2022年度秋学期 応用数学（解析） 第4回 収束とは何か，ε-δ論法 (2022. 10. 13)
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関西大学総合情報学部・応用数学（解析）（担当・浅野晃） http://racco.mikeneko.jp/Kougi/2022a/AMA/
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- 6. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 微分の説明 4 df(x) dx = lim h→0 f(x + h) − f(x) h = lim h→0 (x + h)2 − x2 h = lim h→0 h(2x + h) h = lim h→0 (2x + h) = 2x 関数 f(x) = x2 の微分
- 7. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 微分の説明 4 df(x) dx = lim h→0 f(x + h) − f(x) h = lim h→0 (x + h)2 − x2 h = lim h→0 h(2x + h) h = lim h→0 (2x + h) = 2x 関数 f(x) = x2 の微分
- 8. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 微分の説明 4 df(x) dx = lim h→0 f(x + h) − f(x) h = lim h→0 (x + h)2 − x2 h = lim h→0 h(2x + h) h = lim h→0 (2x + h) = 2x 関数 f(x) = x2 の微分
- 9. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 微分の説明 4 h はゼロに近づいているだけで， ゼロではないから， 分母分子を h で割る df(x) dx = lim h→0 f(x + h) − f(x) h = lim h→0 (x + h)2 − x2 h = lim h→0 h(2x + h) h = lim h→0 (2x + h) = 2x 関数 f(x) = x2 の微分
- 10. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 微分の説明 4 h はゼロに近づいているだけで， ゼロではないから， 分母分子を h で割る df(x) dx = lim h→0 f(x + h) − f(x) h = lim h→0 (x + h)2 − x2 h = lim h→0 h(2x + h) h = lim h→0 (2x + h) = 2x 関数 f(x) = x2 の微分
- 11. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 微分の説明 4 h はゼロに近づいているだけで， ゼロではないから， 分母分子を h で割る df(x) dx = lim h→0 f(x + h) − f(x) h = lim h→0 (x + h)2 − x2 h = lim h→0 h(2x + h) h = lim h→0 (2x + h) = 2x やっぱり h はゼロ 関数 f(x) = x2 の微分
- 12. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 微分の説明 4 h はゼロに近づいているだけで， ゼロではないから， 分母分子を h で割る df(x) dx = lim h→0 f(x + h) − f(x) h = lim h→0 (x + h)2 − x2 h = lim h→0 h(2x + h) h = lim h→0 (2x + h) = 2x やっぱり h はゼロ これっておかしく ありませんか？ 関数 f(x) = x2 の微分
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- 15. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 数列の収束の定義 6 数列{an}が α に収束するとは α のまわりにどんなに狭い区間 [α – ε, α + ε] (ε > 0) を設定しても，
- 16. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 数列の収束の定義 6 数列{an}が α に収束するとは α のまわりにどんなに狭い区間 [α – ε, α + ε] (ε > 0) を設定しても，
- 17. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 数列の収束の定義 6 数列{an}が α に収束するとは α α のまわりにどんなに狭い区間 [α – ε, α + ε] (ε > 0) を設定しても，
- 18. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 数列の収束の定義 6 数列{an}が α に収束するとは α ε α のまわりにどんなに狭い区間 [α – ε, α + ε] (ε > 0) を設定しても， ε
- 19. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 数列の収束の定義 6 数列{an}が α に収束するとは α α – ε α + ε ε α のまわりにどんなに狭い区間 [α – ε, α + ε] (ε > 0) を設定しても， ε
- 20. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 数列の収束の定義 7 数列{an}が α に収束するとは a1 α α – ε α + ε ε ε
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- 22. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 数列の収束の定義 7 数列{an}が α に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1 a2 α α – ε α + ε ε ε
- 23. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 数列の収束の定義 7 数列{an}が α に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1 a2 a3 α α – ε α + ε ε ε
- 24. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 数列の収束の定義 7 数列{an}が α に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1 a2 a3 α α – ε α + ε ε ε …
- 25. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 数列の収束の定義 7 数列{an}が α に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1 a2 a3 α α – ε α + ε ε ε … aN–1
- 26. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 数列の収束の定義 7 数列{an}が α に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1 a2 a3 α α – ε α + ε ε ε … aN–1 aN
- 27. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 数列の収束の定義 7 数列{an}が α に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1 a2 a3 α α – ε α + ε ε ε … aN–1 aN N 番より大きな番号 n については， an は，みなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る
