Alvin Setiawan, profile picture
Uploaded byAlvin Setiawan
8,393 views

Met num02 persamaan non linier

Dokumen ini membahas berbagai metode numerik untuk menyelesaikan persamaan non-linier, termasuk metode biseksi, regula falsi, dan Newton-Raphson. Setiap metode dijelaskan dengan penjelasan dasar, algoritma, dan contoh aplikasi. Namun, beberapa metode seperti metode tabel dianggap kurang efektif untuk mendapatkan penyelesaian yang akurat dan terdapat juga diskusi tentang masalah konvergensi.

Embed presentation

Downloaded 68 times
Metode Numerik PENS-ITS 1 Bab 2. Penyelesaian Persamaan Non Linier
Metode Numerik PENS-ITS 2 Persamaan Non Linier • Metode Tabel • Metode Biseksi • Metode Regula Falsi • Metode Iterasi Sederhana • Metode Newton-Raphson • Metode Secant.
Metode Numerik PENS-ITS 3 Persamaan Non Linier • penentuan akar-akar persamaan non linier. • Akar sebuah persamaan f(x) =0 adalah nilai- nilai x yang menyebabkan nilai f(x) sama dengan nol. • akar persamaan f(x) adalah titik potong antara kurva f(x) dan sumbu X.
Metode Numerik PENS-ITS 4 Persamaan Non Linier
Metode Numerik PENS-ITS 5 Persamaan Non Linier • Penyelesaian persamaan linier mx + c = 0 dimana m dan c adalah konstanta, dapat dihitung dengan : mx + c = 0 x = - • Penyelesaian persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat dihitung dengan menggunakan rumus ABC. m c a acbb x 2 42 12  
Metode Numerik PENS-ITS 6 Penyelesaian Persamaan Non Linier • Metode Tertutup – Mencari akar pada range [a,b] tertentu – Dalam range[a,b] dipastikan terdapat satu akar – Hasil selalu konvergen  disebut juga metode konvergen • Metode Terbuka – Diperlukan tebakan awal – xn dipakai untuk menghitung xn+1 – Hasil dapat konvergen atau divergen
Metode Numerik PENS-ITS 7 Metode Tertutup • Metode Tabel • Metode Biseksi • Metode Regula Falsi
Metode Numerik PENS-ITS 8 Metode Terbuka • Metode Iterasi Sederhana • Metode Newton-Raphson • Metode Secant.
Metode Numerik PENS-ITS 9 Theorema • Suatu range x=[a,b] mempunyai akar bila f(a) dan f(b) berlawanan tanda atau memenuhi f(a).f(b)<0 • Theorema di atas dapat dijelaskan dengan grafik-grafik sebagai berikut: Karena f(a).f(b)<0 maka pada range x=[a,b] terdapat akar. Karena f(a).f(b)>0 maka pada range x=[a,b] tidak dapat dikatakan terdapat akar.
Metode Numerik PENS-ITS 10 Metode Table • Metode Table atau pembagian area. • Dimana untuk x di antara a dan b dibagi sebanyak N bagian dan pada masing- masing bagian dihitung nilai f(x) sehingga diperoleh tabel : X f(x) x0=a f(a) x1 f(x1) x2 f(x2) x3 f(x3) …… …… xn=b f(b)
Metode Numerik PENS-ITS 11 Metode Tabel
Metode Numerik PENS-ITS 12 Contoh • Selesaikan persamaan : x+ex = 0 dengan range x = • Untuk mendapatkan penyelesaian dari persamaan di atas range x = dibagi menjadi 10 bagian sehingga diperoleh : X f(x) -1,0 -0,63212 -0,9 -0,49343 -0,8 -0,35067 -0,7 -0,20341 -0,6 -0,05119 -0,5 0,10653 -0,4 0,27032 -0,3 0,44082 -0,2 0,61873 -0,1 0,80484 0,0 1,00000  0,1  0,1  0,1
Metode Numerik PENS-ITS 13 Contoh • Dari table diperoleh penyelesaian berada di antara – 0,6 dan –0,5 dengan nilai f(x) masing-masing -0,0512 dan 0,1065, sehingga dapat diambil keputusan penyelesaiannya di x=-0,6. • Bila pada range x = dibagi 10 maka diperoleh f(x) terdekat dengan nol pada x = -0,57 dengan F(x) = 0,00447  5,0,6,0 
Metode Numerik PENS-ITS 14 Kelemahan Metode Table • Metode table ini secara umum sulit mendapatkan penyelesaian dengan error yang kecil, karena itu metode ini tidak digunakan dalam penyelesaian persamaan non linier • Tetapi metode ini digunakan sebagai taksiran awal mengetahui area penyelesaian yang benar sebelum menggunakan metode yang lebih baik dalam menentukan penyelesaian.
Metode Numerik PENS-ITS 15 Metode Biseksi • Ide awal metode ini adalah metode table, dimana area dibagi menjadi N bagian. • Hanya saja metode biseksi ini membagi range menjadi 2 bagian, dari dua bagian ini dipilih bagian mana yang mengandung dan bagian yang tidak mengandung akar dibuang.Hal ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan.
Metode Numerik PENS-ITS 16
Metode Numerik PENS-ITS 17 Metode Biseksi • Untuk menggunakan metode biseksi, terlebih dahulu ditentukan batas bawah (a) dan batas atas (b).Kemudian dihitung nilai tengah : x = • Dari nilai x ini perlu dilakukan pengecekan keberadaan akar. Secara matematik, suatu range terdapat akar persamaan bila f(a) dan f(b) berlawanan tanda atau dituliskan : f(a) . f(b) < 0 • Setelah diketahui dibagian mana terdapat akar, maka batas bawah dan batas atas di perbaharui sesuai dengan range dari bagian yang mempunyai akar. 2 ba 
Metode Numerik PENS-ITS 18 Algoritma Biseksi
Metode Numerik PENS-ITS 19 Contoh Soal • Selesaikan persamaan xe-x+1 = 0, dengan menggunakan range x=[-1,0], maka diperoleh tabel biseksi sebagai berikut :
Metode Numerik PENS-ITS 20 Contoh Soal • Dimana x = Pada iterasi ke 10 diperoleh x = -0.56738 dan f(x) = - 0.00066 • Untuk menghentikan iterasi, dapat dilakukan dengan menggunakan toleransi error atau iterasi maksimum. • Catatan : Dengan menggunakan metode biseksi dengan tolerasi error 0.001 dibutuhkan 10 iterasi, semakin teliti (kecil toleransi errorny) maka semakin besar jumlah iterasi yang dibutuhkan. 2 ba 
Metode Numerik PENS-ITS 21 Metode Regula Falsi • metode pencarian akar persamaan dengan memanfaatkan kemiringan dan selisih tinggi dari dua titik batas range. • Dua titik a dan b pada fungsi f(x) digunakan untuk mengestimasi posisi c dari akar interpolasi linier. • Dikenal dengan metode False Position
Metode Numerik PENS-ITS 22 Metode Regula Falsi
Metode Numerik PENS-ITS 23 Metode Regula Falsi xb bf ab afbf      0)()()( )()( ))(( afbf abbf bx    )()( )()( afbf abfbaf x   
Metode Numerik PENS-ITS 24 Algoritma Metode Regula Falsi
