Sistem persamaan nonlinear dapat diselesaikan dengan metode Newton-Raphson dan metode Jacobian. Metode Newton-Raphson melibatkan turunan pertama dan kedua, sementara metode Jacobian menggunakan persamaan simultan. Perbandingan kedua metode menunjukkan bahwa metode Jacobian lebih dekat dengan nilai pasti meskipun membutuhkan lebih banyak iterasi. Dalam kasus ini, metode Newton-Raphson lebih cepat mencapai hasil meskipun metode Jacobian memberikan has
Skripsi ini membahas solusi sistem persamaan diferensial linear tak homogen dengan metode koefisien tak tentu. Langkah-langkahnya adalah menuliskan sistem dalam bentuk matriks, mencari solusi homogen, mencari solusi khusus, dan menentukan solusi umum sebagai penjumlahan solusi homogen dan khusus.
Skripsi ini membahas solusi sistem persamaan diferensial linear tak homogen dengan metode koefisien tak tentu. Metode ini digunakan untuk menentukan solusi khusus dari sistem persamaan diferensial tak homogen dengan menentukan fungsi pemisalan yang sesuai dengan bentuk fungsi tak homogen, lalu menghitung koefisiennya. Langkah-langkahnya adalah menuliskan sistem dalam bentuk matriks, mencari solusi homogen, memilih fungsi pemisalan sesuai bentuk
Analisis menggunakan metode analisis komponen utama untuk mereduksi 14 variabel akademik mahasiswa matematika menjadi beberapa variabel baru. Dua komponen utama pertama mampu menangkap 56% variasi data, yang mencerminkan prestasi umum mahasiswa di mata kuliah dasar dan lanjutan. Tiga komponen utama lebih baik karena menangkap 63% variasi dengan mudah divisualisasikan.
Dokumen tersebut membahas tentang analisis cluster atau pengelompokan objek berdasarkan kemiripan karakteristiknya. Terdapat beberapa metode untuk membentuk cluster seperti metode hierarki yang terdiri atas penggabungan dan pemisahan cluster, serta metode non-hierarki. Dokumen ini juga menjelaskan berbagai ukuran kemiripan dan koefisien kesamaan untuk mengukur jarak antar objek maupun variabel dalam pembentukan cluster.
Dokumen tersebut merangkum konsep dasar regresi linier tunggal. Regresi linier digunakan untuk memodelkan hubungan antara variabel terikat dengan variabel bebas, memprediksi nilai variabel terikat berdasarkan variabel bebas, dan mengukur kekuatan hubungan antara keduanya. Model regresi linier tunggal mengasumsikan hubungan linier antara variabel terikat dan satu variabel bebas beserta komponen error.
Skripsi ini membahas solusi sistem persamaan diferensial linear tak homogen dengan metode koefisien tak tentu. Langkah-langkahnya adalah menuliskan sistem dalam bentuk matriks, mencari solusi homogen, mencari solusi khusus, dan menentukan solusi umum sebagai penjumlahan solusi homogen dan khusus.
Skripsi ini membahas solusi sistem persamaan diferensial linear tak homogen dengan metode koefisien tak tentu. Metode ini digunakan untuk menentukan solusi khusus dari sistem persamaan diferensial tak homogen dengan menentukan fungsi pemisalan yang sesuai dengan bentuk fungsi tak homogen, lalu menghitung koefisiennya. Langkah-langkahnya adalah menuliskan sistem dalam bentuk matriks, mencari solusi homogen, memilih fungsi pemisalan sesuai bentuk
Analisis menggunakan metode analisis komponen utama untuk mereduksi 14 variabel akademik mahasiswa matematika menjadi beberapa variabel baru. Dua komponen utama pertama mampu menangkap 56% variasi data, yang mencerminkan prestasi umum mahasiswa di mata kuliah dasar dan lanjutan. Tiga komponen utama lebih baik karena menangkap 63% variasi dengan mudah divisualisasikan.
Dokumen tersebut membahas tentang analisis cluster atau pengelompokan objek berdasarkan kemiripan karakteristiknya. Terdapat beberapa metode untuk membentuk cluster seperti metode hierarki yang terdiri atas penggabungan dan pemisahan cluster, serta metode non-hierarki. Dokumen ini juga menjelaskan berbagai ukuran kemiripan dan koefisien kesamaan untuk mengukur jarak antar objek maupun variabel dalam pembentukan cluster.
Dokumen tersebut merangkum konsep dasar regresi linier tunggal. Regresi linier digunakan untuk memodelkan hubungan antara variabel terikat dengan variabel bebas, memprediksi nilai variabel terikat berdasarkan variabel bebas, dan mengukur kekuatan hubungan antara keduanya. Model regresi linier tunggal mengasumsikan hubungan linier antara variabel terikat dan satu variabel bebas beserta komponen error.
Panduan praktis penerapan analisis komponen utama atau principal componen ana...Mujiyanto -
ย
PCA pada dasarnya bertujuan untuk menyederhanakan variabel yang diamati dengan cara menyusutkan (mereduksi) dimensinya.
PCA dilakukan dengan cara menghilangkan korelasi diantara variabel bebas melalui transformasi variabel bebas asal ke variabel baru yang tidak berkorelasi sama sekali atau yang biasa disebut dengan principal component.
Setelah beberapa komponen hasil PCA yang bebas multikolinearitas diperoleh, maka komponen-komponen tersebut menjadi variabel bebas baru yang akan diregresikan atau dianalisa pengaruhnya terhadap variabel tak bebas (Y) dengan menggunakan analisis regresi.