- 28. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 数列の収束の定義 7 数列{an}が α に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1 a2 a3 α α – ε α + ε ε ε … aN–1 aN+1 aN N 番より大きな番号 n については， an は，みなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る
- 29. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 数列の収束の定義 7 数列{an}が α に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1 a2 a3 α α – ε α + ε ε ε … aN–1 aN+1 aN N 番より大きな番号 n については， an は，みなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る
- 30. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 数列の収束の定義 7 数列{an}が α に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1 a2 a3 α α – ε α + ε ε ε … aN–1 aN+1 aN N 番より大きな番号 n については， an は，みなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る …
- 31. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 数列の収束の定義 8 数列{an}が α に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1 a2 a3 α … N 番より大きな番号 n については， anは，みなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る α – ε α + ε ε ε
- 32. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 数列の収束の定義 8 数列{an}が α に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1 a2 a3 α … N 番より大きな番号 n については， anは，みなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る εをどんなに小さくしても α – ε α + ε ε ε
- 33. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 数列の収束の定義 8 数列{an}が α に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1 a2 a3 α α – ε α + ε … N 番より大きな番号 n については， anは，みなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る ε ε εをどんなに小さくしても
- 34. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 数列の収束の定義 8 数列{an}が α に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1 a2 a3 α α – ε α + ε … N 番より大きな番号 n については， anは，みなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る ε ε εをどんなに小さくしても
- 35. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 数列の収束の定義 8 数列{an}が α に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1 a2 a3 α α – ε α + ε … N 番より大きな番号 n については， anは，みなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る ε ε εをどんなに小さくしても aN
- 36. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 数列の収束の定義 8 数列{an}が α に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1 a2 a3 α α – ε α + ε … N 番より大きな番号 n については， anは，みなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る ε ε εをどんなに小さくしても aN
- 37. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 数列の収束の定義 8 数列{an}が α に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1 a2 a3 α α – ε α + ε … N 番より大きな番号 n については， anは，みなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る ε ε εをどんなに小さくしても aN …
- 38. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 数列の収束の定義 8 数列{an}が α に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1 a2 a3 α α – ε α + ε … N 番より大きな番号 n については， anは，みなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る ε ε εをどんなに小さくしても aN そういうNがある …
- 39. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 数列の収束の定義 9 数列{an}が α に収束するとは
- 40. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 数列の収束の定義 9 数列{an}が α に収束するとは α のまわりにどんなに狭い区間[α – ε, α + ε]を設定しても(ε > 0)
- 41. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 数列の収束の定義 9 数列{an}が α に収束するとは α のまわりにどんなに狭い区間[α – ε, α + ε]を設定しても(ε > 0) 数列が十分大きな番号 N まで進めば
- 42. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 数列の収束の定義 9 数列{an}が α に収束するとは α のまわりにどんなに狭い区間[α – ε, α + ε]を設定しても(ε > 0) 数列が十分大きな番号 N まで進めば N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る
- 43. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 数列の収束の定義 9 数列{an}が α に収束するとは ∀ε > 0, ∃N; n > N ⇒ |an − α| < ε α のまわりにどんなに狭い区間[α – ε, α + ε]を設定しても(ε > 0) 数列が十分大きな番号 N まで進めば N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る
- 44. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 数列の収束の定義 9 数列{an}が α に収束するとは ∀ε > 0, ∃N; n > N ⇒ |an − α| < ε α のまわりにどんなに狭い区間[α – ε, α + ε]を設定しても(ε > 0) 数列が十分大きな番号 N まで進めば N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る ε – N 論法