Metode Numerik PENS-ITS 25 Contoh Soal • Selesaikan persamaan xe-x+1=0 pada range x= [0,-1] a = -1 b = 0 Toleransi = 0.0000001 Maksimum iterasi = 20 1 -1 0 -0.367879 0.468536 -1.71828 2 -1 -0.367879 -0.503314 0.16742 -1.71828 3 -1 -0.503314 -0.547412 0.0536487 -1.71828 4 -1 -0.547412 -0.561115 0.0165754 -1.71828 5 -1 -0.561115 -0.565308 0.0050629 -1.71828 6 -1 -0.565308 -0.566585 0.00154103 -1.71828 7 -1 -0.566585 -0.566974 0.000468553 -1.71828 8 -1 -0.566974 -0.567092 0.000142418 -1.71828 9 -1 -0.567092 -0.567128 4.32841e-005 -1.71828 10 -1 -0.567128 -0.567139 1.31546e-005 -1.71828
Metode Numerik PENS-ITS 26 Contoh Soal 11 -1 -0.567139 -0.567142 3.99783e-006 -1.71828 12 -1 -0.567142 -0.567143 1.21498e-006 -1.71828 13 -1 -0.567143 -0.567143 3.69244e-007 -1.71828 14 -1 -0.567143 -0.567143 1.12217e-007 -1.71828 15 -1 -0.567143 -0.567143 3.41038e-008 -1.71828 Akar di x = -0.567143 dengan f(x) = 3.41038e-008
Metode Numerik PENS-ITS 27 Metode Iterasi Sederhana • Metode iterasi sederhana adalah metode yang memisahkan x dengan sebagian x yang lain sehingga diperoleh : x = g(x). • Contoh : – x – ex = 0  ubah – x = ex atau g(x) = ex • g(x) inilah yang menjadi dasar iterasi pada metode iterasi sederhana ini
Metode Numerik PENS-ITS 28 Metode Iterasi Sederhana • Hasil Konvergen Konvergen Berosilasi -1<g’(x)<0 Konvergen Monoton 0 <g’(x)<1
Metode Numerik PENS-ITS 29 Metode Iterasi Sederhana • Hasil Divergen Divergen Berosilasi g’(x)<-1 Divergen Monoton g’(x)> 1
Metode Numerik PENS-ITS 30 Contoh : • Carilah akar pers f(x) = x2-2x-3 • x2-2x-3 = 0 • X2 = 2x + 3 • Tebakan awal = 4 • E = 0.00001 • Hasil = 3 32  xx 321  nn xx
Metode Numerik PENS-ITS 31
Metode Numerik PENS-ITS 32 Contoh : • x2-2x-3 = 0 • X(x-2) = 3 • X = 3 /(x-2) • Tebakan awal = 4 • E = 0.00001 • Hasil = -1
Metode Numerik PENS-ITS 33
Metode Numerik PENS-ITS 34 Contoh : • x2-2x-3 = 0 • X = (x2-3)/2 • Tebakan awal = 4 • E = 0.00001 • Hasil divergen
Metode Numerik PENS-ITS 35 Syarat Konvergensi • Pada range I = [s-h, s+h] dengan s titik tetap – Jika 0<g’(x)<1 untuk setiap x Є I iterasi konvergen monoton. – Jika -1<g’(x)<0 untuk setiap x Є I iterasi konvergen berosilasi. – Jika g’(x)>1 untuk setiap x Є I, maka iterasi divergen monoton. – Jika g’(x)<-1 untuk setiap x Є I, maka iterasi divergen berosilasi.
Metode Numerik PENS-ITS 36 • Tebakan awal 4 • G’(4) = 0.1508 < 1 • Konvergen Monoton 322 1 )(' 32)( 321     n n nn x xg xxg xx • Tebakan awal 4 • G’(4) = |-0.75| < 1 • Konvergen Berisolasi 2 1 )2( 3 )(' )2( 3 )( )2( 3        x xg x xg x x n n
Metode Numerik PENS-ITS 37 • Tebakan awal 4 • G’(4) = 4 > 1 • Divergen Monoton xxg x xg    )(' 2 )3( )( 2
Metode Numerik PENS-ITS 38 Latihan Soal • Apa yang terjadi dengan pemilihan x0 pada pencarian akar persamaan : • X3 + 6x – 3 = 0 • Dengan x • Cari akar persamaan dengan x0 = 0.5 • X0 = 1.5, x0 = 2.2, x0 = 2.7 6 3 3 1   n n x x
Metode Numerik PENS-ITS 39 Contoh :
Metode Numerik PENS-ITS 40 Metode Newton Raphson • metode pendekatan yang menggunakan satu titik awal dan mendekatinya dengan memperhatikan slope atau gradien pada titik tersebut. • Titik pendekatan ke n+1 dituliskan dengan :    n n nn xF xF xx 11 
Metode Numerik PENS-ITS 41 Metode Newton Raphson
Metode Numerik PENS-ITS 42 Algoritma Metode Newton Raphson 1. Definisikan fungsi f(x) dan f1(x) 2. Tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum (n) 3. Tentukan nilai pendekatan awal x0 4. Hitung f(x0) dan f’(x0) 5. Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |f(xi)|> e – Hitung f(xi) dan f1(xi) 6. Akar persamaan adalah nilai xi yang terakhir diperoleh.    i i ii xf xf xx 11 
Metode Numerik PENS-ITS 43 Contoh Soal • Selesaikan persamaan x - e-x = 0 dengan titik pendekatan awal x0 =0 • f(x) = x - e-x  f’(x)=1+e-x • f(x0) = 0 - e-0 = -1 • f’(x0) = 1 + e-0 = 2     5,0 2 1 0 0 1 0 01    xf xf xx
Metode Numerik PENS-ITS 44 Contoh Soal • f(x1) = -0,106631 dan f1(x1) = 1,60653 • f(x2) = -0,00130451 dan f1(x2) = 1,56762 • f(x3) = -1,96.10-7. Suatu bilangan yang sangat kecil. • Sehingga akar persamaan x = 0,567143.     566311,0 60653,1 106531,0 5,0 1 1 1 12    xf xf xx     567143,0 56762,1 00130451,0 566311,0 2 1 2 23    xf xf xx
Metode Numerik PENS-ITS 45 Contoh • x - e-x = 0  x0 =0, e = 0.00001
Metode Numerik PENS-ITS 46 Contoh • x + e-x cos x -2 = 0  x0=1 • f(x) = x + e-x cos x - 2 • f’(x) = 1 – e-x cos x – e-x sin x
Metode Numerik PENS-ITS 47
Metode Numerik PENS-ITS 48 Permasalahan pada pemakaian metode newton raphson • Metode ini tidak dapat digunakan ketika titik pendekatannya berada pada titik ekstrim atau titik puncak, karena pada titik ini nilai F1(x) = 0 sehingga nilai penyebut dari sama dengan nol, secara grafis dapat dilihat sebagai berikut: Bila titik pendekatan berada pada titik puncak, maka titik selanjutnya akan berada di tak berhingga.    xF xF 1
Metode Numerik PENS-ITS 49 Permasalahan pada pemakaian metode newton raphson • Metode ini menjadi sulit atau lama mendapatkan penyelesaian ketika titik pendekatannya berada di antara dua titik stasioner. • Bila titik pendekatan berada pada dua tiitik puncak akan dapat mengakibatkan hilangnya penyelesaian (divergensi). Hal ini disebabkan titik selanjutnya berada pada salah satu titik puncak atau arah pendekatannya berbeda.
Metode Numerik PENS-ITS 50 Hasil Tidak Konvergen
Metode Numerik PENS-ITS 51 Penyelesaian Permasalahan pada pemakaian metode newton raphson 1. Bila titik pendekatan berada pada titik puncak maka titik pendekatan tersebut harus di geser sedikit, xi = xi dimana adalah konstanta yang ditentukan dengan demikian dan metode newton raphson tetap dapat berjalan. 2. Untuk menghindari titik-titik pendekatan yang berada jauh, sebaiknya pemakaian metode newton raphson ini didahului oleh metode tabel, sehingga dapat di jamin konvergensi dari metode newton raphson.     01 ixF
Metode Numerik PENS-ITS 52 Contoh Soal • x . e-x + cos(2x) = 0  x0 = 0,176281 • f(x) = x . e-x + cos(2x) • f1(x) = (1-x) e-x – 2 sin (2x) • F(x0) = 1,086282 • F1(x0) = -0,000015 X = 71365,2 padahal dalam range 0 sampai dengan 1 terdapat akar di sekitar 0.5 s/d 1.
