関数の一様収束の証明

1. fn(x)=xexp(-n𝑥2
)はn→∞で一様収束するか?
答え 一様収束する。
証明
次の定理を使う
区間Iで定義された関数列{fn}が一様収束するための必要十分条件は
lim
𝑛→∞
sup
𝑥∈𝐼
𝑓𝑛 𝑥 − 𝑓 𝑥 = 0である
今の場合I=[0,∞)でfnはf＝０に収束する
sup
𝑥∈𝐼
𝑓𝑛 𝑥 − 𝑓 𝑥 = sup
𝑥∈𝐼
xexp(−n𝑥2) − 0
(xexp(-n𝑥2
))’=(1-2n𝑥2
) exp(-n𝑥2
) x=±1/ 2𝑛
sup
𝑥∈𝐼
xexp(−n𝑥2
) − 0 ≦(1/ 2𝑛)exp(−n(1/ 2𝑛)
2
) = (1/ 2𝑛)exp(-
1/2)→0
よって定理によって0に収束する。