- 45. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 数列の収束の定義 9 数列{an}が α に収束するとは ∀ε > 0, ∃N; n > N ⇒ |an − α| < ε α のまわりにどんなに狭い区間[α – ε, α + ε]を設定しても(ε > 0) 数列が十分大きな番号 N まで進めば N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る ε – N 論法
- 46. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 数列の収束の定義 9 数列{an}が α に収束するとは ∀ε > 0, ∃N; n > N ⇒ |an − α| < ε α のまわりにどんなに狭い区間[α – ε, α + ε]を設定しても(ε > 0) 数列が十分大きな番号 N まで進めば N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る ε – N 論法
- 47. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 数列の発散の定義 10 数列{an}が ∞ に発散する
- 48. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 数列の発散の定義 10 数列{an}が ∞ に発散する どんなに大きな数 G を持ってきても，
- 49. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 数列の発散の定義 10 数列{an}が ∞ に発散する どんなに大きな数 G を持ってきても， 数列が十分大きな番号 N まで進めば
- 50. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 数列の発散の定義 10 数列{an}が ∞ に発散する どんなに大きな数 G を持ってきても， 数列が十分大きな番号 N まで進めば N 番より大きな番号 n については，anはみな G より大きくなる
- 51. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 数列の発散の定義 10 数列{an}が ∞ に発散する どんなに大きな数 G を持ってきても， 数列が十分大きな番号 N まで進めば N 番より大きな番号 n については，anはみな G より大きくなる ∀G, ∃N; n > N ⇒ an > G
- 52. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 数列の発散の定義 10 数列{an}が ∞ に発散する どんなに大きな数 G を持ってきても， 数列が十分大きな番号 N まで進めば N 番より大きな番号 n については，anはみな G より大きくなる ∀G, ∃N; n > N ⇒ an > G
- 53. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 数列の発散の定義 10 数列{an}が ∞ に発散する どんなに大きな数 G を持ってきても， 数列が十分大きな番号 N まで進めば N 番より大きな番号 n については，anはみな G より大きくなる ∀G, ∃N; n > N ⇒ an > G
- 54. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 収束や発散は「無限」なのか 11 「無限」とはひとことも言っていない
- 55. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 収束や発散は「無限」なのか 11 「無限」とはひとことも言っていない どんなに狭い区間 [α – ε, α + ε] でも
- 56. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 収束や発散は「無限」なのか 11 「無限」とはひとことも言っていない どんなに狭い区間 [α – ε, α + ε] でも どんなに大きな数 G でも 十分大きな番号 N なら
- 57. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 収束や発散は「無限」なのか 11 「無限」とはひとことも言っていない どれも「無限」ではなく有限 どんなに狭い区間 [α – ε, α + ε] でも どんなに大きな数 G でも 十分大きな番号 N なら
- 58. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 収束や発散は「無限」なのか 11 「無限」とはひとことも言っていない どれも「無限」ではなく有限 どんなに狭い区間 [α – ε, α + ε] でも どんなに大きな数 G でも 十分大きな番号 N なら ただし，求めに応じて 好きなだけ狭く・大きくできる
- 59. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 収束や発散は「無限」なのか 11 「無限」とはひとことも言っていない どれも「無限」ではなく有限 どんなに狭い区間 [α – ε, α + ε] でも どんなに大きな数 G でも 十分大きな番号 N なら ただし，求めに応じて 好きなだけ狭く・大きくできる
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- 61. 12 実数の連続性と収束🤔🤔
- 62. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 実数の連続性と収束 13 実数の有界な単調数列は収束する 実数の連続性を述べる公理の，４つめの表現 数列{an}が 「単調増加」とは，a1 < a2 < … < an < … 「単調減少」とは，a1 > a2 > … > an > …
- 63. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 実数の連続性と収束 13 実数の有界な単調数列は収束する 実数の連続性を述べる公理の，４つめの表現 数列{an}が 「単調増加」とは，a1 < a2 < … < an < … 「単調減少」とは，a1 > a2 > … > an > …
- 64. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 実数の連続性と収束 13 実数の有界な単調数列は収束する 実数の連続性を述べる公理の，４つめの表現 数列{an}が 「単調増加」とは，a1 < a2 < … < an < … 「単調減少」とは，a1 > a2 > … > an > …
- 65. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 実数の連続性と収束 13 実数の有界な単調数列は収束する 実数の連続性を述べる公理の，４つめの表現 数列{an}が 「単調増加」とは，a1 < a2 < … < an < … 「単調減少」とは，a1 > a2 > … > an > …
- 66. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 実数の連続性と収束 13 実数の有界な単調数列は収束する 実数の連続性を述べる公理の，４つめの表現 数列{an}が 「単調増加」とは，a1 < a2 < … < an < … 「単調減少」とは，a1 > a2 > … > an > …
- 67. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 実数の連続性と収束 13 実数の有界な単調数列は収束する 実数の連続性を述べる公理の，４つめの表現 数列{an}が 「単調増加」とは，a1 < a2 < … < an < … 「単調減少」とは，a1 > a2 > … > an > …
- 68. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 実数の連続性と収束 13 実数の有界な単調数列は収束する 有界（このへんに達することはできない） 実数の連続性を述べる公理の，４つめの表現 数列{an}が 「単調増加」とは，a1 < a2 < … < an < … 「単調減少」とは，a1 > a2 > … > an > …