Metode Numerik PENS-ITS 53
Metode Numerik PENS-ITS 54 Newton Raphson yang telah diperbaiki • x . e-x + cos(2x) = 0  x0 = 0,176281 • f(x) = x . e-x + cos(2x) • f1(x) = (1-x) e-x – 2 sin (2x) • (Titik awal sengaja di ambil pada titik stasioner  Untuk menghindari f’(x)=0 maka nilai x digeser 0.2) Toleransi error = 0.00001 Iterasi maksimum = 10 iterasi x y g 1 1.42882 -0.617622 -0.663051 2 0.497335 0.847234 -1.37146 3 1.11509 -0.247015 -1.61847 4 0.962472 0.0208234 -1.86155 5 0.973658 6.39207e-005 -1.84995 6 0.973692 6.46601e-010 -1.84991 Akar terletak di x = 0.973692
Metode Numerik PENS-ITS 55 Newton Raphson yang telah diperbaiki • (Titik awal sengaja di ambil pada titik stasioner  Untuk menghindari f’(x)=0 maka nilai x digeser 0.1) Pendekatan awal x0 = 0.176281 Toleransi error = 0.00001 Iterasi maksimum = 10 iterasi x y g 1 2.39474 0.295411 1.86686 2 2.2365 0.00182622 1.81087 3 2.23549 4.96441e-007 1.80989 Akar terletak di x = 2.23549
Metode Numerik PENS-ITS 56 Contoh Soal • Untuk menghindari hal ini sebaiknya digunakan grafik atau tabel sehingga dapat diperoleh pendekatan awal yang baik. Digunakan pendekatan awal x0=0.5 x
Metode Numerik PENS-ITS 57 Contoh Soal • Hasil dari penyelesaian persamaan • x * exp(-x) + cos(2x) = 0 pada range [0,5]
Metode Numerik PENS-ITS 58
Metode Numerik PENS-ITS 59 Contoh • Hitunglah akar dengan metode Newthon Raphson. Gunakan e=0.00001. Tebakan awal akar x0 = 1 • Penyelesaian • Prosedur iterasi Newthon Raphson 2 5)( xexf x  2 5)( xexf x  xexf x 10)('  xe xe xx x x rr 10 5 2 1    0 1 -2.28172 1 0.686651 -0.370399 2 0.610741 -0.0232286 3 0.605296 -0.000121011 4 0.605267 -3.35649e-009 Akar terletak di x = 0.605267
Metode Numerik PENS-ITS 60
Metode Numerik PENS-ITS 61 Metode Secant • Metode Newton Raphson memerlukan perhitungan turunan fungsi f’(x). • Tidak semua fungsi mudah dicari turunannya terutama fungsi yang bentuknya rumit. • Turunan fungsi dapat dihilangkan dengan cara menggantinya dengan bentuk lain yang ekivalen • Modifikasi metode Newton Raphson dinamakan metode Secant.
Metode Numerik PENS-ITS 62 1rx 1rx rx rx
Metode Numerik PENS-ITS 63 • Metode Newton-Raphson 1 1 )()( )('         rr rr xx xfxf x y xf )(' )( 1 r r rr xf xf xx  )()( ))(( 1 1 1       rr rrr rr xfxf xxxf xx
Metode Numerik PENS-ITS 64 Algoritma Metode Secant : • Definisikan fungsi F(x) • Definisikan torelansi error (e) dan iterasi maksimum (n) • Masukkan dua nilai pendekatan awal yang di antaranya terdapat akar yaitu x0 dan x1, sebaiknya gunakan metode tabel atau grafis untuk menjamin titik pendakatannya adalah titik pendekatan yang konvergensinya pada akar persamaan yang diharapkan. • Hitung F(x0) dan F(x1) sebagai y0 dan y1 • Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |F(xi)| hitung yi+1 = F(xi+1) • Akar persamaan adalah nilai x yang terakhir. 1 1 1       ii ii iii yy xx yxx
Metode Numerik PENS-ITS 65 Perbedaan Regula Falsi dan Secant
Metode Numerik PENS-ITS 66 Perbedaan Regula Falsi dan Secant
Metode Numerik PENS-ITS 67 Contoh Soal • Penyelesaian • x2 –(x + 1) e-x = 0 ?
Metode Numerik PENS-ITS 68 Contoh • Hitunglah akar dengan metode Secant. Gunakan e=0.00001. Tebakan awal akar x0 = 1 • Penyelesaian • Hasil Tabel 2 5)( xexf x  Toleransi error = 0.00001 Iterasi maksimum = 10 x0 = 0.5 x1 = 1 1 0.574376 0.126483 2 0.596731 0.0357344 3 0.605533 -0.00112339 4 0.605265 9.35729e-006 Akar terletak di x = 0.605265
Metode Numerik PENS-ITS 69 Contoh Kasus Penyelesaian Persamaan Non Linier • Penentuan nilai maksimal dan minimal fungsi non linier • Perhitungan nilai konstanta pada matrik dan determinan, yang biasanya muncul dalam permasalahan sistem linier, bisa digunakan untuk menghitung nilai eigen • Penentuan titik potong beberapa fungsi non linier, yang banyak digunakan untuk keperluan perhitungan- perhitungan secara grafis.
Metode Numerik PENS-ITS 70 Penentuan Nilai Maksimal dan Minimal Fungsi Non Linier • nilai maksimal dan minimal dari f(x)  memenuhi f’(x)=0. • g(x)=f’(x)  g(x)=0 • Menentukan nilai maksimal atau minimal  f”(x)
Metode Numerik PENS-ITS 71 Contoh Soal • Tentukan nilai minimal dari f(x) = x2-(x+1)e-2x+1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x**2-(x+1)*exp(-2*x)+1 nilai minimal terletak antara –0.4 dan –0.2
Metode Numerik PENS-ITS 72
Metode Numerik PENS-ITS 73 Menghitung Titik Potong 2 Buah Kurva x y y=f(x) y=g(x) p f(x) = g(x) atau f(x) – g(x) = 0
Metode Numerik PENS-ITS 74 Contoh Soal • Tentukan titik potong y=2x3-x dan y=e-x -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 2*x**3-x exp(-x) akar terletak di antara 0.8 dan 1
Metode Numerik PENS-ITS 75
Metode Numerik PENS-ITS 76 Soal (1/3) 1. Tahun 1225 Leonardo da Pisa mencari akar persamaan F(x) = x3 + 2x2 + 10x – 20 = 0 Dan menemukan x = 1.368808107. Tidak seorangpun yang mengetahui cara Leonardo menemukan nilai ini. Sekarang rahasia ini dapat dipecahkan dengan metode iterasi sederhana. Carilah salah satu dari kemungkinan x = g(x). Lalu dengan memberikan sembarang input awal, tentukan x=g(x) yang mana yang menghasilkan akar persamaan yang ditemukan Leonardo itu.
Metode Numerik PENS-ITS 77 Soal (2/3) 2. Hitung akar 27 dan akar 50 dengan biseksi dan regula falsi ! Bandingkan ke dua metode tersebut ! Mana yang lebih cepat ? Catat hasil uji coba Hitung akar 27 dan akar 50 dengan metode Newthon Raphson dan Secant. a b N e Iterasi Biseksi Iterasi Regula Falsi 0.1 0.01 0.001 0.0001
Metode Numerik PENS-ITS 78 Soal (3/3) 3. Tentukan nilai puncak pada kurva y = x2 + e-2xsin(x) pada range x=[0,10]. Dengan metode newthon raphson 4. Bagaimana menghitung nilai 1/c dengan menggunakan Newton Raphson 5. Carilah 3 akar dengan metode Newthon Raphson. Gunakan e=0.00001. Tentukan tebakan awal akar x0 untuk mendapatkan ketiga akar tersebut. Tentukan tebakan awal akar x0 untuk mendapatkan hasil yang divergen. 2 5)( xexf x 