Principal Component Analysis (PCA) dapat mengatasi masalah pelanggaran asumsi klasik multikolinearitas tanpa perlu membuang variabel bebas yang berkolinear tinggi. Sehingga setelah diperoleh variabel bebas baru dari hasil reduksi, dapat meramalkan pengaruh dari variabel bebas (contoh : pendapatan) terhadap variabel tak bebas (contoh : konsumsi) melalui analisis regresi linier.
Dengan metode PCA, kita akan mendapatkan variabel bebas baru yang tidak berkorelasi, bebas satu sama lainnya, lebih sedikit jumlahnya daripada variabel asli, akan tetapi bisa menyerap sebagian besar informasi yang terkandung dalam variabel asli atau yang bisa memberikan kontribusi terhadap varian seluruh variabel.
APG Pertemuan 3 : Sample Geometry and Random Sampling (1)Rani Nooraeni
ย
Dokumen tersebut membahas tentang sample geometry dan random sampling. Secara ringkas, dokumen menjelaskan tentang diagram p-dimensi dan n-dimensi untuk mewakili data sampel, serta menghitung nilai rata-rata vektor dan dekomposisi vektor menjadi komponen rata-rata dan deviasi. Dokumen juga membahas mengenai nilai ekspektasi dari sample mean dan covarians matriks, serta generalized variance untuk mewakili variasi data pada lebih d
Perbandingan Metode Partial Least Square (PLS) dengan Regresi Komponen Utama ...Marnii amiru
ย
Ringkasan dokumen tersebut adalah:
1. Dokumen tersebut membandingkan metode Partial Least Square (PLS) dan regresi komponen utama untuk mengatasi masalah multikolinearitas pada suatu data.
2. Hasilnya menunjukkan bahwa metode regresi komponen utama lebih baik dari PLS berdasarkan nilai koefisien determinasi yang lebih tinggi.
3. Kedua metode digunakan untuk mengurangi dimensi variabel bebas dan menghilang
Dokumen tersebut membahas sistem kendali dalam koordinat umum, termasuk posisi partikel, koordinat umum, derajat kebebasan, dan penurunan persamaan Lagrange. Secara khusus, dibahas cara menyatakan posisi partikel dalam sistem dengan koordinat umum, konsep sistem kendali, dan penggunaan koordinat kartesius dan koordinat umum untuk menyatakan gerak partikel tunggal dan sistem.
APG Pertemuan 5 : Inferences about a Mean Vector and Comparison of Several Mu...Rani Nooraeni
ย
Dokumen tersebut membahas tentang inferensi statistika multivariat yang meliputi tiga kalimat utama:
1. Membandingkan rata-rata beberapa populasi menggunakan statistik uji Hotelling's T2 yang berdistribusi F.
2. Membuat wilayah kepercayaan untuk vektor rata-rata dan matriks varians-kovarians menggunakan ukuran sampel dan nilai kritis F.
3. Melakukan perbandingan banyak rata-rata menggunakan met
APG Pertemuan 6 : Inferensia Dua Faktor Rata-rataRani Nooraeni
ย
Dokumen tersebut membahas perbandingan vektor rata-rata dari dua populasi independen dan dua populasi tergantung. Secara ringkas, dokumen menjelaskan cara menguji hipotesis perbedaan rata-rata antar dua populasi, wilayah kepercayaan, dan selang kepercayaan hasil uji statistik. Contoh kasus diberikan untuk membandingkan hasil analisis kimia dari dua laboratorium berbeda.
Dokumen tersebut membahas tentang sistem persamaan linear dua variabel, termasuk bentuk umum sistem persamaan tersebut dan beberapa metode penyelesaiannya seperti metode grafik, substitusi, eliminasi, dan eliminasi substitusi.
Panduan praktis penerapan analisis komponen utama atau principal componen ana...Mujiyanto -
ย
PCA pada dasarnya bertujuan untuk menyederhanakan variabel yang diamati dengan cara menyusutkan (mereduksi) dimensinya.
PCA dilakukan dengan cara menghilangkan korelasi diantara variabel bebas melalui transformasi variabel bebas asal ke variabel baru yang tidak berkorelasi sama sekali atau yang biasa disebut dengan principal component.
Setelah beberapa komponen hasil PCA yang bebas multikolinearitas diperoleh, maka komponen-komponen tersebut menjadi variabel bebas baru yang akan diregresikan atau dianalisa pengaruhnya terhadap variabel tak bebas (Y) dengan menggunakan analisis regresi.
Principal Component Analysis (PCA) dapat mengatasi masalah pelanggaran asumsi klasik multikolinearitas tanpa perlu membuang variabel bebas yang berkolinear tinggi. Sehingga setelah diperoleh variabel bebas baru dari hasil reduksi, dapat meramalkan pengaruh dari variabel bebas (contoh : pendapatan) terhadap variabel tak bebas (contoh : konsumsi) melalui analisis regresi linier.
Dengan metode PCA, kita akan mendapatkan variabel bebas baru yang tidak berkorelasi, bebas satu sama lainnya, lebih sedikit jumlahnya daripada variabel asli, akan tetapi bisa menyerap sebagian besar informasi yang terkandung dalam variabel asli atau yang bisa memberikan kontribusi terhadap varian seluruh variabel.