- 69. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 実数の連続性と収束 13 実数の有界な単調数列は収束する 有界（このへんに達することはできない） 実数の連続性を述べる公理の，４つめの表現 数列{an}が 「単調増加」とは，a1 < a2 < … < an < … 「単調減少」とは，a1 > a2 > … > an > … …
- 70. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 実数の連続性と収束 13 実数の有界な単調数列は収束する 有界（このへんに達することはできない） 実数の連続性を述べる公理の，４つめの表現 単調増加だから つねに増加していくが，収束する 数列{an}が 「単調増加」とは，a1 < a2 < … < an < … 「単調減少」とは，a1 > a2 > … > an > … …
- 71. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ワイエルシュトラスの定理から証明 14 有界だから，上限 α が存在する α
- 72. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ワイエルシュトラスの定理から証明 14 有界だから，上限 α が存在する α α′ α より小さい α′ を考えると
- 73. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ワイエルシュトラスの定理から証明 14 有界だから，上限 α が存在する … α α′ α より小さい α′ を考えると
- 74. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ワイエルシュトラスの定理から証明 14 有界だから，上限 α が存在する … α α′ α より小さい α′ を考えると α′ と α の間に来る an がある
- 75. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ワイエルシュトラスの定理から証明 14 有界だから，上限 α が存在する … α α′ α より小さい α′ を考えると α′ と α の間に来る an がある an n 番目
- 76. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ワイエルシュトラスの定理から証明 14 有界だから，上限 α が存在する … α α′ α より小さい α′ を考えると α′ と α の間に来る an がある an n 番目 つまり，
- 77. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ワイエルシュトラスの定理から証明 14 有界だから，上限 α が存在する … α α′ α より小さい α′ を考えると α′ と α の間に来る an がある an n 番目 つまり，
- 78. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ワイエルシュトラスの定理から証明 14 有界だから，上限 α が存在する … α α′ α より小さい α′ を考えると α′ と α の間に来る an がある an n 番目 α α′ an つまり，
- 79. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ワイエルシュトラスの定理から証明 14 有界だから，上限 α が存在する … α α′ α より小さい α′ を考えると α′ と α の間に来る an がある an n 番目 α α′ an α − α つまり，
- 80. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ワイエルシュトラスの定理から証明 14 有界だから，上限 α が存在する … α α′ α より小さい α′ を考えると α′ と α の間に来る an がある an n 番目 α α′ an |α − an| α − α つまり，
- 81. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ワイエルシュトラスの定理から証明 14 有界だから，上限 α が存在する … α α′ α より小さい α′ を考えると α′ と α の間に来る an がある an n 番目 α α′ an |α − an| α − α |α − an| α − α つまり，
- 82. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ワイエルシュトラスの定理から証明 14 有界だから，上限 α が存在する … α α′ α より小さい α′ を考えると α′ と α の間に来る an がある an n 番目 α α′ an |α − an| α − α |α − an| α − α α′ はどれだけ α に近くてもよい つまり，
- 83. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ワイエルシュトラスの定理から証明 14 有界だから，上限 α が存在する … α α′ α より小さい α′ を考えると α′ と α の間に来る an がある an n 番目 α α′ an |α − an| α − α |α − an| α − α α′ はどれだけ α に近くてもよい これを ε( 0) と考えると つまり，
- 84. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ワイエルシュトラスの定理から証明 14 有界だから，上限 α が存在する … α α′ α より小さい α′ を考えると α′ と α の間に来る an がある an n 番目 α α′ an |α − an| α − α |α − an| α − α α′ はどれだけ α に近くてもよい これを ε( 0) と考えると ε つまり，
- 85. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ワイエルシュトラスの定理から証明 14 有界だから，上限 α が存在する … α α′ α より小さい α′ を考えると α′ と α の間に来る an がある an n 番目 α α′ an |α − an| α − α |α − an| α − α α′ はどれだけ α に近くてもよい これを ε( 0) と考えると α からの隔たり ε をどんなに小さく設定しても，そこに入る an がある ε つまり，
- 86. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ワイエルシュトラスの定理から証明 14 有界だから，上限 α が存在する … α α′ α より小さい α′ を考えると α′ と α の間に来る an がある an n 番目 α α′ an |α − an| α − α |α − an| α − α α′ はどれだけ α に近くてもよい これを ε( 0) と考えると α からの隔たり ε をどんなに小さく設定しても，そこに入る an がある ε つまり， {an} は α に収束する
- 87. 15
- 88. 15 数列の収束に関する例題💡💡
- 89. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 16 a 0 のとき lim n→∞ an n! = 0 を証明せよ。
- 90. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 16 a 0 のとき lim n→∞ an n! = 0 を証明せよ。 ak k! = C とおく。番号 k は，k 2a であるとする。
- 91. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 16 a 0 のとき lim n→∞ an n! = 0 を証明せよ。 ak k! = C とおく。番号 k は，k 2a であるとする。 n k となる番号 n について，
- 92. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 16 a 0 のとき lim n→∞ an n! = 0 を証明せよ。 ak k! = C とおく。番号 k は，k 2a であるとする。 n k となる番号 n について， an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n