More Related Content

PPT
Metode numerik persamaan non linier
byIzhan Nassuha
 
PDF
Interpolasi Newton
byRatih Vihafsari
 
DOCX
Metode interpolasi linier
byokti agung
 
PPT
Fungsi grafik di matlab
byUNISKA, SMK Telkom Banjarbaru
 
PPTX
Contoh soal dan penyelesaian metode biseksi
bymuhamadaulia3
 
PDF
Iterasi jacobi
byAngga Debby Frayudha
 
PDF
Kuadratur gauss kel 10
byErlita Fatmawati
 
PPTX
Aljabar linear:Kebebasan Linear, Basis, dan Dimensi.ppt
byrahmawarni
 
Metode numerik persamaan non linier
byIzhan Nassuha
 
Interpolasi Newton
byRatih Vihafsari
 
Metode interpolasi linier
byokti agung
 
Fungsi grafik di matlab
byUNISKA, SMK Telkom Banjarbaru
 
Contoh soal dan penyelesaian metode biseksi
bymuhamadaulia3
 
Iterasi jacobi
byAngga Debby Frayudha
 
Kuadratur gauss kel 10
byErlita Fatmawati
 
Aljabar linear:Kebebasan Linear, Basis, dan Dimensi.ppt
byrahmawarni
 

What's hot

PPT
Persoalan interpolasi Polinom
bysur kuati
 
PPTX
Metode numerik pertemuan 7 (interpolasi lagrange)
byNerossi Jonathan
 
PDF
Pengantar metode numerik
byputra_andy
 
DOCX
Matematika diskrit (dual graf, lintasan dan sirkuit euler, lintasan dan sirku...
byFatma Qolbi
 
PDF
Matematika Diskrit - 09 graf - 06
byKuliahKita
 
PPTX
Sistem Persamaan Linear (SPL) Aljabar Linear Elementer
byKelinci Coklat
 
PDF
Modul persamaan diferensial 1
byMaya Umami
 
PDF
Geometri analitik ruang
byEdhy Suadnyanayasa
 
PPTX
Turunan numerik
byBobby Chandra
 
PPT
koordinat tabung dan bola
bylinda_rosalina
 
PDF
Solusi D'Alembert Pers. Gelombang 1D
byHeni Widayani
 
PPTX
Perbedaan sistem linear dan non linear
byElGazzaYantPratama
 
DOCX
Makalah matematika integral
bysoki leonardi
 
PDF
Iterasi gauss seidel
byNur Fadzri
 
PPTX
Algoritma Pemrograman (Flowchart) - Logika dan Algoritma
byAri Septiawan
 
PPS
Persamaan Diferensial Biasa ( Kalkulus 2 )
byKelinci Coklat
 
DOCX
3. newton raphson method
byokti agung
 
DOCX
Menyederhanakan fungsi boolean dengan menggunakan metode quin1
byBAIDILAH Baidilah
 
PPT
Deret taylor and mac laurin
byMoch Hasanudin
 
DOCX
Metode simpleks dua fase
byspecy1234
 
Persoalan interpolasi Polinom
bysur kuati
 
Metode numerik pertemuan 7 (interpolasi lagrange)
byNerossi Jonathan
 
Pengantar metode numerik
byputra_andy
 
Matematika diskrit (dual graf, lintasan dan sirkuit euler, lintasan dan sirku...
byFatma Qolbi
 
Matematika Diskrit - 09 graf - 06
byKuliahKita
 
Sistem Persamaan Linear (SPL) Aljabar Linear Elementer
byKelinci Coklat
 
Modul persamaan diferensial 1
byMaya Umami
 
Geometri analitik ruang
byEdhy Suadnyanayasa
 
Turunan numerik
byBobby Chandra
 
koordinat tabung dan bola
bylinda_rosalina
 
Solusi D'Alembert Pers. Gelombang 1D
byHeni Widayani
 
Perbedaan sistem linear dan non linear
byElGazzaYantPratama
 
Makalah matematika integral
bysoki leonardi
 
Iterasi gauss seidel
byNur Fadzri
 
Algoritma Pemrograman (Flowchart) - Logika dan Algoritma
byAri Septiawan
 
Persamaan Diferensial Biasa ( Kalkulus 2 )
byKelinci Coklat
 
3. newton raphson method
byokti agung
 
Menyederhanakan fungsi boolean dengan menggunakan metode quin1
byBAIDILAH Baidilah
 