APG Pertemuan 3 : Sample Geometry and Random Sampling (1)Rani Nooraeni
ย
Dokumen tersebut membahas tentang sample geometry dan random sampling. Secara ringkas, dokumen menjelaskan tentang diagram p-dimensi dan n-dimensi untuk mewakili data sampel, serta menghitung nilai rata-rata vektor dan dekomposisi vektor menjadi komponen rata-rata dan deviasi. Dokumen juga membahas mengenai nilai ekspektasi dari sample mean dan covarians matriks, serta generalized variance untuk mewakili variasi data pada lebih d
Perbandingan Metode Partial Least Square (PLS) dengan Regresi Komponen Utama ...Marnii amiru
ย
Ringkasan dokumen tersebut adalah:
1. Dokumen tersebut membandingkan metode Partial Least Square (PLS) dan regresi komponen utama untuk mengatasi masalah multikolinearitas pada suatu data.
2. Hasilnya menunjukkan bahwa metode regresi komponen utama lebih baik dari PLS berdasarkan nilai koefisien determinasi yang lebih tinggi.
3. Kedua metode digunakan untuk mengurangi dimensi variabel bebas dan menghilang
Dokumen tersebut membahas sistem kendali dalam koordinat umum, termasuk posisi partikel, koordinat umum, derajat kebebasan, dan penurunan persamaan Lagrange. Secara khusus, dibahas cara menyatakan posisi partikel dalam sistem dengan koordinat umum, konsep sistem kendali, dan penggunaan koordinat kartesius dan koordinat umum untuk menyatakan gerak partikel tunggal dan sistem.
APG Pertemuan 5 : Inferences about a Mean Vector and Comparison of Several Mu...Rani Nooraeni
ย
Dokumen tersebut membahas tentang inferensi statistika multivariat yang meliputi tiga kalimat utama:
1. Membandingkan rata-rata beberapa populasi menggunakan statistik uji Hotelling's T2 yang berdistribusi F.
2. Membuat wilayah kepercayaan untuk vektor rata-rata dan matriks varians-kovarians menggunakan ukuran sampel dan nilai kritis F.
3. Melakukan perbandingan banyak rata-rata menggunakan met
APG Pertemuan 6 : Inferensia Dua Faktor Rata-rataRani Nooraeni
ย
Dokumen tersebut membahas perbandingan vektor rata-rata dari dua populasi independen dan dua populasi tergantung. Secara ringkas, dokumen menjelaskan cara menguji hipotesis perbedaan rata-rata antar dua populasi, wilayah kepercayaan, dan selang kepercayaan hasil uji statistik. Contoh kasus diberikan untuk membandingkan hasil analisis kimia dari dua laboratorium berbeda.
Dokumen tersebut membahas tentang sistem persamaan linear dua variabel, termasuk bentuk umum sistem persamaan tersebut dan beberapa metode penyelesaiannya seperti metode grafik, substitusi, eliminasi, dan eliminasi substitusi.
Dokumen tersebut membahas tentang sistem persamaan linier dan matriks. Terdapat penjelasan mengenai pengertian persamaan linier, sistem linier, matriks koefisien dan matriks yang diperbesar, serta operasi baris elementer yang digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier.
1. Dokumen ini membahas sistem persamaan linear dua variabel, termasuk bentuk umum dan metode penyelesaiannya seperti metode grafik, substitusi, eliminasi, dan eliminasi substitusi.
2. Metode grafik menyelesaikan sistem persamaan dengan menentukan titik potong antara dua garis yang merepresentasikan masing-masing persamaan.
3. Metode substitusi dan eliminasi menggunakan operasi aljabar untuk menghilangkan satu variabel dan menentukan
PPT Sistem Persaman Linear Metode Elimnasi, Subtitusi, Eliminasi-SubstitusiYoanna Rianda
ย
1. Dokumen ini membahas sistem persamaan linear dua variabel, termasuk bentuk umum dan metode penyelesaiannya seperti metode grafik, substitusi, eliminasi, dan eliminasi substitusi.
2. Metode grafik menyelesaikan sistem persamaan dengan menentukan titik potong antara dua garis yang merepresentasikan masing-masing persamaan.
3. Metode substitusi dan eliminasi menggunakan operasi aljabar untuk menghilangkan satu variabel dan menentukan
Ada banyak cara untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linear diantaranya dengan menggunakan metode langsung, misalnya Gauss dan variasi-variasinya dan metode iterasi, diantaranya Jacobi dan Gauss-Seidel. Metode iterasi Gauss-Seidel merupakan proses rekursi berulang untuk mendekati bilangan tidak diketahui. Sebagai titik awal pada proses rekursi tersebut diperlukan nilai awal dan biasanya X = 0. Pada proses selanjutnya nilai yang sudah diketahui tahap sebelumnya dipergunakan untuk mencari nilai pada tahap berikutnya. Proses tersebut terus berulang hingga diperoleh nilai yang sesungguhnya atau berhenti jika toleransi kesalahan tertentu telah dicapai.
Evina Triagustina media pembelajaran berbasis ppt materi sistem persamaan lin...EvinaTriagustina
ย
Dokumen tersebut membahas tentang Jin, siswa baru SMA yang ingin membeli beberapa jajanan namun tidak mengetahui harganya. Dokumen tersebut juga menyajikan informasi total harga pembelian jajanan dari teman-teman Jin untuk memecahkan sistem persamaan linear yang terbentuk dari harga jajanan tersebut.