- 93. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 16 a 0 のとき lim n→∞ an n! = 0 を証明せよ。 ak k! = C とおく。番号 k は，k 2a であるとする。 n k となる番号 n について， an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k)
- 94. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 17 n k となる番号 n について， an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k)
- 95. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 17 n k となる番号 n について， an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) k 2a なので
- 96. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 17 n k となる番号 n について， an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) k 2a なので an n! C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k)
- 97. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 17 n k となる番号 n について， an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) k 2a なので an n! C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k)
- 98. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 17 n k となる番号 n について， an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) k 2a なので an n! C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k)
- 99. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 17 n k となる番号 n について， an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) k 2a なので an n! C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k)
- 100. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 17 n k となる番号 n について， an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) k 2a なので an n! C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k)
- 101. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 17 n k となる番号 n について， an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) k 2a なので an n! C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) C × 1 2 n−k = C · 2k 2n
- 102. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 17 n k となる番号 n について， an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) k 2a なので an n! C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) C × 1 2 n−k = C · 2k 2n
- 103. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 17 n k となる番号 n について， an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) k 2a なので an n! C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) C × 1 2 n−k = C · 2k 2n
- 104. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 17 n k となる番号 n について， an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) k 2a なので an n! C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) C × 1 2 n−k = C · 2k 2n
- 105. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 17 n k となる番号 n について， an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) k 2a なので an n! C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) C × 1 2 n−k = C · 2k 2n C · 2k n
- 106. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 17 n k となる番号 n について， an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) k 2a なので an n! C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) C × 1 2 n−k = C · 2k 2n C · 2k n
- 107. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 17 n k となる番号 n について， an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) k 2a なので an n! C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) C × 1 2 n−k = C · 2k 2n C · 2k n
- 108. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 17 n k となる番号 n について， an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) k 2a なので an n! C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) C × 1 2 n−k = C · 2k 2n C · 2k n そこで，どんな小さな についても，番号 n が であれば ε( 0) n C ⋅ 2k ε
- 109. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 17 n k となる番号 n について， an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) k 2a なので an n! C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) C × 1 2 n−k = C · 2k 2n C · 2k n そこで，どんな小さな についても，番号 n が であれば ε( 0) n C ⋅ 2k ε
