 𝑥𝑛 kemudian mempunyai subbarisan dari 𝑋 adalah
monoton
Bukti
Untuk pembuktian ini kita akan menyatakan suku ke 𝑚 𝑥𝑚 merupakan puncak bila 𝑥𝑚 ≥ 𝑥𝑛 untuk semua 𝑛 ≥ 𝑚.
Selanjutnya kita akan mempertimbangkan dua kasus.
Kasus 1. 𝑋 mempunyai sejumlah tak hingga puncak. Dalam kasus ini, kita mengurutkan puncak-puncak tersebut dengan
indeks naik. Jadi kita mempunyai puncak-puncak 𝑥𝑚1
, 𝑥𝑚2
, … , 𝑥𝑚𝑘
, … karena masing-masing suku tersebut puncak,
kita mempunyai 𝑥𝑚1
≥ 𝑥𝑚2
≥ ⋯ ≥ 𝑥𝑚𝑘
≥ ⋯
Karenanya subbarisan (𝑥𝑚𝑘
) merupakan subbarisan tak naik dari 𝑋
Eksistensi subbarisan monoton

13. X
Z
Y
X
Kasus 2. 𝑋 mempunyai sejumlah hingga (mungkin nol) puncak . Misalkan puncak-puncak ini
𝑥𝑚1
, 𝑥𝑚2
, … , 𝑥𝑚𝑘
. Misalkan 𝑆1 ≔ 𝑚𝑟 + 1 (indeks pertama setelah puncak terakhir). Karena 𝑥𝑆1
bukan
puncak, maka terdapat 𝑆2 > 𝑆1 sehingga 𝑥𝑠1
< 𝑥𝑠2
. Karena 𝑥𝑠2
bukan puncak, maka terdapat 𝑆3 > 𝑆2.
Sehingga 𝑥𝑠2
< 𝑥𝑠3
. Bila kiata meneruskan proses ini, kita peroleh subbarisan tak turun (bukan naik)
(𝑥𝑠𝑘
) dari 𝑋

14. —Someone Famous
The balzano Weierstrass Theorem

15. 3.4.8. Teorema Bolzana-Weierstrass. Setiap barisan terbatas dari bilangan riil
mempunyai subbarisan konvergen.
Bukti pertama
Mengikuti Teorema Subbarisan Monoton, maka barisan terbatas 𝑋 = (𝑥𝑛) mempu-
nyai subbarisan 𝑋′ = 𝑥𝑛𝑘 monoton. Subbarisan inipun juga terbatas, sehingga
menururt Teorema Konvergensi Monoton 3.32 𝑋′ = 𝑥𝑛𝑘 konvergen.

16. Bukti Kedua
Karena himpunan nilai 𝑥𝑛 ∶ 𝑛 𝜖 𝑁 dibatasi, himpunan ini terkandung dalam
interval 𝐼1 ≔ 𝑎, 𝑏 . Kami mengambil 𝑛1 ≔ 1.
Sekarang kita membagi 𝐼1menjadi dua sub-interval yang sama 𝐼1′ dan 𝐼1′′, dan
membagi himpunan indeks 𝑛 ∈ 𝑁 ∶ 𝑛 > 𝑛2 menjadi dua bagian:
𝐴1 ≔ 𝑛 ∈ 𝑁: 𝑛 > 𝑛1, 𝑥𝑛 ∈ 𝐼1′
𝐵1 ≔ 𝑛 ∈ 𝑁: 𝑛 > 𝑛1, 𝑥𝑛 ∈ 𝐼1′′
Jika 𝐴1 tidak terbatas, kita ambil 𝐼2 ≔ 𝐼1
"
dan misalkan 𝑛2 adalah bilangan asli
terkecil di 𝐴1. Jika 𝐴1 adalah himpunan terbatas maka 𝐵1 pasti tidak terbatas, dan
kita ambil Jika 𝐴1adalah himpunan terbatas, maka 𝐵1 pasti tidak terbatas, dan kita
ambil 𝐼2 ≔ 𝐼1" dan misalkan 𝑛2 adalah bilangan asli terkecil di 𝐵1