Deret taylor and mac laurin
byMoch Hasanudin
 
Metode simpleks dua fase
byspecy1234
 

Viewers also liked

PDF
Bisection-Newton-Secant
byTheodorus Permana
 
PDF
Calculus 2 pertemuan 3
byAmalia Indrawati Gunawan
 
PPT
Teknik-Pengintegralan
byFitri Indahsari
 
PDF
Teknik pengintegralan
byLilies DLiestyowati
 
PPT
bisection method
byMuhammad Usama
 
PDF
Biseksi
byrukmono budi utomo
 
PDF
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
byrukmono budi utomo
 
DOCX
Makalah analisa numerik dan komputasi tugas kelompok
byRahmank Sana-sini
 
Bisection-Newton-Secant
byTheodorus Permana
 
Calculus 2 pertemuan 3
byAmalia Indrawati Gunawan
 
Teknik-Pengintegralan
byFitri Indahsari
 
Teknik pengintegralan
byLilies DLiestyowati
 
bisection method
byMuhammad Usama
 
Biseksi
byrukmono budi utomo
 
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
byrukmono budi utomo
 
Makalah analisa numerik dan komputasi tugas kelompok
byRahmank Sana-sini
 

Similar to Met num02 persamaan non linier

PDF
Penyelesaian Akar Persamaan Non Linier 1
byIstiawatiDarwis
 
PPT
Metode numerik pearsamaan non linier .ppt
bylalamybee
 
PPT
materi matkul MetNum3-PersNonLInier (1).ppt
byasmaun4
 
PPT
Met num3 persnonl-inier_baru
byAlvin Setiawan
 
PPT
Met num3 persnonl-inier_baru
byRany Aries
 
PPT
Metnum3 persnonlinierbaru2-140216091500-phpapp01
byAlvin Setiawan
 
PDF
METODE_NUMERIK_3_SKS_TEKNIK_INFORMATIKA.pdf
bySenjaBiru2
 
PDF
MATERI_METODE_NUMERIK_TEKNIK_INFORMATIKA.pdf
byReRoll3
 
PPT
Pert 3 Persamaan Non Linier .ppt
byNafisClassic
 
PPT
Met num3 persnonl-inier_baru
byAlen Pepa
 
PPT
1. Pers_Non_Linier.ppt
byYodaKurniaWijaya
 
PPT
Bab 3 penyelesaian persamaan tak linear
byKelinci Coklat
 
PPT
MetNum3-PersNonLInier_baruuu(11S2023).ppt
byIrkhosAzir
 
PPT
kelompok 3: Persamaan Non Linier (Nana Ramadijanti)
byIndraMaryanti
 
PPT
Metode Numerik Persamaan Non Linear Baru
byGaungPradana2
 
PPT
metode pengurung analysis or method numeric
byaldiasbahatmaka2
 
PDF
Persamaan non linier
bysoniyora1
 
PPTX
Aries suharso 0422037701_metode tertutup
byaries22suharso
 
PPTX
Metode Numerik Contoh Kasus Teknik Sipil
byRafkiRustamImani
 
PPTX
Materi materi Pertemuan ke 4 ga tahu mau nulis apa lagi.pptx
byhariserlangga01
 
