Dokumen tersebut membahas tentang elipsoida dan hiperboloida. Elipsoida adalah bentuk permukaan yang dihasilkan dari gerakan ellips pada bidang-bidang tertentu, sedangkan hiperboloida dihasilkan dari gerakan ellips atau hiperbola. Dokumen ini menjelaskan persamaan-persamaan yang mendefinisikan kedua bentuk permukaan tersebut beserta sifat-sifat sederhananya.

1. LUASAN BERDERAJAT
DUA
KELOMPOK 6

2. ELIPSOIDA

3. Ellipsoida
Pada bidang XOY terletak ellips dengan persamaan
Pada bidang YOZ terletak ellips dengan persamaan

4. Misalkan elips digerakkan sehingga
terletak pada bidang z = λ, persamaan ellips yang terletak
pada bidang tersebut adalah
atau
Dengan mengeliminasi λ dan persamaan ellips ini,
diperoleh persamaan

5. Ellipsoida

6. SIFAT-SIFAT SEDERHANA
ELIPSIODA

7. ElipsoIda
Pandang persamaaan elipsoida titik pusat yaitu
0, 0, 0
Persamaan bidang singgung pada elipsioda dapat dicari sebagai
berikut.
Misalkan 𝑇(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) merupakan titik singgungnya. Persamaan garis
yang melalui T dengan bilangan-bilangan arah p,q, dan r adalah
𝑥 − 𝑥1
𝑝
=
𝑦 − 𝑦1
𝑞
=
𝑧 − 𝑧1
𝑟
= 𝜆 . . (1)

8. Koordinat-koordinat titik-titik potong garis ini dengan elipsoida di atas, diperoleh sebagai berikut:
Salah satu akar persamaan kuadrat ini adalah λ1 = 0. Agar garis menyinggung elipsoida, maka
haruslah λ 1= λ2 = 0. Hal ini hanya terjadi untuk
2𝑝𝑥1
𝑎2 +
2𝑞𝑦1
𝑏2 +
2𝑟𝑧1
𝑐2 = 0

9. Dari persamaan (1) dan (2) kita mengeliminasi p, q dan r, sehingga kita memperoleh
Persamaan ini merupakan persamaan garis yang menyinggung elipsoida di T. Jadi
persamaan bidang singgung di T pada elipsoida adalah
𝑥1𝑥
𝑎2 +
𝑦1𝑦
𝑏2 +
𝑧1𝑧
𝑐2 = 1

10. Misalkan P( x0 , y0 , z0) suatu titik singgung dari bidang singgung yang melalui titik T.
Berdasarkan uraian di atas, persamaan bidang singgung di titik P adalah
Jika T terletak pada elipsoida maka
persamaan bidang kutub dari T merupakan
persamaan bidang singgung. Persamaan
batas bayangan dari T ( 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) :

11. LATIHAN
Tentukan semua titik-titik puncak elipsoida 9𝑥2 + 4𝑦2 + 36𝑧2 = 36, yang terletak di sumbu-
sumbu koordinat.
Penyelesaian :
 Persamaan elipsoida 9𝑥2 + 4𝑦2 + 36𝑧2 = 36 jika dinyatakan dalam bentuk kanonik
adalah

𝑥2
4
+
𝑦2
9
+ 𝑧2
= 1 .
 Berarti panjang setengah sumbu-sumbunya adalah a = 2, b = 3, c = 1.
 Jadi, koordinat-koordinat titik-titik puncaknya adalah (2,0,0), (-2,0,0), (0,3,0), (0,-3,0),
(0,0,1) dan (0,0,-1).

12. HIPERBOLOIDA
BERDAUN SATU

13. Hiperboloida berdaun satu
Ellips yang digerakkan terletak pada bidang XOY dengan
persamaan
dan persamaan garis arah dari ellips yang bergerak adalah
hiperbola pada bidang YOZ dengan persamaan
𝑧 = 0
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1
𝑥 = 0
𝑦2
𝑏2
−
𝑧2
𝑐2
= 1

14.  Selanjutnya ellips digerakkan dengan aturan:
a) bidangnya selalu sejajar dengan bidang XOY,
b) titik pusat ellips selalu terletak pada sumbu z,
c) dua dari puncaknya selalu terletak pada garis arah, dan
d) ellips yang digerakkan selalu tetap sebangun dengan ellips semula.
 Misalkan ellips digerakkan sehingga terletak pada bidang 𝑧 = 𝜆 dan setengah
sumbu-sumbunya adalah 𝑥0 dan 𝑦0 berturut-turut sumbu yang sejajar sumbu x
dan sumbu y.
 Karena memenuhi aturan a, b, dan c, maka titik 0, 𝑦0, 𝜆 terletak pada hiperbola
𝑥 = 0
𝑦2
𝑏2 −
𝑧2
𝑐2 = 1