17. sekarang kita membagi 𝐼2 menjadi dua sub interval yang sama 𝐼2′ dan 𝐼2", dan bagi himpunan 𝑛 ∈ 𝑁: 𝑛 >

18. Teorema 3.4.8 disebut Teorema Balzano Weierstrass untuk barisan, karena merupakan versi lain yang
berhubungan dengan himpunan terbatas di 𝑅
Dari sini mudah dilihat bahwa barisan yang terbatas dapat mempunyai beberapa subbarisan yang konvergen
ke limit yang berbeda atau yang lainnya. Sebagai contoh, ((-1)n) mempunyai subbarisan yang konvergen ke
− 1, dan subbarisan yang lainnya konvergen ke +1 . Barisan ini juga mempunyai subbarisan yang divergen.
Ambil 𝑋 menjadi barisan dari bilangan riil dan 𝑋′
menjadi subbarisan dari 𝑋 . Maka 𝑋′
adalah sebuah
barisan itu sendiri, dan juga merupakan subbarisan. Catat jika 𝑋′′
adalah sub barisan dari 𝑋′
, kemudian juga
subbarisan dari 𝑋

19. X
Z
Y
X
3.4.9. Teorema. Misalkan 𝑋 = (𝑥𝑛) barisan terbatas dari bilangan real dan x∈R yang mempunyai sifat
bahwa setiap sub-barisan konvergen dari 𝑋 konvergen ke 𝑥. Maka barisan 𝑋 konvergen ke 𝑥.
Bukti. Andaikan M > 0 adalah barisan terbatas dari 𝑋, sehingga 𝑥𝑛 ≤ 𝑀 untuk setiap n∈N. Jika 𝑋 tidak
konvergen untuk 𝑥. Maka menurut Kriteria Divergensi 3.4.4 terdapat 𝜀0 > 0 dan subbarisan 𝑋′
= (𝑋𝑛𝑘
)
dari 𝑋 sehingga
Karena 𝑋′
subbarisan dari 𝑋, maka 𝑀 juga terbatas untuk 𝑋′
. Dari sini, menurut Teorema Bolzano-
Weierstrass bahwa 𝑋′
mempunyai subbarisan 𝑋′′
yang konvergen. Tetapi 𝑋′′
juga merupakan subbarisan
dari 𝑋, berdasarkan hipotesis itu konvergen untuk 𝑥. Karenanya, istilahnya pada akhirnya menjadi
persekitaran -ε0 dari x. Kontradiksi dengan

20. X
Z
Y
X
Limit Superior dan Limit Inferior
Barisan yang dibatasi oleh bilangan real (𝑥𝑛) mungkin atau mungkin tidak konvergen, tetapi kita tahu dari
3.4.8 Teorema Balzano Weierstrass bahwa akan ada barisan konvergen dan mungkin banyak barisan
konvergen. Bilangan real yang merupakan limit dari barisan (𝑥𝑛) disebut barisan limit dari (𝑥𝑛). Kita
misalkan 𝑆 menunjukkan himpunan semua subbarisan limit dari barisan terbatas (𝑥𝑛). Himpunan 𝑆
terbatas, karena barisannya adalah terbatas.
Misalnya, jika (𝑥𝑛) didefinisikan oleh 𝑥𝑛 ≔ (−1)𝑛
+
2
𝑛
, maka subbarisan (𝑥2𝑛) konvergen ke 1, dan
subbarisan (𝑥2𝑛−1) konvergen ke 1. sangat mudah terlihat bahwa himpunan subbarisan adalah 𝑆 =
−1,1 . Amati bahwa anggota terbesar dari barisan itu sendiri adalah 𝑥2 = 2, yang tidak memberikan
informasi mengenai aturan limit dari barisan.