Dokumen tersebut membahas metode posisi palsu untuk menyelesaikan persamaan non-linear. Metode ini mempercepat konvergensi dari metode bagi dua dengan menentukan titik potong garis lurus antara dua titik awal yang memiliki nilai fungsi berlawanan tanda. Langkah-langkahnya meliputi penentuan nilai awal x1 dan x2, kalkulasi x3 berdasarkan rumus, dan penentuan subinterval baru berdasarkan tanda nilai fungsi x1 dan
Sistem persamaan linear terdiri dari dua atau lebih persamaan linear yang menghubungkan variabel-variabel yang sama. Solusi sistem persamaan linear adalah nilai-nilai variabel yang memenuhi semua persamaan sekaligus. Metode dasar untuk menyelesaikan sistem persamaan linear adalah dengan melakukan operasi baris elementer untuk mengeliminasi faktor-faktor yang tidak diketahui secara sistematis.
Dokumen tersebut membahas sistem persamaan linear tiga variabel, termasuk definisi, bentuk umum, dan metode penyelesaiannya seperti substitusi, eliminasi, dan determinan.
PPT SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN PROGRAM LINEAR.pptx02RiniHandayani
ย
Sistem persamaan linear dan program linear membahas:
1. Pengertian sistem persamaan linear dua dan tiga variabel serta metode penyelesaiannya seperti grafik, eliminasi, substitusi, dan eliminasi-substitusi.
2. Pengertian program linear sebagai metode untuk memecahkan masalah optimalitas dengan batasan yang dinyatakan dalam sistem pertidaksamaan linear.
Dokumen tersebut membahas tentang penyelesaian sistem persamaan linier dengan metode eliminasi Gauss-Jordan. Metode ini dilakukan dengan mengubah sistem persamaan ke dalam bentuk matriks augmentasi, lalu melakukan operasi baris elementer untuk mengubah matriks menjadi bentuk baris eselon tereduksi. Program yang dibuat dapat memproses sistem persamaan linier secara otomatis dengan mengikuti algoritma eliminasi Gauss-Jordan.
The document provides details on using the bisection method to find the root of a nonlinear equation. It begins with an overview of the bisection method and how it iteratively searches for the root between two initial guesses. It then describes how to check if the initial guesses validly bracket a root by evaluating the product of the function values at the guesses. If the product is negative, a root is known to exist between the guesses. The method is then explained step-by-step, showing how the range is bisected in each iteration until converging on the root. An example problem is provided and solved over 12 iterations to demonstrate the convergence of the bisection method.
Modul ini membahas metode Regula-Falsi untuk menemukan akar persamaan aljabar non-linier tunggal. Metode ini memodifikasi metode Bisection dengan mempertimbangkan 'kesebangunan' pada kurva fungsi. Algoritmanya menghasilkan formula rekursif untuk menentukan nilai baru. Metode ini konvergen secara linear dengan faktor pengali lebih besar dari metode Bisection, dan dapat digunakan untuk fungsi yang turunannya
This document provides instructions for converting a regular SIM card into a micro-SIM card using a printed template. It explains how to print and use the template, cut the SIM card to size along guide lines, and file down the corners to create a micro-SIM card that can then be inserted into an adapter to fit devices requiring the smaller format. Safety disclaimers are also provided.
Dokumen tersebut membahas tentang metode numerik sebagai algoritma komputasi untuk menyelesaikan masalah matematika yang sulit diselesaikan secara analitis. Metode numerik menggunakan pendekatan iteratif untuk memperoleh hasil yang mendekati nilai sebenarnya. Dokumen ini juga membahas bilangan bulat, pecahan, akurasi, presisi, dan jenis kesalahan dalam metode numerik."
Membangun website e-commerce_berbasis_php_dan_my_sqlAlvin Setiawan
ย
Dokumen tersebut merupakan laporan tugas akhir mengenai pembuatan website e-commerce berbasis PHP dan MySQL. Laporan tersebut membahas latar belakang, tujuan, dan metode pembuatan website e-commerce untuk memudahkan proses berbelanja secara online.
Ringkasan dokumen tersebut adalah:
1) Dokumen tersebut membahas perancangan sistem terperinci yang mencakup desain output, input, proses, database, dan kontrol.
2) Beberapa topik yang dibahas antara lain merancang formulir kertas dan elektronik, kode, menus, dan perangkat masukan langsung seperti scanner.
3) Tujuan desain output adalah mengubah data menjadi informasi yang berkualitas untuk pengambilan keputusan
Workshop "CSR & Community Development (ISO 26000)"_di BALI, 26-28 Juni 2024Kanaidi ken
ย
Dlm wktu dekat, Pelatihan/WORKSHOP โCSR/TJSL & Community Development (ISO 26000)โ akn diselenggarakan di Swiss-BelHotel โ BALI (26-28 Juni 2024)...
Dgn materi yg mupuni & Narasumber yg kompeten...akn banyak manfaat dan keuntungan yg didpt mengikuti Pelatihan menarik ini.
Boleh jga info ini๐ utk dishare_kan lgi kpda tmn2 lain/sanak keluarga yg sekiranya membutuhkan training tsb.
Smga Bermanfaat
Thanks Ken Kanaidi
Paper ini bertujuan untuk menganalisis pencemaran udara akibat pabrik aspal. Analisis ini akan fokus pada emisi udara yang dihasilkan oleh pabrik aspal, dampak kesehatan dan lingkungan dari emisi tersebut, dan upaya yang dapat dilakukan untuk mengurangi pencemaran udara
Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 Fase D Kurikulum Merdeka - [abdiera.com]Fathan Emran
ย
Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka - abdiera.com. Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka.