Penyelesaian Akar Persamaan Non Linier 1
byIstiawatiDarwis
 
Metode numerik pearsamaan non linier .ppt
bylalamybee
 
materi matkul MetNum3-PersNonLInier (1).ppt
byasmaun4
 
Met num3 persnonl-inier_baru
byAlvin Setiawan
 
Met num3 persnonl-inier_baru
byRany Aries
 
Metnum3 persnonlinierbaru2-140216091500-phpapp01
byAlvin Setiawan
 
METODE_NUMERIK_3_SKS_TEKNIK_INFORMATIKA.pdf
bySenjaBiru2
 
MATERI_METODE_NUMERIK_TEKNIK_INFORMATIKA.pdf
byReRoll3
 
Pert 3 Persamaan Non Linier .ppt
byNafisClassic
 
Met num3 persnonl-inier_baru
byAlen Pepa
 
1. Pers_Non_Linier.ppt
byYodaKurniaWijaya
 
Bab 3 penyelesaian persamaan tak linear
byKelinci Coklat
 
MetNum3-PersNonLInier_baruuu(11S2023).ppt
byIrkhosAzir
 
kelompok 3: Persamaan Non Linier (Nana Ramadijanti)
byIndraMaryanti
 
Metode Numerik Persamaan Non Linear Baru
byGaungPradana2
 
metode pengurung analysis or method numeric
byaldiasbahatmaka2
 
Persamaan non linier
bysoniyora1
 
Aries suharso 0422037701_metode tertutup
byaries22suharso
 
Metode Numerik Contoh Kasus Teknik Sipil
byRafkiRustamImani
 
Materi materi Pertemuan ke 4 ga tahu mau nulis apa lagi.pptx
byhariserlangga01
 

More from Alvin Setiawan

PPT
Penyelesaian pers-biseksi13
byAlvin Setiawan
 
PDF
Penyelesaian persamaan-non-linear
byAlvin Setiawan
 
PDF
Pengembangan sistem 1 2
byAlvin Setiawan
 
PDF
Pedoman ta2008
byAlvin Setiawan
 
PDF
Pbw week 01 basics
byAlvin Setiawan
 
PDF
Paper
byAlvin Setiawan
 
PDF
Nl eqn lab
byAlvin Setiawan
 
PDF
Modul6
byAlvin Setiawan
 
PDF
Modul pelatihan ly_x_untuk_jurnal-feb-2cols
byAlvin Setiawan
 
PDF
Ml2 f304213
byAlvin Setiawan
 
PDF
Micro sim template_2
byAlvin Setiawan
 
PDF
Metode numerik-rinaldi-munir-libre
byAlvin Setiawan
 
PDF
Metode numerik-buku-ajar-unila
byAlvin Setiawan
 
PDF
Metode regula falsi
byAlvin Setiawan
 
PDF
Metode biseksi
byAlvin Setiawan
 
PDF
Membuat dokumen dengan latex ver.0.3
byAlvin Setiawan
 
PDF
Membangun website e-commerce_berbasis_php_dan_my_sql
byAlvin Setiawan
 
PDF
M8 perancangan terinci
byAlvin Setiawan
 
PDF
Lyx tutorial-for-dummies
byAlvin Setiawan
 
PDF
Lec13s transaction
byAlvin Setiawan
 
Penyelesaian pers-biseksi13
byAlvin Setiawan
 
Penyelesaian persamaan-non-linear
byAlvin Setiawan
 
Pengembangan sistem 1 2
byAlvin Setiawan
 
Pedoman ta2008
byAlvin Setiawan
 
Pbw week 01 basics
byAlvin Setiawan
 
Paper
byAlvin Setiawan
 
Nl eqn lab
byAlvin Setiawan
 
Modul6
byAlvin Setiawan
 
Modul pelatihan ly_x_untuk_jurnal-feb-2cols
byAlvin Setiawan
 
Ml2 f304213
byAlvin Setiawan
 
Micro sim template_2
byAlvin Setiawan
 
Metode numerik-rinaldi-munir-libre
byAlvin Setiawan
 
Metode numerik-buku-ajar-unila
byAlvin Setiawan
 
Metode regula falsi
byAlvin Setiawan
 
Metode biseksi
byAlvin Setiawan
 
Membuat dokumen dengan latex ver.0.3
byAlvin Setiawan
 
Membangun website e-commerce_berbasis_php_dan_my_sql
byAlvin Setiawan
 
M8 perancangan terinci
byAlvin Setiawan
 
Lyx tutorial-for-dummies
byAlvin Setiawan
 
Lec13s transaction
byAlvin Setiawan
 

Met num02 persamaan non linier

  • 1.
    Metode Numerik PENS-ITS 1 Bab 2.Penyelesaian Persamaan Non Linier
  • 2.
    Metode Numerik PENS-ITS 2 PersamaanNon Linier • Metode Tabel • Metode Biseksi • Metode Regula Falsi • Metode Iterasi Sederhana • Metode Newton-Raphson • Metode Secant.
  • 3.
    Metode Numerik PENS-ITS 3 PersamaanNon Linier • penentuan akar-akar persamaan non linier. • Akar sebuah persamaan f(x) =0 adalah nilai- nilai x yang menyebabkan nilai f(x) sama dengan nol. • akar persamaan f(x) adalah titik potong antara kurva f(x) dan sumbu X.
  • 4.
  • 5.
    Metode Numerik PENS-ITS 5 PersamaanNon Linier • Penyelesaian persamaan linier mx + c = 0 dimana m dan c adalah konstanta, dapat dihitung dengan : mx + c = 0 x = - • Penyelesaian persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat dihitung dengan menggunakan rumus ABC. m c a acbb x 2 42 12  
  • 6.
    Metode Numerik PENS-ITS 6 PenyelesaianPersamaan Non Linier • Metode Tertutup – Mencari akar pada range [a,b] tertentu – Dalam range[a,b] dipastikan terdapat satu akar – Hasil selalu konvergen  disebut juga metode konvergen • Metode Terbuka – Diperlukan tebakan awal – xn dipakai untuk menghitung xn+1 – Hasil dapat konvergen atau divergen
  • 7.
    Metode Numerik PENS-ITS 7 MetodeTertutup • Metode Tabel • Metode Biseksi • Metode Regula Falsi
  • 8.
    Metode Numerik PENS-ITS 8 MetodeTerbuka • Metode Iterasi Sederhana • Metode Newton-Raphson • Metode Secant.
  • 9.
    Metode Numerik PENS-ITS 9 Theorema •Suatu range x=[a,b] mempunyai akar bila f(a) dan f(b) berlawanan tanda atau memenuhi f(a).f(b)<0 • Theorema di atas dapat dijelaskan dengan grafik-grafik sebagai berikut: Karena f(a).f(b)<0 maka pada range x=[a,b] terdapat akar. Karena f(a).f(b)>0 maka pada range x=[a,b] tidak dapat dikatakan terdapat akar.
  • 10.
    Metode Numerik PENS-ITS 10 MetodeTable • Metode Table atau pembagian area. • Dimana untuk x di antara a dan b dibagi sebanyak N bagian dan pada masing- masing bagian dihitung nilai f(x) sehingga diperoleh tabel : X f(x) x0=a f(a) x1 f(x1) x2 f(x2) x3 f(x3) …… …… xn=b f(b)
  • 11.
  • 12.
    Metode Numerik PENS-ITS 12 Contoh •Selesaikan persamaan : x+ex = 0 dengan range x = • Untuk mendapatkan penyelesaian dari persamaan di atas range x = dibagi menjadi 10 bagian sehingga diperoleh : X f(x) -1,0 -0,63212 -0,9 -0,49343 -0,8 -0,35067 -0,7 -0,20341 -0,6 -0,05119 -0,5 0,10653 -0,4 0,27032 -0,3 0,44082 -0,2 0,61873 -0,1 0,80484 0,0 1,00000  0,1  0,1  0,1
  • 13.
    Metode Numerik PENS-ITS 13 Contoh •Dari table diperoleh penyelesaian berada di antara – 0,6 dan –0,5 dengan nilai f(x) masing-masing -0,0512 dan 0,1065, sehingga dapat diambil keputusan penyelesaiannya di x=-0,6. • Bila pada range x = dibagi 10 maka diperoleh f(x) terdekat dengan nol pada x = -0,57 dengan F(x) = 0,00447  5,0,6,0 
  • 14.
    Metode Numerik PENS-ITS 14 KelemahanMetode Table • Metode table ini secara umum sulit mendapatkan penyelesaian dengan error yang kecil, karena itu metode ini tidak digunakan dalam penyelesaian persamaan non linier • Tetapi metode ini digunakan sebagai taksiran awal mengetahui area penyelesaian yang benar sebelum menggunakan metode yang lebih baik dalam menentukan penyelesaian.
  • 15.
    Metode Numerik PENS-ITS 15 MetodeBiseksi • Ide awal metode ini adalah metode table, dimana area dibagi menjadi N bagian. • Hanya saja metode biseksi ini membagi range menjadi 2 bagian, dari dua bagian ini dipilih bagian mana yang mengandung dan bagian yang tidak mengandung akar dibuang.Hal ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan.
