Огторгуй дахь шулуун шугам

1. ЛЕКЦ -13
СЭДЭВ : Огторгуй дахь шулуун шугам,шулуун ба хавтгайн
харилцан байршил
ЗОРИЛГО: Ýíý õè÷ýýëýýð огторгуй дахь шулууны ерөнхий тэгшитгэл, шулуун
хавтгай хоёрын хоорондох өгцөг, цэгээс шулуун хүртлэх зайн тухай ойлголтыг
өгөх.
ХИЧЭЭЛИЙН ЯВЦ :
Îãòîðãóé äàõü øóëóóí
1. Øóëóóíû åðºíõèé òýãøèòãýë



=+++
=+++
0
0
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxA
ýíý íü 2 õàâòãàéí îãòëîëöîë õýëáýðýýð ºã÷ áîëíî.
¯¿íèéã øóëóóíû åðөíõèé òýãøèòãýë ãýíý.
2. Огторгуйд өгсөн цэгийг дайрч, өгсөн вектортой параллель
татсан шулууны тэгшитгэл
Дээрх ерөнхий тэгшитгэлээс шулууны хялбар тэгшитгэлийг гаргаж
болно.
Хавтгайн нормалуудын вектор үржвэр нь шулууны чиглүүлэгч вектор
байдаг.
𝑛𝑛1����⃗( 𝐴𝐴1; 𝐵𝐵1; 𝐶𝐶1) 𝑛𝑛2����⃗( 𝐴𝐴2; 𝐵𝐵2; 𝐶𝐶2) байдаг учираас
𝑚𝑚��⃗ = 𝑛𝑛1����⃗ × 𝑛𝑛2����⃗ = ��𝐵𝐵1 𝐶𝐶1
𝐵𝐵2 𝐶𝐶2
�; �𝐴𝐴1 𝐶𝐶1
𝐴𝐴2 𝐶𝐶2
�; �𝐴𝐴1 𝐵𝐵1
𝐴𝐴2 𝐵𝐵2
�� болж
��𝐵𝐵1 𝐶𝐶1
𝐵𝐵2 𝐶𝐶2
� = 𝑝𝑝; �𝐴𝐴1 𝐶𝐶1
𝐴𝐴2 𝐶𝐶2
� = 𝑞𝑞; �𝐴𝐴1 𝐵𝐵1
𝐴𝐴2 𝐵𝐵2
� = 𝑟𝑟�
𝑀𝑀0(𝑥𝑥0; 𝑦𝑦𝑜𝑜; 𝑧𝑧0) цэгийг дайрсан, түүнтэй параллель байх 𝑚𝑚��⃗(𝑝𝑝; 𝑞𝑞; 𝑟𝑟) вектор
өгсөн бол шулууны тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно.
Тэгшитгэлийг бичихийн тулд шулуун дээр 𝑀𝑀(𝑥𝑥; 𝑦𝑦; 𝑧𝑧) цэг авч 𝑀𝑀0 𝑀𝑀����������⃗ вектор
олж
Çóðãààñ õàðàõàä ó÷ðààñ ïàðàëëåëü âåêòîðûí
÷àíàðààð огторгуйд шóëóóíû
хялбар òýãøèòãýë ãýíý.
ийг шулууны чиглүүлэгч вектор гэнэ.
Жишээлбэл
1. Øóëóóíû åðºíõèé òýãøèòãýëèéã хялбар тэгшитгэлд шилжүүл.
→→
MMn o//
r
zz
q
yy
p
xx 000 −
=
=
=
−
( )rqpn ;;
→