RANCANGAN TINDAKAN UNTUK AKSI NYATA MODUL 1.4 BUDAYA POSITIF.pdf
ย
6286 10408-1-pb
1. E-Jurnal Matematika Vol. 2, No.2, Mei 2013, 11-17 ISSN: 2303-1751
1
Mahasiswa Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
2,3
Staf Pengajar Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
PERBANDINGAN SOLUSI SISTEM PERSAMAAN
NONLINEAR MENGGUNAKAN METODE NEWTON-
RAPHSON DAN METODE JACOBIAN
NANDA NINGTYAS RAMADHANI UTAMI
1
, I NYOMAN WIDANA
2
,
NI MADE ASIH
3
1, 2, 3
Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana, Bukit Jimbaran-Bali,
e-mail: 1
belle_nanda@yahoo.com.au, 2
nwidana@yahoo.com, 3
sedhana2@gmail.com
Abstract
System of nonlinear equations is a collection of some nonlinear equations.
The Newton-Raphson method and Jacobian method are methods used for solving
systems of nonlinear equations. The Newton-Raphson methods uses first and
second derivatives and indeed does perform better than the steepest descent
method if the initial point is close to the minimizer. Jacobian method is a method
of resolving equations through iteration process using simultaneous equations. If
the Newton-Raphson methods and Jacobian methods are compared with the exact
value, the Jacobian method is the closest to exact value but has more iterations. In
this study the Newton-Raphson method gets the results faster than the Jacobian
method (Newton-Raphson iteration method is 5 and 58 in the Jacobian iteration
method). In this case, the Jacobian method gets results closer to the exact value.
Keywords: System of nonlinear equations, Newton-Raphsonโs method, Jacobianโs
method
1. Pendahuluan
Sistem persamaan nonlinear merupakan kumpulan dari beberapa
persamaan nonlinear dengan fungsi tujuannya saja atau bersama dengan fungsi
kendala berbentuk nonlinier, yaitu pangkat dari variabelnya lebih dari satu [6].
Ada beberapa fungsi tujuan dalam persamaan nonlinier yang tidak bisa
diselesaikan secara analitik, tetapi dapat diselesaikan dengan metode-metode
khusus untuk penyelesaian masalah dalam persamaan nonlinier. Untuk
menyelesaikan permasalahan persamaan nonlinier terdapat banyak metode dan
algoritma yang bisa digunakan, tetapi setiap metode dan algoritma yang ada
mempunyai kelebihan dan kekurangan masing-masing. Salah satunya metode
numerik digunakan untuk menyelesaikan persoalan dimana perhitungan secara
analitik tidak dapat digunakan. Ada banyak macam metode numerik untuk
menyelesaikan sistem persamaan linear maupun sistem persamaan nonlinear
diantaranya metode Newton-Raphson dan metode Jacobian.
Metode Newton-Raphson adalah metode untuk mencari hampiran atau
pendekatan terhadap akar fungsi real [1]. Metode Newton-Raphson sering
2. Nanda Ningtyas Ramadhani U, I Nyoman Widana, Ni Made Asih Perbandingan Solusi Sistem
Persamaan Nonlinear
12
konvergen dengan cepat, terutama bila iterasi dimulai cukup dekat dengan akar
yang diinginkan. Secara umum pembahasan metode Newton-Raphson yang
digunakan menggunakan pendekatan polinomial Taylor:
๐๐ ๐ฅ = ๐ ๐ฅ0 + ๐โฒ
๐ฅ0 ๐ฅ โ ๐ฅ0 +
๐"(๐ฅ0)
2!
๐ฅ โ ๐ฅ0
2
+ . . . +
๐ ๐ (๐ฅ0)
๐!
๐ฅ โ
๐ฅ0๐ (1)
Dalam penyelesaian sistem persamaan nonlinear yang terdiri dari himpunan nilai-
nilai ๐ฅ yang secara simultan memberikan semua persamaan tersebut nilai yang
sama dengan nol [4].
