nabeshima masataka

1. (1)fn(x)=xexp(-n𝑥2
)はn→∞で一様収束するか?
答え 一様収束する。
証明
次の定理を使う
区間Iで定義された関数列{fn}が一様収束するための必要十分条件は lim
𝑛→∞
sup
𝑥∈𝐼
𝑓𝑛 𝑥 − 𝑓 𝑥 = 0である
今の場合I=[0,∞)でfnはf＝０に収束する
sup
𝑥∈𝐼
𝑓𝑛 𝑥 − 𝑓 𝑥 = sup
𝑥∈𝐼
xexp(−n𝑥2
) − 0
(xexp(-n𝑥2
))’=(1-2n𝑥2
) exp(-n𝑥2
) x=±1/ 2𝑛
sup
𝑥∈𝐼
xexp(−n𝑥2
) − 0 ≦(1/ 2𝑛)exp(−n(1/ 2𝑛)
2
) = (1/ 2𝑛)exp(-1/2)→0
よって定理によって0に収束する。
(2)Rの任意の収束列{tn}に対し、 lim
𝑛→∞
hn(tn)=h( lim
𝑛→∞
tn)ならばhn→hは一様収束するか？
答え ならない
https://lecture.ecc.u-tokyo.ac.jp/~nkiyono/index15.html
連続関数に収束するが一様収束しない例として
fn(x)=
𝑛𝑥 0 ≦ 𝑥 ≦ 1/𝑛
2 − 𝑛𝑥
1
𝑛
≦ 𝑥 ≦ 2/𝑛
0
2
𝑛
≦ 𝑥
とする。
x＝０の時fn(0)=0 lim
𝑛→∞
fn(0)=0
X>0の時、xを固定すると十分大きなNが存在して2/N<xとなる
n>Nの時x>2/N>2/nだからfn(x)=0なので lim
𝑛→∞
fn(x)=0
よってFn→f＝０に各点収束する。 sup
𝑥∈𝐼
𝑓𝑛 𝑥 = 1 lim
𝑛→∞
sup|fn-f|=1で０でない。
これを利用すると
fn(x)=
2𝑥/𝑡𝑛 0 ≦ 𝑥 ≦ 𝑡𝑛/2
2 − 2𝑥/𝑡𝑛
𝑡𝑛
2
≦ 𝑥 ≦ 𝑡𝑛
0 𝑡𝑚 < 𝑥
とすればhn(x)→h=0に各点収束する。 lim
𝑛→∞
hn(tn)=h( lim
𝑛→∞
tn)
しかし、一様収束しない。