2. 𝑛𝑛�⃗(1; −2; 3) 𝑛𝑛1����⃗(3; 2; −5)
𝑛𝑛1����⃗ × 𝑛𝑛2����⃗ = ��𝐵𝐵1 𝐶𝐶1
𝐵𝐵2 𝐶𝐶2
� ; �𝐴𝐴1 𝐶𝐶1
𝐴𝐴2 𝐶𝐶2
� ; �𝐴𝐴1 𝐵𝐵1
𝐴𝐴2 𝐵𝐵2
�� = ��−2
2
3
−5
�; �1
3
3
−5
�; �1
3
−2
2
�� = {4; 14; 8}
𝑚𝑚��⃗(𝑝𝑝; 𝑞𝑞; 𝑟𝑟) = (4; 14; 8) шулууны чиглүүлэгч вектор болно.
Дээрх системийг бодож шийд 𝑀𝑀0(𝑥𝑥0; 𝑦𝑦𝑜𝑜; 𝑧𝑧0) олж шулууны тэгшитгэлийг бичнэ.
2. ªãñºí öýãèéã äàéðñàí ºãñºí âåêòîðòîé ïàðàëëåë øóëóóíû òýãøèòãýë
çîõèî.
𝒙𝒙−𝟐𝟐
𝟐𝟐
=
𝒚𝒚
−𝟑𝟑
=
𝒛𝒛+𝟑𝟑
𝟓𝟓
3. Огторгуйд өãñºí õî¸ð öýãèéã äàéðñàí øóëóóíû òýãøèòãýë
огторгуйн öýã¿¿ä ºгчээ.
𝑀𝑀1 𝑀𝑀0
������������⃗ ; 𝑀𝑀0 𝑀𝑀���������⃗ векторууд параллель учираас векторуудын
параллелийн чанараар огторгуйд өгсөн хоёр цэгийг
дайрсан шулууны тэгшитгэл.
Жишээлбэл
ªãºãäñºí õî¸ð öýãèéã äàéðñàí øóëóóíû òýãøèòãýë çîõèî.
цэгүүдийг дайрсан шулууны тэгшитгэл
𝑥𝑥−1
2
=
𝑦𝑦+2
3
=
𝑧𝑧−1
−2
болно.
4. Шулууны параметрт тэгшитгэл
t
p
xx
=
− 0
t
q
yy
=
− 0 𝑧𝑧−𝑧𝑧0
𝑟𝑟
= 𝑡𝑡 гэж тэмдэглэвэл
rtzz
qtyy
ptxx
+=
+=
+=
0
0
0
хавтгайд шулууны
параметр тэгшитгэл гэнэ
Øóëóóíóóäûí õàðèëöàí áàéðøèë
Îãòîðãóéä õî¸ð øóëóóí 1. îãòëîëöñîí
2. ïàðàëëåëü
3. ïåðïåíäèêóëÿð
4. ñîëáèñîí áàéðøèëòàé áàéíà.
øóëóóíóóä ºã÷ýý.



=−−+
=−+−
04523
0432
zyx
zyx
( ) ( )5;3;2a3;0;2 −−
→
M
( )0000 ;; zyxM ( )1111 ;; zyxM
01
0
01
0
01
0
zz
zz
yy
yy
xx
xx
−
−
=
−
−
=
−
−
( ) ( )3;1;-1Bба1;2;1 −A
1
1
1
1
1
1
r
zz
q
yy
p
xx −
=
−
=
−
2
2
2
2
2
2
r
zz
q
yy
p
xx −
=
−
=
−

3. Шулуунуудын баршилыг шулууны чиглүүлэгч векторуудээр нь тодорхойлж
болно.
𝑚𝑚1�����⃗ = (𝑝𝑝1; 𝑞𝑞1; 𝑟𝑟1) 𝑚𝑚2�����⃗ = (𝑝𝑝2; 𝑞𝑞2; 𝑟𝑟2)
1. Øóëóóíóóä îãòëîëöñîí áîë õîîðîíäîõ ºíöºã íü
Øóëóóíû õîîðîíäîõ ºíöºã íü ÷èãë¿¿ëýã÷ âåêòîðóóäûí õîîðîíäîõ ºíöºãòýé
2. Øóëóóíóóä ïàðàëëåëü áîë
3. Øóëóóíóóä ïåðïåíäèêóëÿð áîë
4. Øóëóóíóóä ñîëáèñîí áîë õàìãèéí áîãèíî çàéã
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
cos
rqprqp
rrqqpp
++⋅++
++
=ϕ
2
1
2
1
2
1
r
r
q
q
p
p
==
0212121 =++ rrqqpp

4. Îãòîðãóé äàõü õàâòãàé áà øóëóóíû áàéðøèë.
1. Øóëóóí áà õàâòãàéí õîîðîíäîõ ºíöºã.
r
zz
q
yy
p
xx 000 −
=
−
=
−
øóëóóí l⃗(p; q; r) чиглүүлэгч вектор, 0=+++ DCzByAx
õàâòãàé ( )CBAn ;;
→
нормаль вектор бол ϑ=
→→
ln гэвэл шулуун хавтгайн хоорондох
өнцөг →→
→→
⋅
⋅
==
nl
nl
ϕϑ sincos
2. Õàâòãàé áà øóëóóí ïåðïåíäèêóëÿð áîë
r
C
q
B
p
A
==
3. Õàâòãàé áà øóëóóí ïàðàëëåëü áîë 0=++ CrBqAp
4. Øóëóóí áà õàâòãàéí îãòëîëöñîí öýãèéã ñèñòåì çîõиîæ áîäíî.
Жишээлбэл
𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 − 𝑧𝑧 = 0 хавтгай ба
𝑥𝑥−2
1
=
𝑦𝑦−1
2
=
𝑧𝑧
0
шулууны хоорондох өнцгийг ол.
Бодолт
𝑛𝑛�⃗ = (1; 2; −1) 𝑚𝑚��⃗ = (1; 2; 0) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 =
1+4
√6∙√5
=
5
√30
2
22
11
2
22
11
2
122
1
222
111
121212
qp
qp
rp
rp
rq
rq
rqp
rqp
zzyyxx
d
++
−−−
=