数列の和と収束

1. 数列 an は0 < 𝑎 𝑛 < 1 𝑛 = 1,2,3 … を満たすとし, 𝑏 𝑛 を𝑏 𝑛 = 𝑖=1
𝑛
1 − 𝑎𝑖 𝑛 = 1,2,3 …
により定める。以下の問に答えよ。
1 0 < 𝑥 < 1の時、次の不等式が成り立つことを示せ。|log(1-x)|≦x/(1-x)
(2) an =
1
2n+1
の時、 lim
𝑛→∞
𝑏 𝑛 = 0であることを示せ。
(3) 𝑛=1
∞
𝑎 𝑛 が収束する時、数列 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑛 が収束することを示せ。

2. 数列 an は0 < 𝑎 𝑛 < 1 𝑛 = 1,2,3 … を満たすとし, 𝑏 𝑛 を𝑏 𝑛 = 𝑖=1
𝑛
1 − 𝑎𝑖 𝑛 = 1,2,3 …
により定める。以下の問に答えよ。
1 0 < 𝑥 < 1の時、次の不等式が成り立つことを示せ。|log(1-x)|≦
𝑥
1−𝑥
証明
|log(1-x)|≦
𝑥
1−𝑥
⇆(1-x)log(1-x)+x≧0なので(1-x)log(1-x)+x≧0を示す。
f(x)= (1-x)log(1-x)+x f’(x)=-log(1-x)>0
よってf(x)は(0,1)で単調増加したがってf(x)≧f(0)=0
(2) an =
1
2n+1
の時、 lim
𝑛→∞
𝑏 𝑛 = 0であることを示せ。
証明
an =
1
2n+1
→０<an<1
よって(1-an)(1+an)=1-an
2
< 1 →1-an<1/(1 + an)が任意のn∈Nで成り立つ。
この時0<bn= 𝑖=1
𝑛
1 − 𝑎𝑖 < 𝑖=1
𝑛 1
1+𝑎 𝑖
であるが
𝑖=1
𝑛 1
1+𝑎 𝑖
<
1
1+ 𝑖=1
𝑛
𝑎 𝑖
=
1
1+ 𝑖=1
𝑛
2𝑖+1 −1 →0なので lim
𝑛→∞
𝑏 𝑛 = 0である。

3. 数列 an は0 < 𝑎 𝑛 < 1 𝑛 = 1,2,3 … を満たすとし, 𝑏 𝑛 を𝑏 𝑛 = 𝑖=1
𝑛
1 − 𝑎𝑖 𝑛 = 1,2,3 …
により定める。以下の問に答えよ。
(3) 𝑛=1
∞
𝑎 𝑛 が収束する時、数列 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑛 が収束することを示せ。
証明
まず、0<𝑎 𝑛<1⇆0<1-𝑎 𝑛<1より𝑏 𝑛+1=(1−𝑎 𝑛) 𝑏 𝑛 < 𝑏 𝑛よって𝑏 𝑛は単調減少。よって
{log(𝑏 𝑛)}も単調減少。
𝑛=1
∞
𝑎 𝑛=αに収束するので、 lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = 0である。
よって十分大きいN∈Nでn≧Nならば|𝑎 𝑛|<1/2 1/(1-𝑎 𝑛)<2とできる。
𝑛=1
∞
𝑎 𝑛 /(1 − 𝑎 𝑛)=Mとおくと0<𝑎 𝑛<1より 𝑛=1
∞
𝑎 𝑛が単調増加であることに注意すれあ
ば(1)より
N≧Nならば
|log 𝑏 𝑛|=| 𝑛=1
∞
log(1 − 𝑎 𝑛)|≦ 𝑛=1
∞
|log(1 − 𝑎 𝑛)|≦ 𝑛=1
∞
𝑎 𝑛 /(1 − 𝑎 𝑛)=M+ 𝑛=𝑁
∞
𝑎 𝑛 /(1 −
𝑎 𝑛)=M+2 𝑛=1
∞
𝑎 𝑛<M+2α
よって{|log 𝑏 𝑛|}は有界。すなわち{log 𝑏 𝑛}は下に有界。
下に有界な単調減少数列は収束するので{log𝑏 𝑛}も単調減少であることと{log 𝑏 𝑛}は下に
有界であることから{log𝑏 𝑛}も収束する。