Perhatikan sistem persamaan nonlinear di bawah ini :
๐1 = ๐1 ๐ฅ1, ๐ฅ2, ๐ฅ3, . . . , ๐ฅ ๐ = 0
๐2 = ๐2 ๐ฅ1, ๐ฅ2, ๐ฅ3, . . . , ๐ฅ ๐ = 0
โฎ โฎ โฎ
๐๐ = ๐๐ ๐ฅ1, ๐ฅ2, ๐ฅ3, . . . , ๐ฅ ๐ = 0
(2)
Dimana penyelesaiannya dengan perluasan metode Newton-Raphson melalui
ekspansi deret taylor pada masing-masing persamaan. Dengan ekspansi deret
taylor orde pertama:
๐ ๐ฅ๐+1 = ๐ ๐ฅ๐ + ๐ฅ๐+1 โ ๐ฅ๐ ๐โฒ(๐ฅ๐) (3)
Sehingga persamaan (2) menjadi:
๐1 ๐+1 โ (๐1)๐
๐2 ๐+1 โ (๐2)๐
โฎ
๐๐ ๐+1 โ (๐๐)๐
=
๐(๐1)๐
๐ ๐ฅ1
๐(๐1)๐
๐ ๐ฅ2
โฆ
๐(๐1)๐
๐๐ฅ ๐
๐(๐2)๐
๐ ๐ฅ1
๐(๐2)๐
๐ ๐ฅ2
โฆ
๐(๐2)๐
๐๐ฅ ๐
โฎ
๐(๐ ๐ )๐
๐๐ฅ1
โฎ
๐(๐ ๐ )๐
๐๐ฅ2
โฎ
โฆ
๐(๐ ๐ )๐
๐๐ฅ ๐
๐ฅ1 ๐+1 โ ๐ฅ1 ๐
๐ฅ2 ๐+1 โ ๐ฅ2 ๐
โฎ
๐ฅ ๐ ๐+1 โ ๐ฅ ๐ ๐
(4)
Metode Jacobian adalah metode penyelesaian persamaan melalui proses
iterasi dengan menggunakan persamaan [2]:
๐ฅ๐
(๐+1)
=
๐ ๐โ ๐ ๐๐ ๐ฅ ๐
๐๐
๐=1
๐ ๐๐
, ๐ โ ๐, ๐ = 1,2, , ๐ โฆ dan ๐ = 0,1,2, โฆ (5)
bila dilihat dari sistem persamaan sebagai berikut :
๐11 ๐ฅ1 + ๐12 ๐ฅ2 + โฆ + ๐11 ๐ฅ1 = ๐1
๐21 ๐ฅ1 + ๐22 ๐ฅ2 + โฆ + ๐1๐ ๐ฅ ๐ = ๐2
โฎ
๐ ๐1 ๐ฅ1 + ๐ ๐2 ๐ฅ2
โฎ
+ โฆ +
โฎ
๐ ๐๐ ๐ฅ ๐ = ๐ ๐
3. e-Jurnal Matematika Vol. 2, No. 2, Mei 2013, 11-17
13
dengan syarat ๐๐๐ โ 0 , ๐ = 1,2,3, . . . , ๐ maka sistem persamaan iterasinya dapat
ditulis sebagai berikut :
๐ฅ1
(๐+1)
=
๐1โ ๐12 ๐ฅ2
๐ โ ...โ ๐1๐ ๐ฅ ๐
๐
๐11
๐ฅ2
(๐+1)
=
๐2โ ๐12 ๐ฅ1
๐ โ ๐23 ๐ฅ3
๐ โ ...โ ๐2๐ ๐ฅ ๐
๐
๐22
โฎ
๐ฅ ๐
(๐+1)
=
๐ ๐ โ ๐ ๐1 ๐ฅ1
๐ โ ๐ ๐2 ๐ฅ2
๐ โ ...โ ๐ ๐๐ ๐ฅ ๐โ1
๐
๐ ๐๐
(6)
dengan ๐ = 0, 1, 2, . . .
Iterasi dimulai dengan memberikan nilai awal untuk ๐ฅ:
๐ฅ(0)
=
๐ฅ1
(0)
๐ฅ2
(0)
โฎ
๐ฅ ๐
(0)
(7)
kondisi berhenti iterasinya, dapat digunakan pendekatan galat relatif
๐ฅ ๐
(๐+1)โ ๐ฅ ๐
๐
๐ฅ ๐
(๐+1)
< ๐, untuk i = 1, 2, 3, . . . , n (8)
Syarat agar iterasinya konvergen adalah:
๐๐๐ > ๐๐๐
๐
๐=0 , untuk ๐ = 1, 2, 3, . . . ,n (9)
Jika syarat diatas dipenuhi, maka kekonvergenan akan dijamin.
Kekonvergenannya juga ditentukan pada pemilihan tebakan awal. Tebakan yang
terlalu jauh dari solusi sejatinya dapat menyebabkan iterasi divergen.
2. Metode Penelitian
Dalam penelitian ini data diperoleh dari data sekunder. Untuk
menyelesaikan sistem persamaan nonlinear dengan metode Newton-Raphson,
tuliskan sistem tersebut dalam bentuk persamaan (2). Langkah selanjutnya
menentukan nilai awal untuk masing-masing variabel(๐ฅ(0)
). Kemudian
menghitung nilai dari fungsi sistem persamaan nonlinear dengan nilai tebakan
awal yang telah ditentukan pada langkah sebelumnya. Langkah berikutnya
mencari turunan dari fungsi sistem persamaan nonlinear untuk masing-masing
variabelnya. Setelah itu menghitung turunan dari fungsi yang telah didapat dari
langkah sebelumnya dengan menggunakan nilai tebakan awal (๐ฅ(0)
). Menentukan
deviasi dari setiap variabelnya. Kemudian menghitung nilai titik selanjutnya.
Dalam tulisan ini nilai galat ditetapkan sebesar 10โ6
. Ulangi terus proses iterasi
metode Newton-Raphson sampai konvergen.
Langkah penyelesaian sistem persamaan nonlinear dalam metode Jacobian
adalah menuliskan sistem tersebut dalam bentuk persamaan (2) (sistem persamaan
4. Nanda Ningtyas Ramadhani U, I Nyoman Widana, Ni Made Asih Perbandingan Solusi Sistem
Persamaan Nonlinear
14
nonlinear yang khusus untuk metode Jacobian yang hanya bisa dilinearkan).
Selanjutnya, menentukan nilai awal variabel, diambil nilai awal dari ๐ฅ1 = ๐ฅ2 =
๐ฅ3 = . . . = ๐ฅ ๐ = 0 . Setelah itu menghitung nilai ๐ฅ1
(1)
, ๐ฅ2
(1)
, ๐ฅ3
(1)
, โฆ , ๐ฅ ๐
(1)
menggunakan persamaan (6). Dalam tulisan ini nilai galat ditetapkan sebesar
10โ6
. Selanjutnya ulangi lagi proses iterasi diatas sampai didapatkan nilai
variabel ๐ฅ yang konvergen.
