aeで０である関数の証明

1. 𝐿2
𝐼 𝐼 = 0,1 の関数列 fn n∈𝑁が全てのg(x)∈L2
I に対し lim
𝑛→∞ 0
1
𝑓𝑛 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 0
かつほとんど全ての𝑥 ∈ 𝐼に対して lim
𝑛→∞
𝑓𝑛 𝑥 = 𝑓(𝑥) を満たせば、ほとんど全てのx∈Iに対し、
f(x)=0
が成立することを示せ。
証明
N={x∈I; 実数列 fn(𝑥) n∈𝑁がf(x)に収束しない}とすると、仮定よりL(N)=0
𝐸 𝑁={x∈I-N ; |fn(x)-f(x)|<1 (全てのn≧Nに対して)}とする。
すると 𝑁=1~∞ 𝐸 𝑁=I-Nとなり、L(I- 𝑁=1~∞ 𝐸 𝑁)=L(N)=０である。
また優収束定理より https://ja.wikipedia.org/wiki/優収束定理
lim
𝑛→∞ 𝐸 𝑛
|𝑓𝑛 𝑥 − 𝑓 𝑥 |2 𝑑𝑥 = 𝐸 𝑛
lim
𝑛→∞
|𝑓𝑛 𝑥 − 𝑓 𝑥 |2 𝑑𝑥=0
よって lim
𝑛→∞
( 𝐸 𝑛
|𝑓𝑛 𝑥 − 𝑓 𝑥 |2
𝑑𝑥)1/2
= 0
またg(x)∈L2 I と lim
𝑛→∞
( 𝐸 𝑛
|𝑓𝑛 𝑥 − 𝑓 𝑥 |2 𝑑𝑥)1/2 = 0より
| 𝐸 𝑛
𝑓𝑛 𝑥 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 − 𝐸 𝑛
𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 | ≦ 𝐸 𝑛
𝑓𝑛 𝑥 − 𝑓 𝑥 |𝑔 𝑥 |𝑑𝑥 ≦ ( 𝐸 𝑛
𝑓𝑛 𝑥 − 𝑓 𝑥 2
𝑑𝑥)
1
2
𝐸 𝑛
𝑔 𝑥 2
𝑑𝑥
1
2
= 0
𝑋𝑆(𝑥) =
1 𝑥 ∈ 𝑆
0 その他
とすると、𝑋𝑆 𝑥 𝑔 𝑥 ∈ 𝐿2(𝐼)であり,𝐼𝑓(𝑥)>0 = {𝑥 ∈ 𝐼; 𝑓 𝑥 > 0} 𝐼 𝑓 𝑥 <0 = {𝑥 ∈ 𝐼; 𝑓 𝑥 < 0}
とすると
0= lim
𝑛→∞ 0
1
𝑓𝑛 𝑥 𝑋𝐼 𝑓 𝑥 >0
𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 0
1
𝑓 𝑥 𝑋 𝐸 𝑓 𝑥 >0
𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥= 𝐼 𝑓(𝑥)>0∩𝐸 𝑛
|𝑓 𝑥 |𝑑𝑥
0= lim
𝑛→∞ 0
1
𝑓𝑛 𝑥 𝑋𝐼 𝑓 𝑥 <0
𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 0
1
𝑓 𝑥 𝑋 𝐸 𝑓 𝑥 <0
𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥= 𝐼 𝑓 𝑥 <0∩𝐸 𝑛
|𝑓 𝑥 |𝑑𝑥
よってほとんど全てのx∈Iに対し、f(x)＝０である。