- 110. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 17 n k となる番号 n について， an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) k 2a なので an n! C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) C × 1 2 n−k = C · 2k 2n C · 2k n そこで，どんな小さな についても，番号 n が であれば ε( 0) n C ⋅ 2k ε an n! ε
- 111. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 17 n k となる番号 n について， an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) k 2a なので an n! C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) C × 1 2 n−k = C · 2k 2n C · 2k n そこで，どんな小さな についても，番号 n が であれば ε( 0) n C ⋅ 2k ε an n! ε つまり {an / n!} は 0 に収束する
- 112. 18
- 113. 18 関数の極限🤔🤔
- 114. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 関数の極限 19 数列の収束と同じ論法を用いる lim x→a f(x) = A 関数 f(x) の x→a の極限が A であるとは x
- 115. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 関数の極限 19 数列の収束と同じ論法を用いる lim x→a f(x) = A 関数 f(x) の x→a の極限が A であるとは x A ε ε 縦軸で A との隔たり ε をどれほど小さくしても
- 116. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 関数の極限 19 数列の収束と同じ論法を用いる lim x→a f(x) = A 関数 f(x) の x→a の極限が A であるとは x A ε ε 縦軸で A との隔たり ε をどれほど小さくしても δ δ a 横軸で a との隔たり δ を それに応じて小さくすれば
- 117. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 関数の極限 19 数列の収束と同じ論法を用いる lim x→a f(x) = A 関数 f(x) の x→a の極限が A であるとは x A ε ε 縦軸で A との隔たり ε をどれほど小さくしても δ δ a 横軸で a との隔たり δ を それに応じて小さくすれば x と a との隔たりが δ より小さいとき
- 118. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 関数の極限 19 数列の収束と同じ論法を用いる lim x→a f(x) = A 関数 f(x) の x→a の極限が A であるとは x A ε ε 縦軸で A との隔たり ε をどれほど小さくしても δ δ a 横軸で a との隔たり δ を それに応じて小さくすれば x x と a との隔たりが δ より小さいとき
- 119. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 関数の極限 19 数列の収束と同じ論法を用いる lim x→a f(x) = A 関数 f(x) の x→a の極限が A であるとは x A ε ε 縦軸で A との隔たり ε をどれほど小さくしても δ δ a 横軸で a との隔たり δ を それに応じて小さくすれば x x と a との隔たりが δ より小さいとき f(x)
- 120. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 関数の極限 19 数列の収束と同じ論法を用いる lim x→a f(x) = A 関数 f(x) の x→a の極限が A であるとは x A ε ε 縦軸で A との隔たり ε をどれほど小さくしても δ δ a 横軸で a との隔たり δ を それに応じて小さくすれば x x と a との隔たりが δ より小さいとき f(x) と A との隔たりも ε より小さい f(x)
- 121. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 関数の極限 20 どんなに小さな ε を考えても (ε 0) x と a との隔たりを δ より小さくすれば f(x) と A の隔たりも ε より小さくできる
- 122. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 関数の極限 20 どんなに小さな ε を考えても (ε 0) x と a との隔たりを δ より小さくすれば f(x) と A の隔たりも ε より小さくできる ∀ε 0, ∃δ 0; 0 |x − a| δ ⇒ |f(x) − A| ε
- 123. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 関数の極限 20 どんなに小さな ε を考えても (ε 0) x と a との隔たりを δ より小さくすれば f(x) と A の隔たりも ε より小さくできる ∀ε 0, ∃δ 0; 0 |x − a| δ ⇒ |f(x) − A| ε ε – δ 論法
- 124. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 関数の極限 20 どんなに小さな ε を考えても (ε 0) x と a との隔たりを δ より小さくすれば f(x) と A の隔たりも ε より小さくできる ∀ε 0, ∃δ 0; 0 |x − a| δ ⇒ |f(x) − A| ε ε – δ 論法 ε も δ も，ただの正の数で，0ではないし， 0に「無限に」近づくわけでもない
- 125. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 最初の微分の例 21 h → 0 と書いてあっても， h はあくまで正の数で，0ではない hはゼロに近づいているだけで， ゼロではないから，分母分子をhで割る df(x) dx = lim h→0 f(x + h) − f(x) h = lim h→0 (x + h)2 − x2 h = lim h→0 h(2x + h) h = lim h→0 (2x + h) = 2x やっぱりh はゼロ
- 126. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 最初の微分の例 21 h → 0 と書いてあっても， h はあくまで正の数で，0ではない hはゼロに近づいているだけで， ゼロではないから，分母分子をhで割る df(x) dx = lim h→0 f(x + h) − f(x) h = lim h→0 (x + h)2 − x2 h = lim h→0 h(2x + h) h = lim h→0 (2x + h) = 2x やっぱりh はゼロ ではなくて
- 127. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 最初の微分の例 21 h → 0 と書いてあっても， h はあくまで正の数で，0ではない hはゼロに近づいているだけで， ゼロではないから，分母分子をhで割る df(x) dx = lim h→0 f(x + h) − f(x) h = lim h→0 (x + h)2 − x2 h = lim h→0 h(2x + h) h = lim h→0 (2x + h) = 2x やっぱりh はゼロ ではなくて 収束する先が h = 0 を代入したときの値と同じ，というだけ
- 128. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 左極限と右極限 22 lim x→a f(x) = A 関数 f(x) の x→a の極限が A であるとは x A a x A a B
- 129. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 左極限と右極限 22 lim x→a f(x) = A 関数 f(x) の x→a の極限が A であるとは x A a x が大きい方から a に近づいても，小さい方から a に近づいても， どちらの極限も A x A a B