21. ontoh ekstrem diberikan oleh himpunan semua bilangan rasional dalam interval 0,1 . Himpunan tak terhitung (lihat bagian 1.3) d
eh karena itu dapat ditulis sebagai barisan (𝑟𝑛). Kemudian dari .4.8 teorema kerapatan bahwa setiap angka dalam 0,1 adalah lim
bbarisan dari (𝑟𝑛). Demikianlah yang kita mempunyai S = 0,1
arisan terbatas (𝑥𝑛) yang divergen akan menampilkan beberapa bentuk osilasi. Itu aktivitas terkandung dalam interval menurun
bagai berikut. Intervalnya 𝑡1, 𝑢1 , dimana 𝑡1 ≔ 𝑖𝑛𝑓 𝑥𝑛: 𝑥 ∈ 𝑁 dan 𝑢1 ≔ 𝑠𝑢𝑝 𝑥𝑛: 𝑥 ∈ 𝑁 berisi seluruh barisan. Jika untuk
asing-masing 𝑚 = 1,2, … , kita definisikan 𝑡𝑚 ≔ 𝑖𝑛𝑓 𝑥𝑛: 𝑛 ≥ 𝑚 dan 𝑢𝑚 ≔ 𝑠𝑢𝑏 𝑥𝑛: 𝑛 ≥ 𝑚 barisan (𝑡𝑚) dan (𝑢𝑚) adalah
onoton dan kita memperoleh urutan interval yang bersarang 𝑡𝑚, 𝑢𝑚 dimana mth interval berisi ekor ke-m dari barisan

22. Diskusi sebelumnya menyarankan berbagai cara untuk menggambarkan aturan limit dari barisan
terbatas. Lainnya adalah untuk mengamati bahwa jika bilangan real v memiliki kelengkapan 𝑥𝑛 > 𝑣
untuk paling banyak jumlah nilai n yang terbatas, maka tidak ada subbarisan dari (𝑥𝑛) bisa konvergen
ke limit terbesar dari 𝑣 karena itu akan membutuhkan banyak syarat barisan lebih besar dari 𝑣. Dengan
kata lain, jika 𝑣 memiliki kelengkapan yang ada sedemikian rupa sehingga 𝑥𝑛 < 𝑣 untuk semua 𝑛 ∈ 𝑁,
maka tidak ada angka yang lebih besar dari 𝑣 dapat menjadi limit subbarisan dari (𝑥𝑛).
Pengamatan ini mengarah ke definisi limit superior barikut ini. Yang disertai definisi limit inferior
serupa

23. 3.4.10 definisi
Misalkan 𝑋 = (𝑥𝑛) barisan terbatas dari bilangan real.
(a) Limit Superior dari (𝑥𝑛) merupakan infimum himpunan V dengan 𝑣 ∈ 𝑅 sedemikian hingga 𝑣 < 𝑥𝑛untuk
suatu bilangan berhingga 𝑛 ∈ 𝑁. Di notasikan dengan
(b) limit inferior dari (𝑥𝑛) merupakan supremum himpunan 𝑤 ∈ 𝑅 sedemikian hingga 𝑥𝑚 < 𝑤 untuk paling
sedikit suatu bilangan berhingga 𝑚 ∈ 𝑁. Dinotasikan dengan

24. 3.4.11 Teorema
jika (𝑥𝑛) barisan terbatas dari bilangan real, maka pernyataan berikut untuk sebuah bilangan real 𝑥∗
adalah sama
a. 𝑥∗
= lim sup(𝑥𝑛
b. jika 𝜀 > 0, terdapat paling banyak suatu bilangan berhingga 𝑛 ∈ 𝑁 sedemikian hingga 𝑥∗
+ 𝜀 < 𝑥𝑛,
sedangkan uantuk suatu bilangan tak hingga 𝑛 ∈ 𝑁 sedemikian hingga 𝑥∗
− 𝜀 < 𝑥𝑛
c. Jika 𝑢𝑚 = 𝑠𝑢𝑝 𝑥𝑛: 𝑛 > 𝑚 , maka 𝑥∗
= 𝑖𝑛𝑓 𝑢𝑚: 𝑚 ∈ 𝑁 = lim(𝑢𝑚)
d. Jika 𝑆 merupakan himpunan subbarisan limit dari (𝑥𝑛), maka 𝑥∗
= sup 𝑆