  • 16.
  • 17.
    Metode Numerik PENS-ITS 17 MetodeBiseksi • Untuk menggunakan metode biseksi, terlebih dahulu ditentukan batas bawah (a) dan batas atas (b).Kemudian dihitung nilai tengah : x = • Dari nilai x ini perlu dilakukan pengecekan keberadaan akar. Secara matematik, suatu range terdapat akar persamaan bila f(a) dan f(b) berlawanan tanda atau dituliskan : f(a) . f(b) < 0 • Setelah diketahui dibagian mana terdapat akar, maka batas bawah dan batas atas di perbaharui sesuai dengan range dari bagian yang mempunyai akar. 2 ba 
  • 18.
  • 19.
    Metode Numerik PENS-ITS 19 ContohSoal • Selesaikan persamaan xe-x+1 = 0, dengan menggunakan range x=[-1,0], maka diperoleh tabel biseksi sebagai berikut :
  • 20.
    Metode Numerik PENS-ITS 20 ContohSoal • Dimana x = Pada iterasi ke 10 diperoleh x = -0.56738 dan f(x) = - 0.00066 • Untuk menghentikan iterasi, dapat dilakukan dengan menggunakan toleransi error atau iterasi maksimum. • Catatan : Dengan menggunakan metode biseksi dengan tolerasi error 0.001 dibutuhkan 10 iterasi, semakin teliti (kecil toleransi errorny) maka semakin besar jumlah iterasi yang dibutuhkan. 2 ba 
  • 21.
    Metode Numerik PENS-ITS 21 MetodeRegula Falsi • metode pencarian akar persamaan dengan memanfaatkan kemiringan dan selisih tinggi dari dua titik batas range. • Dua titik a dan b pada fungsi f(x) digunakan untuk mengestimasi posisi c dari akar interpolasi linier. • Dikenal dengan metode False Position
  • 22.
  • 23.
    Metode Numerik PENS-ITS 23 MetodeRegula Falsi xb bf ab afbf      0)()()( )()( ))(( afbf abbf bx    )()( )()( afbf abfbaf x   
  • 24.
  • 25.
    Metode Numerik PENS-ITS 25 ContohSoal • Selesaikan persamaan xe-x+1=0 pada range x= [0,-1] a = -1 b = 0 Toleransi = 0.0000001 Maksimum iterasi = 20 1 -1 0 -0.367879 0.468536 -1.71828 2 -1 -0.367879 -0.503314 0.16742 -1.71828 3 -1 -0.503314 -0.547412 0.0536487 -1.71828 4 -1 -0.547412 -0.561115 0.0165754 -1.71828 5 -1 -0.561115 -0.565308 0.0050629 -1.71828 6 -1 -0.565308 -0.566585 0.00154103 -1.71828 7 -1 -0.566585 -0.566974 0.000468553 -1.71828 8 -1 -0.566974 -0.567092 0.000142418 -1.71828 9 -1 -0.567092 -0.567128 4.32841e-005 -1.71828 10 -1 -0.567128 -0.567139 1.31546e-005 -1.71828
  • 26.
    Metode Numerik PENS-ITS 26 ContohSoal 11 -1 -0.567139 -0.567142 3.99783e-006 -1.71828 12 -1 -0.567142 -0.567143 1.21498e-006 -1.71828 13 -1 -0.567143 -0.567143 3.69244e-007 -1.71828 14 -1 -0.567143 -0.567143 1.12217e-007 -1.71828 15 -1 -0.567143 -0.567143 3.41038e-008 -1.71828 Akar di x = -0.567143 dengan f(x) = 3.41038e-008
  • 27.
    Metode Numerik PENS-ITS 27 MetodeIterasi Sederhana • Metode iterasi sederhana adalah metode yang memisahkan x dengan sebagian x yang lain sehingga diperoleh : x = g(x). • Contoh : – x – ex = 0  ubah – x = ex atau g(x) = ex • g(x) inilah yang menjadi dasar iterasi pada metode iterasi sederhana ini
  • 28.
    Metode Numerik PENS-ITS 28 MetodeIterasi Sederhana • Hasil Konvergen Konvergen Berosilasi -1<g’(x)<0 Konvergen Monoton 0 <g’(x)<1
  • 29.
    Metode Numerik PENS-ITS 29 MetodeIterasi Sederhana • Hasil Divergen Divergen Berosilasi g’(x)<-1 Divergen Monoton g’(x)> 1
  • 30.
    Metode Numerik PENS-ITS 30 Contoh: • Carilah akar pers f(x) = x2-2x-3 • x2-2x-3 = 0 • X2 = 2x + 3 • Tebakan awal = 4 • E = 0.00001 • Hasil = 3 32  xx 321  nn xx
  • 31.
  • 32.
    Metode Numerik PENS-ITS 32 Contoh: • x2-2x-3 = 0 • X(x-2) = 3 • X = 3 /(x-2) • Tebakan awal = 4 • E = 0.00001 • Hasil = -1
  • 33.
  • 34.
    Metode Numerik PENS-ITS 34 Contoh: • x2-2x-3 = 0 • X = (x2-3)/2 • Tebakan awal = 4 • E = 0.00001 • Hasil divergen
  • 35.
    Metode Numerik PENS-ITS 35 SyaratKonvergensi • Pada range I = [s-h, s+h] dengan s titik tetap – Jika 0<g’(x)<1 untuk setiap x Є I iterasi konvergen monoton. – Jika -1<g’(x)<0 untuk setiap x Є I iterasi konvergen berosilasi. – Jika g’(x)>1 untuk setiap x Є I, maka iterasi divergen monoton. – Jika g’(x)<-1 untuk setiap x Є I, maka iterasi divergen berosilasi.
  • 36.
    Metode Numerik PENS-ITS 36 •Tebakan awal 4 • G’(4) = 0.1508 < 1 • Konvergen Monoton 322 1 )(' 32)( 321     n n nn x xg xxg xx • Tebakan awal 4 • G’(4) = |-0.75| < 1 • Konvergen Berisolasi 2 1 )2( 3 )(' )2( 3 )( )2( 3        x xg x xg x x n n
  • 37.
    Metode Numerik PENS-ITS 37 •Tebakan awal 4 • G’(4) = 4 > 1 • Divergen Monoton xxg x xg    )(' 2 )3( )( 2
  • 38.
    Metode Numerik PENS-ITS 38 LatihanSoal • Apa yang terjadi dengan pemilihan x0 pada pencarian akar persamaan : • X3 + 6x – 3 = 0 • Dengan x • Cari akar persamaan dengan x0 = 0.5 • X0 = 1.5, x0 = 2.2, x0 = 2.7 6 3 3 1   n n x x
  • 39.
  • 40.
    Metode Numerik PENS-ITS 40 MetodeNewton Raphson • metode pendekatan yang menggunakan satu titik awal dan mendekatinya dengan memperhatikan slope atau gradien pada titik tersebut. • Titik pendekatan ke n+1 dituliskan dengan :    n n nn xF xF xx 11 
  • 41.
  • 42.
    Metode Numerik PENS-ITS 42 AlgoritmaMetode Newton Raphson 1. Definisikan fungsi f(x) dan f1(x) 2. Tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum (n) 3. Tentukan nilai pendekatan awal x0 4. Hitung f(x0) dan f’(x0) 5. Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |f(xi)|> e – Hitung f(xi) dan f1(xi) 6. Akar persamaan adalah nilai xi yang terakhir diperoleh.    i i ii xf xf xx 11 
  • 43.
    Metode Numerik PENS-ITS 43 ContohSoal • Selesaikan persamaan x - e-x = 0 dengan titik pendekatan awal x0 =0 • f(x) = x - e-x  f’(x)=1+e-x • f(x0) = 0 - e-0 = -1 • f’(x0) = 1 + e-0 = 2     5,0 2 1 0 0 1 0 01    xf xf xx
  • 44.
    Metode Numerik PENS-ITS 44 ContohSoal • f(x1) = -0,106631 dan f1(x1) = 1,60653 • f(x2) = -0,00130451 dan f1(x2) = 1,56762 • f(x3) = -1,96.10-7. Suatu bilangan yang sangat kecil. • Sehingga akar persamaan x = 0,567143.     566311,0 60653,1 106531,0 5,0 1 1 1 12    xf xf xx     567143,0 56762,1 00130451,0 566311,0 2 1 2 23    xf xf xx
  • 45.
    Metode Numerik PENS-ITS 45 Contoh •x - e-x = 0  x0 =0, e = 0.00001
  • 46.
    Metode Numerik PENS-ITS 46 Contoh •x + e-x cos x -2 = 0  x0=1 • f(x) = x + e-x cos x - 2 • f’(x) = 1 – e-x cos x – e-x sin x
  • 47.
  • 48.
    Metode Numerik PENS-ITS 48 Permasalahanpada pemakaian metode newton raphson • Metode ini tidak dapat digunakan ketika titik pendekatannya berada pada titik ekstrim atau titik puncak, karena pada titik ini nilai F1(x) = 0 sehingga nilai penyebut dari sama dengan nol, secara grafis dapat dilihat sebagai berikut: Bila titik pendekatan berada pada titik puncak, maka titik selanjutnya akan berada di tak berhingga.    xF xF 1
  • 49.