- 130. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 左極限と右極限 22 lim x→a f(x) = A 関数 f(x) の x→a の極限が A であるとは x A a x が大きい方から a に近づいても，小さい方から a に近づいても， どちらの極限も A x A a B
- 131. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 左極限と右極限 22 lim x→a f(x) = A 関数 f(x) の x→a の極限が A であるとは x A a x が大きい方から a に近づいても，小さい方から a に近づいても， どちらの極限も A x A a B
- 132. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 左極限と右極限 22 lim x→a f(x) = A 関数 f(x) の x→a の極限が A であるとは x A a x が大きい方から a に近づいても，小さい方から a に近づいても， どちらの極限も A x A a B
- 133. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 左極限と右極限 22 lim x→a f(x) = A 関数 f(x) の x→a の極限が A であるとは x A a x が大きい方から a に近づいても，小さい方から a に近づいても， どちらの極限も A x A a B lim x→a+0 右極限
- 134. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 左極限と右極限 22 lim x→a f(x) = A 関数 f(x) の x→a の極限が A であるとは x A a x が大きい方から a に近づいても，小さい方から a に近づいても， どちらの極限も A x A a B lim x→a+0 右極限
- 135. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 左極限と右極限 22 lim x→a f(x) = A 関数 f(x) の x→a の極限が A であるとは x A a x が大きい方から a に近づいても，小さい方から a に近づいても， どちらの極限も A x A a B lim x→a−0 , 左極限 lim x→a+0 右極限
- 136. 23
- 137. 23 関数の「連続」と「一様連続」🤔🤔
- 138. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 関数の連続性 24 関数 f(x) の x→a の極限が f(a) であること x f(a) a 関数 f(x) が x = a で連続であるとは x a f(a)
- 139. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 関数の連続性 24 関数 f(x) の x→a の極限が f(a) であること x f(a) a 関数 f(x) が x = a で連続であるとは x a f(a) a で連続
- 140. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 関数の連続性 24 関数 f(x) の x→a の極限が f(a) であること x f(a) a 関数 f(x) が x = a で連続であるとは x a f(a) 右極限はf(a)で ない a で連続
- 141. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 関数の連続性 24 関数 f(x) の x→a の極限が f(a) であること x f(a) a 関数 f(x) が x = a で連続であるとは x a f(a) 左極限はf(a) 右極限はf(a)で ない a で連続
- 142. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 関数の連続性 24 関数 f(x) の x→a の極限が f(a) であること x f(a) a 関数 f(x) が x = a で連続であるとは x a f(a) 左極限はf(a) 右極限はf(a)で ない a で連続 a で不連続
- 143. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 関数の連続性 24 関数 f(x) の x→a の極限が f(a) であること x f(a) a 関数 f(x) が x = a で連続であるとは x a f(a) 左極限はf(a) 右極限はf(a)で ない a で連続 a で不連続 区間 I のどの点でも連続なら「区間 I で連続」
- 144. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ε – δ 論法で話をすると 25 x
- 145. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ε – δ 論法で話をすると 25 x f(a) ε ε
- 146. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ε – δ 論法で話をすると 25 x f(x)が f(a)の上下 ε の範囲に 入るためには f(a) ε ε
- 147. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ε – δ 論法で話をすると 25 x f(x)が f(a)の上下 ε の範囲に 入るためには f(a) ε ε a δ δ
- 148. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ε – δ 論法で話をすると 25 x f(x)が f(a)の上下 ε の範囲に 入るためには x が a の左右 δ の範囲に入ればよい f(a) ε ε a δ δ
- 149. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ε – δ 論法で話をすると 25 x ε ε f(b) f(x)が f(a)の上下 ε の範囲に 入るためには x が a の左右 δ の範囲に入ればよい f(a) ε ε a δ δ
- 150. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ε – δ 論法で話をすると 25 x ε ε f(b) f(x)が f(a)の上下 ε の範囲に 入るためには x が a の左右 δ の範囲に入ればよい f(a) ε ε a δ δ 同じ ε でも
- 151. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ε – δ 論法で話をすると 25 x ε ε f(b) f(x)が f(a)の上下 ε の範囲に 入るためには x が a の左右 δ の範囲に入ればよい f(a) ε ε a δ δ δ δ b 同じ ε でも
- 152. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ε – δ 論法で話をすると 25 x ε ε f(b) f(x)が f(a)の上下 ε の範囲に 入るためには x が a の左右 δ の範囲に入ればよい f(a) ε ε a δ δ δ δ b 同じ ε でも 要求される δ の「狭さ」は 異なる
- 153. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 一様連続 26 x δ δ ε ε f(b) a f(x)が f(a)の上下 ε の範囲に 入るには x が a の左右 δ の範囲に入ればよい f(a) ε ε δ δ b 同じ ε でも 求められる δ の「狭さ」は 異なる
- 154. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 一様連続 26 x δ δ ε ε f(b) a f(x)が f(a)の上下 ε の範囲に 入るには x が a の左右 δ の範囲に入ればよい f(a) ε ε δ δ b 同じ ε でも 求められる δ の「狭さ」は 異なる この場合は「狭い方の δ 」をどこででも用いればよい