15.  Sehingga memenuhi
𝑦0
2
𝑏2 −
𝜆2
𝑐2 = 1 atau
 Karena aturan a, b, dan d maka dipenuhi
𝑥0
𝑦0
=
𝑎
𝑏
𝒙𝟎
𝟐 =
𝑎2
𝑏2
𝑦0
2 =
𝑎2
𝑏2
𝑏2 1 +
𝜆2
𝑐2
= 𝒂𝟐 𝟏 +
𝝀𝟐
𝒄𝟐
 Jadi persamaan ellips yang terletak pada bidang 𝑧 = 𝜆 tersebut adalah:
𝑧 = 𝜆
𝑥2
𝑥0
2 +
𝑦2
𝑦0
2 = 1
Atau
𝑧 = 𝜆
𝑥2
𝑎2 1 +
𝜆2
𝑐2
+
𝑦2
𝑏2 1 +
𝜆2
𝑐2
= 1
𝑦0
2 = 𝑏2 1 +
𝜆2
𝑐2

16. Dengan mengeleminasi λ dan persamaan ellips ini,
diperoleh persamaan
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
−
𝑧2
𝑐2
= 1
Persamaan ini merupakan persamaan hiperboloida
berdaun satu dengan titik pusat O dan sumbu-
sumbunya berimpit dengan sumbu-sumbu
koordinat.
Jika 𝑎 = 𝑏 maka diperoleh hiperboloida putaran.

17. hiperboloida berdaun satu

18. SIFAT-SIFAT SEDERHANA
HIPERBOLOIDA BERDAUN
SATU

19. Hiperbola Berdaun Satu
Persamaan hiperbola berdaun satu
Dengan cara seperti pada elipsoida, diperoleh persamaan bidang singgung pada
hiperboloida berdaun satu di titik singgung T (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) :

20. Berikut ini, kita akan mengubah bentuk persamaan hiperbola berdaun satu.
Misalkan persamaan hiperboloida berdaun satu adalah
Bentuk ini dapat dinyatakan sebagai atau

21. Berarti ada dua susunan garis pada hiperboloida berdaun satu, yaitu:
Dengan 𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝜇 parameter.

22. Akan dibuktikan bahwa garis-garis dalam satu susunan saling bersilangan. Misalkan
persamaan garis-garis dalam satu susunan itu adalah:

23. Andaikan kedua garis tersebut berpototngan , maka terdapat harga x, y, dan z sehingga ….
Dari (a) dan (b) kita
memperoleh suatu
kontradiksi yaitu b=y=-b(
karena b=0).
Jadi pengandaian salah
dan haruslah kedua garis
dalam saru susunan
bersilangan.

24. Selanjutnya, kita akan membuktikanj uga bahwa garis-garis dalam susunan yang berlainan
adalah berpotongan.
Misalkan persamaan garis-garis dalam susunan garis yang berlainan itu adalah:
Dari empat persamaan ini kita memperoleh harga x dan z.
Akan ditunjukan bahwa untuk harga x dan z yang kita peroleh akan memberikan hanya satu
harga y sehingga x, y, dan z memenuhi keempat persamaan tersebut.

25. Dari empat persamaan di atas, kita mempunyai
Maka kita hanya memperoleh
satu harga y.
Jadi terdapat nilai x, y, dan z
yang memenuhi keempat
persamaan di atas yang berarti
bahwa kedua garis tersebut
berpotongan.

26. Setiap titik pada hiperboloida tentu memenuhi persamaan susunan
garis….
Berarti garis-garis ini merupakan garis-garis pelukis dari hiperbola.

27. LATIHAN
Diketahui sebuah persamaan 4x2 + 9y2 – z2 = 36. Tentukan :
a.Persamaan hiperboloida satu daunnya
b.Persamaan bidang yang membentuknya
c.Cara menggambar hiperboloida satu daunnya

28. PENYELESAIAN
A. Persamaan hiperboloida satu daun
 4x2 + 9y2 – z2 = 36

4
36
𝑥2 +
9
36
𝑦2 -
1
36
𝑧2 =
36
36

1
9
𝑥2 +
1
4
𝑦 -
1
36
𝑧2 = 1

𝑥2
9
+
𝑦2
4
-
𝑧2
36
= 1
B. Persamaan bidang yang membentuknya
- Persamaan 4x2 + 9y2 = 36 berbentuk elips pada xy, dan z = 0.
- Persamaan 4x2 – z2 = 36 berbentuk hiperbola pada xz, dan y = 0.
- Persamaan 9y2 – z2 = 36 berbentuk hiperbola pada yz, dan x = 0.