25. a. Menyiratkan (b). Jika 𝜀 > 0, maka 𝑥∗
merupakan suatu infimum yang akan membuktikan bahwa ada
suatub 𝑣 elemen 𝑉 sedemikian hingga 𝑥∗
≤ 𝑣 < 𝑥∗
+ 𝜀. Oleh karena 𝑥∗
juga milik 𝑉, jadi akan ada paling
banyak suatu bilangan berhingga 𝑛 ∈ 𝑁 sedemikian hingga 𝑥∗
+ 𝜀 < 𝑥𝑛. Disisi lain, 𝑥∗
− 𝜀 bukan elemen
𝑉 sehingga terdapat suatu bilangan tak hingga 𝑛 ∈ 𝑁 sedemikian hingga 𝑥∗
− 𝜀 < 𝑥𝑛
b. Menyiratkan (c). Diberikan 𝜀 > 0, maka untuk semua 𝑚 yang cukup besar kita punya 𝑢𝑚 < 𝑥 + 𝜀. Oleh
sebab itu, 𝑖𝑛𝑓 𝑢𝑚: 𝑚 ∈ 𝑁 ≤ 𝑥∗
+ 𝜀. Sehingga terdapat suatu bilangan tak hingga 𝑛 ∈ 𝑁 sedemikian
hingga 𝑥∗
− 𝜀 < 𝑢𝑚 untuk semua m ∈ 𝑁 dan oleh sebab itu 𝑥∗
− 𝜀 ≤ 𝑖𝑛𝑓 𝑢𝑚: 𝑚 ∈ 𝑁 . Karena 𝜀 > 0
sembarang, kita simpulkan bahwa 𝑥∗
= 𝑖𝑛𝑓 𝑢𝑚: 𝑚 ∈ 𝑁 . Sehingga barisan (𝑢𝑚) monoton turun, jadi kita
punya inf 𝑢𝑚 = lim(𝑢𝑚)
bukti

26. c. Menyiratkan (d). Andaikan 𝑋′
= (𝑥𝑛𝑘
) merupakan barisan konvergen terhadap (𝑋 = 𝑥𝑛). Karena 𝑛𝑘 ≥ 𝑘,
kita punya 𝑥𝑛𝑘
≤ 𝑢𝑘 sehingga 𝑋′
≤ lim 𝑢𝑘 = 𝑥∗
. Sebaliknya, terdapat 𝑛1sedemikian hingga 𝑢1 − 1 ≤ 𝑥𝑛1
≤
𝑢1. Secara induktif, pilih 𝑛𝑘+1 > 𝑛𝑘 sedemikian hingga
Karena lim (𝑢𝑘) = 𝑥∗
sehingga 𝑥∗
= lim(𝑥𝑛𝑘
), jadi 𝑥∗
∈ 𝑆
d. Menyiratkan (a). Misalkan 𝑤 = sup 𝑆. Jika 𝜀 > 0 di berikan, maka terdapat paling banyak 𝑛 berhingga
dengan 𝑤 + 𝜀 < 𝑥𝑛. Karena itu, 𝑤 + 𝜀 elemen 𝑉 dan lim sup (𝑥𝑛) ≤ 𝑤 + 𝜀. Disisi lain, terdapat suatu
subbarisan (𝑥𝑛) konvergen terhadap beberapa bilangan yang lebih besar dari 𝑤 − 𝜀, sehingga 𝑤 − 𝜀 bukan
elemen 𝑉 sehingga 𝑤 − 𝜀 ≤ lim 𝑠𝑢𝑝(𝑥𝑛). Karena 𝜀 > 0 sembarang, kita simpulkan bahwa 𝑤 = lim𝑠𝑢𝑝 (𝑥𝑛).
lanjutan

27. Suatu barisan (𝑥𝑛) merupakan barisan yang
konvergen jika dan hanya jika
𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡 sup(𝑥𝑛) = lim inf(𝑥𝑛)
Teorema 3.4.12

28. CREDITS: This presentation template was created by
Slidesgo, including icons by Flaticon, and infographics &
images by Freepik.
Thanks