- 155. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 一様連続 26 x δ δ ε ε f(b) a f(x)が f(a)の上下 ε の範囲に 入るには x が a の左右 δ の範囲に入ればよい f(a) ε ε δ δ b 同じ ε でも 求められる δ の「狭さ」は 異なる この場合は「狭い方の δ 」をどこででも用いればよい どの点でも「共通の δ 」を用いれば連続といえるとき［一様連続］という
- 156. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 連続だが一様連続でない例 27 f(x) -1 1 f(x) = 1 x − 1 変化 対 も 区間 [0, 1) を考える
- 157. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 連続だが一様連続でない例 27 f(x) -1 1 f(x) = 1 x − 1 変化 対 も 区間 [0, 1) を考える ε
- 158. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 連続だが一様連続でない例 27 f(x) -1 1 f(x) = 1 x − 1 変化 対 も 区間 [0, 1) を考える δ ε
- 159. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 連続だが一様連続でない例 27 f(x) -1 1 x が 1 に近づくと f(x) は，いくらでも大きく変化する f(x) = 1 x − 1 変化 対 も 区間 [0, 1) を考える δ ε
- 160. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 連続だが一様連続でない例 27 f(x) -1 1 x が 1 に近づくと f(x) は，いくらでも大きく変化する f(x) = 1 x − 1 変化 対 も 区間 [0, 1) を考える δ ε ε
- 161. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 連続だが一様連続でない例 27 f(x) -1 1 x が 1 に近づくと f(x) は，いくらでも大きく変化する f(x) = 1 x − 1 変化 対 も 区間 [0, 1) を考える δ ε ε δ
- 162. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 連続だが一様連続でない例 27 f(x) -1 1 x が 1 に近づくと f(x) は，いくらでも大きく変化する f(x) = 1 x − 1 変化 対 も 区間 [0, 1) を考える δ ε ε δ 要求される δ の「狭さ」は いくらでも狭くなる
- 163. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 連続だが一様連続でない例 27 f(x) -1 1 x が 1 に近づくと f(x) は，いくらでも大きく変化する f(x) = 1 x − 1 変化 対 も 区間 [0, 1) を考える δ ε ε δ 要求される δ の「狭さ」は いくらでも狭くなる 区間内で「共通の δ 」は 存在しない
- 164. 28
- 165. 28 関数列の収束🤔🤔
- 166. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 関数列の収束と「一様収束」 29 x f(x) f(x) x
- 167. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 関数列の収束と「一様収束」 29 x f1(x) f(x) f(x) x
- 168. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 関数列の収束と「一様収束」 29 x f1(x) f2(x) f(x) f(x) x
- 169. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 関数列の収束と「一様収束」 29 x f1(x) f2(x) … f(x) f(x) x
- 170. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 関数列の収束と「一様収束」 29 x f1(x) f2(x) … f(x) 区間内の各点で， fn(x) と f(x)の隔たりが0に近づく f(x) x
- 171. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 関数列の収束と「一様収束」 29 x f1(x) f2(x) … f(x) 区間内の各点で， fn(x) と f(x)の隔たりが0に近づく が に ［各点収束］する f1(x), f2(x), … f(x) f(x) x
- 172. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 関数列の収束と「一様収束」 29 x f1(x) f2(x) … f(x) 区間内の各点で， fn(x) と f(x)の隔たりが0に近づく が に ［各点収束］する f1(x), f2(x), … f(x) f1(x) f(x) x
- 173. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 関数列の収束と「一様収束」 29 x f1(x) f2(x) … f(x) 区間内の各点で， fn(x) と f(x)の隔たりが0に近づく が に ［各点収束］する f1(x), f2(x), … f(x) f1(x) f(x) x f2(x)
- 174. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 関数列の収束と「一様収束」 29 x f1(x) f2(x) … f(x) 区間内の各点で， fn(x) と f(x)の隔たりが0に近づく が に ［各点収束］する f1(x), f2(x), … f(x) f1(x) f(x) x f2(x)
- 175. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 関数列の収束と「一様収束」 29 x f1(x) f2(x) … f(x) 区間内の各点で， fn(x) と f(x)の隔たりが0に近づく が に ［各点収束］する f1(x), f2(x), … f(x) f1(x) f(x) x f2(x) f3(x)
- 176. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 関数列の収束と「一様収束」 29 x f1(x) f2(x) … f(x) 区間内の各点で， fn(x) と f(x)の隔たりが0に近づく が に ［各点収束］する f1(x), f2(x), … f(x) f1(x) … f(x) x f2(x) f3(x)
- 177. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 関数列の収束と「一様収束」 29 x f1(x) f2(x) … f(x) 区間内の各点で， fn(x) と f(x)の隔たりが0に近づく が に ［各点収束］する f1(x), f2(x), … f(x) f1(x) … f(x) x f2(x) f3(x) 左のほうでは収束していくが
- 178. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 関数列の収束と「一様収束」 29 x f1(x) f2(x) … f(x) 区間内の各点で， fn(x) と f(x)の隔たりが0に近づく が に ［各点収束］する f1(x), f2(x), … f(x) f1(x) … f(x) x f2(x) f3(x) 左のほうでは収束していくが いくらでも右に行けば いつまでたっても収束しない
- 179. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 関数列の収束と「一様収束」 29 x f1(x) f2(x) … f(x) 区間内の各点で， fn(x) と f(x)の隔たりが0に近づく が に ［各点収束］する f1(x), f2(x), … f(x) f1(x) … f(x) x f2(x) f3(x) 左のほうでは収束していくが いくらでも右に行けば いつまでたっても収束しない 各点収束ではあるが［一様収束］でない
- 180. 30 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 今日のまとめ 30 「限りなく近づく」とは， 「無限」ではない 求めに応じて 好きなだけ近くできること