鍋島　政孝

1. R2 の部分集合族 O を
で定める. また, とおく.
O = {U ×R; U はRの通常の位相に関する開集合}
I={t∈R;0<t<1}, J={t∈R;0≤t≤1}
(1) Oは開集合系の公理を満たすことを示せ.
(2) 位相空間(R2,O)はハウスドルフ空間か.
(3) 部分集合I ×I, I ×J, J ×I, J ×J は位相空間
(R2,O)のコンパクト集合か. (4) I ×I, I ×J, J ×I,
J ×J の(R2,O)における閉包を求めよ. (答のみでよ
い.)

2. R2 の部分集合族 O を
で定める. また,
O = {U ×R; U はRの通常の位相に関する開集合} I={t∈R;0<t<1}, J={t∈R;0≤t≤1}とおく.
(1) Oは開集合系の公理を満たすことを示せ.
証明 自明
(2) 位相空間(R2,O)はハウスドルフ空間か.
答え ハウスドルフ
全ての異なる2点xyの距離以下の半径の近傍をx、yを中心に作れば良い。
(3) 部分集合I ×I, I ×J, J ×I, J ×J は位相空間(R2,O)のコンパクト集合か.
J ×J以外コンパクトでない。(ハイネボレルの定理と[斎藤]集合と位相p159より
(4) I ×I, I ×J, J ×I, J ×J の(R2,O)における閉包を求めよ. (答のみでよい.)
答え J ×J