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![X、Yを位相空間、f:X→Yを連続写像とする。以下の主張に対して、真
である場合は証明を与え偽である場合には反例をあげよ。
(1)Xが連続であれば、像f(X)も連結である。
答え 真
証明 [斎藤毅]集合と位相p145
(2)Xがハウスドルフであれば、像f(X)もハウスドルフである。
答え 偽
X＝{1,2,3}に離散位相を入れY={1,2,3}に密着位相を入れればこれはど
んな写像でに連続であるが、f(X)=Yであった場合ハウスドルフではな
い。
(3)Xがコンパクトであれば、像f(X)もコンパクトである。
答え 真
証明 [斎藤毅]集合と位相p158](https://image.slidesharecdn.com/osakaisou-180223085957-180422091618/85/slide-1-320.jpg)
![(a,b]位相とコンパクト性](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/compactka-180301032752-180508025844-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
位相の真偽問題
- 1. X、Yを位相空間、f:X→Yを連続写像とする。以下の主張に対して、真 である場合は証明を与え偽である場合には反例をあげよ。 (1)Xが連続であれば、像f(X)も連結である。 答え 真 証明 [斎藤毅]集合と位相p145 (2)Xがハウスドルフであれば、像f(X)もハウスドルフである。 答え偽 X＝{1,2,3}に離散位相を入れY={1,2,3}に密着位相を入れればこれはど んな写像でに連続であるが、f(X)=Yであった場合ハウスドルフではな い。 (3)Xがコンパクトであれば、像f(X)もコンパクトである。 答え 真 証明 [斎藤毅]集合と位相p158