29. PENYELESAIAN
C. Cara menggambar hiperboloida satu daun
- Misalkan y = z = 0, maka

𝑥2
9
+
𝑦2
4
-
𝑧2
36
= 1 →
𝑥2
9
+
0
4
-
0
36
= 1

𝑥2
9
= 1
 𝑥2
= 9
 X= √9
 x= ± 3 ( titik potong)
- Misalkan x = z = 0, maka

𝑥2
9
+
𝑦2
4
-
𝑧2
36
= 1 →
0
9
+
𝑦2
4
-
0
36
= 1

𝑦2
4
= 1
 𝑦2
= 4
 y= √4
 y= ± 2 ( titik potong)
 Jadi, dari titik potong diatas maka didapatkan hiperboloida satu daun yang berbentuk sebagai berikut:

30. GAMBAR

31. HIPERBOLOIDA
BERDAUN DUA

32. Hiperboloida putaran berdaun dua
 Ellips yang digerakkan terletak pada bidang XOY
dengan persamaan :
 dan garis arah dari ellips yang digerakkan adalah hiperbola dengan
persamaan :

33.  Selanjutnya ellips digerakkan dengan aturan:
a. bidangnya selalu sejajar dengan bidang XOY,
b. titik pusat ellips selalu terletak pada sumbu z,
c. dua dari puncaknya selalu terletak pada garis arah, dan
d. ellips yang digerakkan selalu tetap sebangun dengan ellips semula.
 Misalkan ellips digerakkan sehingga terletak pada bidang 𝑧 = 𝜆 dan setengah sumbu-
sumbunya adalah 𝑥0 dan 𝑦0 berturut-turut sumbu yang sejajar sumbu x dan sumbu y.
 Karena memenuhi aturan a, b, dan c, maka titik 0, 𝑦0, 𝜆 terletak pada hiperbola
𝑥 = 0
𝑦2
𝑏2 −
𝑧2
𝑐2 = 1

34.  Sehingga memenuhi
−
𝑦0
2
𝑏2 +
𝜆2
𝑐2 = 1 atau
 Karena aturan a, b, dan d maka dipenuhi
𝑥0
𝑦2
0
=
𝑎
𝑏
𝒙𝟎
𝟐
=
𝑎2
𝑏2 𝑦0
2
=
𝑎2
𝑏2 𝑏2
𝜆2
𝑐2 − 1 = 𝒂𝟐
𝝀𝟐
𝒄𝟐 − 𝟏
 Jadi persamaan ellips yang terletak pada bidang 𝑧 = 𝜆 tersebut adalah:
𝑧 = 𝜆
𝑥2
𝑥0
2 +
𝑦2
𝑦0
2 = 1
Atau
𝑧 = 𝜆
𝑥2
𝑎2 𝜆2
𝑐2 − 1
+
𝑦2
𝑏2 𝜆2
𝑐2 − 1
= 1
𝑦0
2
= 𝑏2
𝜆2
𝑐2
− 1

35.  Dengan mengeleminasi λ dan persamaan ellips ini, diperoleh
persamaan
−
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
+
𝑧2
𝑐2
= 1
 Persamaan ini merupakan persamaan hiperboloida putaran berdaun
dua dengan titik pusat O dan sumbunya adalah sumbu z.
 Jika a = b maka persamaan ini menjadi persamaan hiperboloida
putaranberdaun dengan titik pusat O dan sumbunya adalah
sumbu Z.

36. hiperboloida putaran berdaun dua

37. SIFAT-SIFAT SEDERHANA
HIPERBOLOIDA BERDAUN
DUA

38. Hiperbola Berdaun Dua
Persamaan hiperbola berdaun dua
Dengan cara seperti elipsoida, diperoleh persamaan
bidang singgung di T ( 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) :
Persamaan bidang kutub dari titik T
( 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) Terhadap hiperboloida
berdaun dua
Jika titik T terletak pada
hiperboloida berdaun dua, maka
bidang kutub dari T menjadi bidang
singgung di T.