3. Hasil dan Pembahasan
Sistem persamaan nonlinear yang diberikan adalah sebagai berikut:
2๐ฅ2
+ ๐ฆ โ ๐ง2
โ 10 = 0
3๐ฅ2
+ 6๐ฆ โ ๐ง2
โ 25 = 0
๐ฅ2
โ 5๐ฆ + 6๐ง2
โ 4 = 0
(10)
3.1 Solusi Penyelesaian Sistem Persamaan Nonlinear dengan Metode
Newton-Raphson
Langkah-langkah dalam menyelesaikan sistem persamaan nonlinear
dengan metode Newton- Raphson adalah:
Pertama menuliskan sistem persamaan nonlinear dengan menggunakan persamaan
(2) diperoleh:
๐น ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = 2๐ฅ2
+ ๐ฆ โ ๐ง2
โ 10 = 0
๐บ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = 3๐ฅ2
+ 6๐ฆ โ ๐ง2
โ 25 = 0
๐ป ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง = ๐ฅ2
โ 5๐ฆ + 6๐ง2
โ 4 = 0
Kedua menentukan nilai tebakan awal untuk masing-masing variabel ๐ฅ, ๐ฆ, dan ๐ง,
dimana dalam hal ini dipilih nilai tebakan awalnya ๐ฅ0 = ๐ฆ0 = ๐ง0 = 1, selanjutnya
menghitung nilai fungsi dari sistem persamaan nonlinear:
๐น 1,1,1 = 2 1 2
+ 1 โ 1 2
โ 10 = โ8
๐บ 1,1,1 = 3 1 2
+ 6 1 โ (1)2
โ 25 = โ17
๐ป 1,1,1 = (1)2
โ 5(1) + 6(1)2
โ 4 = โ2
Setelah itu, mencari turunan dari ketiga fungsi sistem persamaan nonlinear untuk
masing-masing variabelnya:
๐๐น
๐๐ฅ
= 4๐ฅ
๐๐น
๐๐ฆ
= 1
๐๐น
๐๐ง
= โ2๐ง
๐๐บ
๐๐ฅ
= 6๐ฅ
๐๐บ
๐๐ฆ
= 6
๐๐บ
๐๐ง
= โ2๐ง
๐๐ป
๐๐ฅ
= 2๐ฅ
๐๐ป
๐๐ฆ
= โ5
๐๐ป
๐๐ง
= 12๐ง
.
Menghitung nilai turunan dari fungsi yang telah didapat dari langkah sebelumnya
dengan menggunakan nilai tebakan awal, yaitu ๐ฅ = ๐ฆ = ๐ง = 1, yaitu:
5. e-Jurnal Matematika Vol. 2, No. 2, Mei 2013, 11-17
15
๐๐น
๐๐ฅ
= 4๐ฅ = 4
๐๐น
๐๐ฆ
= 1
๐๐น
๐๐ง
= โ2๐ง = โ2
๐๐บ
๐๐ฅ
= 6๐ฅ = 6
๐๐บ
๐๐ฆ
= 6
๐๐บ
๐๐ง
= โ2๐ง โ 2
๐๐ป
๐๐ฅ
= 2๐ฅ = 2
๐๐ป
๐๐ฆ
= โ5
๐๐ป
๐๐ง
= 12๐ง = 12
.
Selanjutnya menentukan deviasi, maka tulis terlebih dahulu nilai turunan dari
fungsi langkah sebelumnya beserta nilai fungsi sistem persamaan nonlinear
dimana akan dibentuk matriks, diperoleh:
4 1 โ2
6 6 โ2
2 โ5 12
โ๐1
โ๐2
โ๐3
= โ
โ8
โ17
2
โ๐1
โ๐2
โ๐3
= โ
4 1 โ2
6 6 โ2
2 โ5 12
โ1
โ8
โ17
2
=
1.882813
1.046875
0.289063
didapatkan โ๐1 = 1.882813, โ๐2 = 1.046875 dan โ๐3 = 0.289063. Selanjutnya
akan dihitung nilai pendekatan yang lebih tepat dari tebakan awal dengan
menggunakan persamaan (3), didapatkan ๐ฅ1 = 2.882813, ๐ฅ2 = 2.046875, ๐ฅ3 =
1.289063. Nilai ๐ฅ๐, ๐ฆ๐ dan ๐ง๐ yang sudah didapatkan dan akan dijadikan sebagai
nilai awal untuk iterasi selanjutnya. Ulangi langkah kedua proses iterasi metode
Newton-Raphson sampai mendapatkan nilai deviasi sekecil mungkin atau
mendekati nol.
3.2 Solusi Penyelesaian Sistem Persamaan Nonlinear dengan Metode
Jacobian
Langkah-langkah dalam menyelesaiakan sistem persamaan nonlinear
adalah pertama menyusun sistem persamaan nonlinear (10). Langkah selanjutnya
melinearkan sistem persamaan nonlinear dengan memisalkan ๐ฅ1 = ๐ฅ2
, ๐ฅ2 = ๐ฆ
๐ฅ3 = ๐ง2
, maka sistem persamaan akan menjadi:
2๐ฅ1 + ๐ฅ2 โ ๐ฅ3 โ 10 = 0
3๐ฅ1 + 6๐ฅ2 โ ๐ฅ3 โ 25 = 0
๐ฅ1 โ 5๐ฅ2 + 6๐ฅ3 โ 4 = 0
(11)
dari persamaan (11) diperoleh :
๐ฅ1 =
10โ๐ฅ2+๐ฅ3
2
๐ฅ2 =
25โ3๐ฅ1+๐ฅ3
6
๐ฅ3 =
4โ๐ฅ1+5๐ฅ2
6
(12)
6. Nanda Ningtyas Ramadhani U, I Nyoman Widana, Ni Made Asih Perbandingan Solusi Sistem
Persamaan Nonlinear
16
Selanjutnya, akan ditentukan nilai awal variabel, misalkan nilai awalnya adalah
๐ฅ1 = ๐ฅ2 = ๐ฅ3 = 0. Subtitusikan nilai awal variabel pada iterasi pertama dari
persamaan (12), didapatkan nilai ๐ฅ1
1
= 5, ๐ฅ2
(1)
= 4.1667, ๐ฅ3
(1)
= 0.667 (iterasi
pertama). Selanjutnya mencari nilai ๐ฅ1
2
, ๐ฅ2
(2)
, ๐ฅ3
(2)
dengan persamaan (12),
dimana nilai ๐ฅ1
(1)
, ๐ฅ2
(1)
, ๐ฅ3
(1)
sebagai nilai awal, maka didapatkan nilai ๐ฅ1
2
=
3.25, ๐ฅ2
(2)
= 1.778, ๐ฅ3
(2)
= 3.305. Ulangi proses langkah sebelumnya dalam
persamaan (12) dengan mensubtitusikan nilai iterasi sebelumnya yang telah
didapat menjadi nilai awal pada iterasi selanjutnya sampai didapatkan nilai
variabel ๐ฅ1
๐
, ๐ฅ2
(๐)
dan ๐ฅ3
(๐)
yang tidak berubah dari iterasi yang sebelumnya
(konvergen).
3.3 Perbandingan Solusi Penyelesaian Sistem Persamaan Nonlinear dengan
Metode Newton-Raphson dan Metode Jacobian dengan Nilai Eksaknya.
Dalam pengerjaan secara analitik, didapatkan solusi dari sistem persamaan
nonlinear (10), dengan nilai eksak ๐ฅ = 2.183031, ๐ฆ = 2.046875, ๐ง =
1.256234. Untuk metode Newton-Raphson didapatkan nilai ๐ฅ = 2.183032,
๐ฆ = 2.046875, ๐ง = 1.256234 dengan banyaknya iterasi 5, sedangkan metode
Jacobian didapatkan nilai ๐ฅ = 2.183031, ๐ฆ = 2.046875, ๐ง = 1.256234 dengan
banyak iterasi 58. Terlihat metode Jacobian jauh lebih banyak melakukan iterasi
dibandingkan metode Newton-Raphson tetapi untuk solusi sistem persamaan
nonlinear metode Jacobian lebih mendekati dari nilai eksaknya (tabel 1).
Tabel 1. Perbandingan Solusi Penyelesaian Sistem Persamaan Nonlinear Metode
Newton-Raphson dan Metode Jacobian dengan Nilai Eksaknya.
Metode / Variabel ๐ฅ ๐ฆ ๐ง Iterasi
Eksak 2.183031 2.046875 1.256234 -
Newton-Raphson 2.183032 2.046875 1.256234 5
Jacobian 2.183031 2.046875 1.256234 58
4. Kesimpulan
Berdasarkan hasil dan pembahasan, kesimpulan yang didapatkan dari
solusi sistem persamaan nonlinear dengan nilai eksak ๐ฅ = 2.183031, ๐ฆ =
2.046875, ๐ง = 1.256234, dengan metode Newton-Raphson didapatkan nilai
๐ฅ = 2.183032, ๐ฆ = 2.046875, ๐ง = 1.256234. Sedangkan untuk metode
Jacobian didapatkan nilai ๐ฅ = 2.183031, ๐ฆ = 2.046875, ๐ง = 1.256234. Dalam
hal ini metode Newton-Raphson mendapatkan hasil yang lebih cepat dengan 5
7. e-Jurnal Matematika Vol. 2, No. 2, Mei 2013, 11-17
17
iterasi dibandingkan metode Jacobian dengan 58 iterasi, tetapi metode Jacobian
mendapatkan hasil yang lebih mendekati dengan nilai eksak.
Daftar Pustaka
[1] Chong, Edwin K.P.& Stanislaw H. Zak. 2008.โAn Introduction To
Optimization Third Editionโ. United States of America : Wiley.
[2] Heri, Sutarno & Racmatin Dewi. โMetode Numerik. Jurusan Pendidikan
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Pendidikan Indonesia.
[3] Ilmiadi. 2010. Solusi Sistem Persamaan Nonlinear dengan Metode Jacobian.
http://lib.uin-malang.ac.id/thesis/fullchapter/05510006-ilmiadi.ps. di akses
pada tanggal 5 Agustus 2012.
[4] Mathews, John. H. 1992. โNumerical Methodsโ. Prentice-hall Internasioal,Inc
[5] Nasha, Khutwatun. 2008. โPenyelesaian Sistem Persamaan Tak Linier
Dengan Metode Newton-Raphsonโ.http://lib.uin-
malang.ac.id/thesis/fullchapter/03110240-khutwatun-nasiha.ps. diakses pada
tanggal 19 September 2012.
[6] Rurres, Anton. 2004. Aljabar Linear Elementer Edisi 8 jilid 1โ. Jakarta :
Erlangga.