39. Contoh
Tentukan nilai m agar bidang x + mz - 1 = 0 memotong hiperboloida berdaun dua x2 + y2- z2= -2
dalam bentuk elips!
Penyelesaian :
Karena x + mz  1 = 0, maka x = 1  mz.
Substitusikan x ini ke dalam persamaan
hiperboloida berdaun dua, sehingga kita
mempunyai (1  mz)2 + y2- z2= -2
Setelah dijabarkan kita memperoleh (m2  1)z2 
2mz + y2= -2 atau
( 𝑚2 − 1 . 𝑧 −
𝑚
𝑚2 − 1
+ 𝑦2= −2 +
𝑚
𝑚2 − 1
Agar persamaan ini merupakan persamaan
elips, maka syaratnya adalah :
a. 𝑚2
− 1 > 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑚 +> 1
b. −2 +
𝑚
𝑚2−1
> 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 − 2 < 𝑚 <
− 1 𝑎𝑡𝑎𝑢 1 < 𝑚 < 2
Jadi, agar bidang x + mz -1 = 0 memotong
hiperboloida berdaun dua x2 + y2- z2= -2
dalam bentuk elips, maka harus dipenuhi
1 < m < 2 atau dapat di tulis secara
lengkap − 2 < 𝑚 < −1 𝑎𝑡𝑎𝑢 1 < 𝑚 < 2

40. PARABOLOIDA ELIPTIS

41. Paraboloida Ellips
Ellips yang digerakkan terletak pada bidang XOY dengan
persamaan
𝑍 = 0
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1
dan garis arah dari ellips yang bergerak adalah parabola pada
bidang YOZ dengan persamaan
𝑥 = 0
𝑦2
= 2𝑝𝑧

42.  Selanjutnya ellips digerakkan dengan aturan:
a. bidangnya selalu sejajar dengan bidang XOY,
b. titik pusat ellips selalu terletak pada sumbu z,
c. dua dari puncaknya selalu terletak pada garis arah, dan
d. ellips yang digerakkan selalu tetap sebangun dengan ellips semula.
 Misalkan ellips digerakkan sehingga terletak pada bidang 𝑧 = 𝜆 dan
setengah sumbu-sumbunya adalah 𝑥0 dan 𝑦0 berturut-turut sumbu yang
sejajar sumbu x dan sumbu y.
 Karena memenuhi aturan a, b, dan c, maka titik 0, 𝑦0, 𝜆 terletak pada
parabola
𝑥 = 0
𝑦2 = 2𝑝𝑧

43. sehingga memenuhi 𝒚𝟎
𝟐
= 𝟐𝒑𝝀
Karena aturan a, b, dan d maka dipenuhi
𝒙𝟎
𝒚𝟎
=
𝒂
𝒃
Atau 𝒙𝟎
𝟐
=
𝒂𝟐
𝒃𝟐 𝒚𝟎
𝟐
=
𝒂𝟐
𝒃𝟐 𝟐𝒑𝝀
Jadi persamaan ellips yang terletak pada bidang 𝑧 = 𝜆 tersebut
adalah :
𝒛 = 𝝀
𝒙𝟐
𝒂𝟐
𝒃𝟐 𝟐𝒑𝝀
+
𝒚𝟐
𝟐𝒑𝝀
= 𝟏

44. Dengan mengeleminasi 𝜆 dan persamaan ellips ini, diperoleh
persamaan
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
=
2𝑝
𝑐2
𝑧
Persamaan ini merupakan persamaan paraboloida ellips dengan
titik puncak di O.
Jika a = b maka persamaan ini menjadi persamaan paraboloida
putaran dengan sumbu z sebagai sumbu putarnya.

45. Paraboloida Ellips

46. SIFAT-SIFAT SEDERHANA
PARABOLOIDA ELIPTIS

47. Paraboloida Eliptis
Persamaan paraboloida eliptis
𝑥2
𝑎2+
𝑦2
𝑏2=
2𝑝
𝑏2z.
Dengan cara seperti elipsoida diperoleh persamaan bidang singgung di T (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) pada
paraboloida eliptis :
Persamaan bidang kutub dari T (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) terhadap paraboloida eliptis :
Jika titik T pada paraboloida eliptis, maka bidang kutub dari T menjadi bidang singgung di T.

48. LATIHAN PARABOLOIDA ELIPTIS
 Diberikan elips dengan persamaan z=0,
𝑥2
25
+
𝑦2
16
=1 dan parabola dengan
persamaan x=0,𝑦2
=16z tentukan luas yang terjadi bila elips tersebut
digerakkan dengan aturan:
1. Bidangnya selalu sejajar dengan bidang XOY.
2. Titik pusatnya tetap pada sumbu z.
3. Dua dari puncaknya selalu terletak pada parabola yang terletak pada
bidang YOZ.
4. Elips tetap sebangun dengan elips yang digerakkan.

49. PENYELESAIAN
 Misalkan elips pada bidang XOY yang diberikan yaitu:
 Z=0

𝑥2
25
+
𝑦2
16
=1
 Digerakkan sehingga terletak pada bidang z=λ dan setengah sumbu-sumbunya adalah xo dan yo
berturut-turut sumbu yang sejajar sumbu x dan sumbu y.
 Karena memenuhi aturan 1,2, dan 3,maka titik (0,yo,λ) terletak pada elips sehingga memnuhi
 x=0 dan yo=16z
 Karena menurut aturan 1, 2, dan 4 maka dipenuhi
𝑥𝑜
𝑦𝑜
=
5
4
atau

𝑥𝑜2
𝑦𝑜2=
𝑎2
𝑏2
𝑥𝑜2
𝑦𝑜2=
25
16
𝑥𝑜2=
25
16
= 𝑦𝑜2 𝑥𝑜2=
25
16
=16 λ

50. LANJUTAN
 Jadi persamaan elips yang terletak pada bidang z= λ tersebut adalah
 =
𝑥2
𝑥𝑜2+
𝑦2
𝑦𝑜2=1 =
𝑥2
25×16𝜆
16
+
𝑦2
𝑦𝑜2 = 1 =
𝑥2
25×16𝜆
16
+
𝑦2
16𝜆
= 1 =
(𝑥2×16)+(25×𝑦2)
25×16𝜆
=1
 [(𝑥2 × 16) + 25 × 𝑦2 = 25 × 16𝜆] ×
1
25×16
 =
𝑥2
25
+
𝑦2
16
=λ =
𝑥2
25
+
𝑦2
16
=z
 Sehingga persamaan parabola eliptis dengan sumbu z sebagai sumbunya adalah

𝑥2
25
+
𝑦2
16
=z.

51. PARABOLOIDA
HIPERBOLIS

52. Paraboloida Hiperbolis
Misalkan hiperbola yang digerakkan terletak pada bidang XOY
dengan persamaan
dan garis arahnya berupa parabola pada bidang YOZ dengan
persamaan

53.  Misalkan hiperbola digerakkan sehingga
terletak pada bidang z = λ, jadi persamaan hiperbola yang terletak pada z
= λ tersebut adalah
 Dengan mengeleminasi λ dan persamaan hiperbola ini, diperoleh
persamaan

54. GAMBAR
Paraboloida Hiperbolis

55. SIFAT-SIFAT SEDERHANA
PARABOLOIDA HIPERBOLIS

56. Paraboloida Hiperbolis
Persamaan paraboloida hiperbolis
Dengan cara seperti pada elipsoida, kita memperoleh persamaan bidang singgung di T (𝑥1,
𝑦1, 𝑧1) pada paraboloida hiperbolis :
Persamaan bidang kutub dari titik T (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) terhadap paraboloida hiperbolis

57. Jika titk T pada paraboloida hiperbolis,maka bidang kutub menjadi
bidang singgung. Seperti pada hiperboloida berdaun satu,
parabloida hiperbolis mempunyai dua susunan garis yang
diperoleh dari
Persamaan garisnya adalah
Dengan cara seperti pada hiperboloida
berdaun satu kita mempunyai sifat-
sifat:
1. Setiap dua garis dari satu susunan
sumbu tentu bersilangan;
2. Setiap dua garis dari susunan
sumbu yang berlainan tentu
berpotongan;
3. Setiap titik pada paraboloida
hiperbolik dilalui oleh satu garis
dari susunan A dan satu garis dari
susunan B.

58. Contoh
Tunjukan bahwa titik 𝐴( 1, 3, −1) terletak pada paraboloida hiperbolik 4𝑥2 − 𝑧2 = 𝑦.
Tentukan pula persamaan garis-garis pelukis yang melalui titik A!.
Penyelesaian:
karena koordinat=koordinat titik A memenuhi 4𝑥2
− 𝑧2
= 𝑦. Maka titik A terletak
pada paraboloida hiperbolik 4𝑥2 − 𝑧2 = 𝑦. Persamaan 4𝑥2 − 𝑧2 = 𝑦 dapat dinyatakan
dalam bentuk 2𝑥 − 𝑧 2𝑥 + 𝑧 = 𝑦. Persamaan susunan garisnya adalah :

59. Karena garis-garis pelukis melalui titik A, maka harus dipenuhi…
Jadi persamaan garis-garis pelukis yang melalui titik A adalah

60. SEKIAN TERIMA KASIH