    Metode Numerik PENS-ITS 49 Permasalahanpada pemakaian metode newton raphson • Metode ini menjadi sulit atau lama mendapatkan penyelesaian ketika titik pendekatannya berada di antara dua titik stasioner. • Bila titik pendekatan berada pada dua tiitik puncak akan dapat mengakibatkan hilangnya penyelesaian (divergensi). Hal ini disebabkan titik selanjutnya berada pada salah satu titik puncak atau arah pendekatannya berbeda.
  • 50.
  • 51.
    Metode Numerik PENS-ITS 51 PenyelesaianPermasalahan pada pemakaian metode newton raphson 1. Bila titik pendekatan berada pada titik puncak maka titik pendekatan tersebut harus di geser sedikit, xi = xi dimana adalah konstanta yang ditentukan dengan demikian dan metode newton raphson tetap dapat berjalan. 2. Untuk menghindari titik-titik pendekatan yang berada jauh, sebaiknya pemakaian metode newton raphson ini didahului oleh metode tabel, sehingga dapat di jamin konvergensi dari metode newton raphson.     01 ixF
  • 52.
    Metode Numerik PENS-ITS 52 ContohSoal • x . e-x + cos(2x) = 0  x0 = 0,176281 • f(x) = x . e-x + cos(2x) • f1(x) = (1-x) e-x – 2 sin (2x) • F(x0) = 1,086282 • F1(x0) = -0,000015 X = 71365,2 padahal dalam range 0 sampai dengan 1 terdapat akar di sekitar 0.5 s/d 1.
  • 53.
  • 54.
    Metode Numerik PENS-ITS 54 NewtonRaphson yang telah diperbaiki • x . e-x + cos(2x) = 0  x0 = 0,176281 • f(x) = x . e-x + cos(2x) • f1(x) = (1-x) e-x – 2 sin (2x) • (Titik awal sengaja di ambil pada titik stasioner  Untuk menghindari f’(x)=0 maka nilai x digeser 0.2) Toleransi error = 0.00001 Iterasi maksimum = 10 iterasi x y g 1 1.42882 -0.617622 -0.663051 2 0.497335 0.847234 -1.37146 3 1.11509 -0.247015 -1.61847 4 0.962472 0.0208234 -1.86155 5 0.973658 6.39207e-005 -1.84995 6 0.973692 6.46601e-010 -1.84991 Akar terletak di x = 0.973692
  • 55.
    Metode Numerik PENS-ITS 55 NewtonRaphson yang telah diperbaiki • (Titik awal sengaja di ambil pada titik stasioner  Untuk menghindari f’(x)=0 maka nilai x digeser 0.1) Pendekatan awal x0 = 0.176281 Toleransi error = 0.00001 Iterasi maksimum = 10 iterasi x y g 1 2.39474 0.295411 1.86686 2 2.2365 0.00182622 1.81087 3 2.23549 4.96441e-007 1.80989 Akar terletak di x = 2.23549
  • 56.
    Metode Numerik PENS-ITS 56 ContohSoal • Untuk menghindari hal ini sebaiknya digunakan grafik atau tabel sehingga dapat diperoleh pendekatan awal yang baik. Digunakan pendekatan awal x0=0.5 x
  • 57.
    Metode Numerik PENS-ITS 57 ContohSoal • Hasil dari penyelesaian persamaan • x * exp(-x) + cos(2x) = 0 pada range [0,5]
  • 58.
  • 59.
    Metode Numerik PENS-ITS 59 Contoh •Hitunglah akar dengan metode Newthon Raphson. Gunakan e=0.00001. Tebakan awal akar x0 = 1 • Penyelesaian • Prosedur iterasi Newthon Raphson 2 5)( xexf x  2 5)( xexf x  xexf x 10)('  xe xe xx x x rr 10 5 2 1    0 1 -2.28172 1 0.686651 -0.370399 2 0.610741 -0.0232286 3 0.605296 -0.000121011 4 0.605267 -3.35649e-009 Akar terletak di x = 0.605267
  • 60.
  • 61.
    Metode Numerik PENS-ITS 61 MetodeSecant • Metode Newton Raphson memerlukan perhitungan turunan fungsi f’(x). • Tidak semua fungsi mudah dicari turunannya terutama fungsi yang bentuknya rumit. • Turunan fungsi dapat dihilangkan dengan cara menggantinya dengan bentuk lain yang ekivalen • Modifikasi metode Newton Raphson dinamakan metode Secant.
  • 62.
  • 63.
    Metode Numerik PENS-ITS 63 •Metode Newton-Raphson 1 1 )()( )('         rr rr xx xfxf x y xf )(' )( 1 r r rr xf xf xx  )()( ))(( 1 1 1       rr rrr rr xfxf xxxf xx
  • 64.
    Metode Numerik PENS-ITS 64 AlgoritmaMetode Secant : • Definisikan fungsi F(x) • Definisikan torelansi error (e) dan iterasi maksimum (n) • Masukkan dua nilai pendekatan awal yang di antaranya terdapat akar yaitu x0 dan x1, sebaiknya gunakan metode tabel atau grafis untuk menjamin titik pendakatannya adalah titik pendekatan yang konvergensinya pada akar persamaan yang diharapkan. • Hitung F(x0) dan F(x1) sebagai y0 dan y1 • Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |F(xi)| hitung yi+1 = F(xi+1) • Akar persamaan adalah nilai x yang terakhir. 1 1 1       ii ii iii yy xx yxx
  • 65.
    Metode Numerik PENS-ITS 65 PerbedaanRegula Falsi dan Secant
  • 66.
    Metode Numerik PENS-ITS 66 PerbedaanRegula Falsi dan Secant
  • 67.
    Metode Numerik PENS-ITS 67 ContohSoal • Penyelesaian • x2 –(x + 1) e-x = 0 ?
  • 68.
    Metode Numerik PENS-ITS 68 Contoh •Hitunglah akar dengan metode Secant. Gunakan e=0.00001. Tebakan awal akar x0 = 1 • Penyelesaian • Hasil Tabel 2 5)( xexf x  Toleransi error = 0.00001 Iterasi maksimum = 10 x0 = 0.5 x1 = 1 1 0.574376 0.126483 2 0.596731 0.0357344 3 0.605533 -0.00112339 4 0.605265 9.35729e-006 Akar terletak di x = 0.605265
  • 69.
    Metode Numerik PENS-ITS 69 ContohKasus Penyelesaian Persamaan Non Linier • Penentuan nilai maksimal dan minimal fungsi non linier • Perhitungan nilai konstanta pada matrik dan determinan, yang biasanya muncul dalam permasalahan sistem linier, bisa digunakan untuk menghitung nilai eigen • Penentuan titik potong beberapa fungsi non linier, yang banyak digunakan untuk keperluan perhitungan- perhitungan secara grafis.
  • 70.
    Metode Numerik PENS-ITS 70 PenentuanNilai Maksimal dan Minimal Fungsi Non Linier • nilai maksimal dan minimal dari f(x)  memenuhi f’(x)=0. • g(x)=f’(x)  g(x)=0 • Menentukan nilai maksimal atau minimal  f”(x)
  • 71.
    Metode Numerik PENS-ITS 71 ContohSoal • Tentukan nilai minimal dari f(x) = x2-(x+1)e-2x+1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x**2-(x+1)*exp(-2*x)+1 nilai minimal terletak antara –0.4 dan –0.2
  • 72.
  • 73.
    Metode Numerik PENS-ITS 73 MenghitungTitik Potong 2 Buah Kurva x y y=f(x) y=g(x) p f(x) = g(x) atau f(x) – g(x) = 0
  • 74.
    Metode Numerik PENS-ITS 74 ContohSoal • Tentukan titik potong y=2x3-x dan y=e-x -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 2*x**3-x exp(-x) akar terletak di antara 0.8 dan 1
  • 75.
  • 76.
    Metode Numerik PENS-ITS 76 Soal(1/3) 1. Tahun 1225 Leonardo da Pisa mencari akar persamaan F(x) = x3 + 2x2 + 10x – 20 = 0 Dan menemukan x = 1.368808107. Tidak seorangpun yang mengetahui cara Leonardo menemukan nilai ini. Sekarang rahasia ini dapat dipecahkan dengan metode iterasi sederhana. Carilah salah satu dari kemungkinan x = g(x). Lalu dengan memberikan sembarang input awal, tentukan x=g(x) yang mana yang menghasilkan akar persamaan yang ditemukan Leonardo itu.
  • 77.
    Metode Numerik PENS-ITS 77 Soal(2/3) 2. Hitung akar 27 dan akar 50 dengan biseksi dan regula falsi ! Bandingkan ke dua metode tersebut ! Mana yang lebih cepat ? Catat hasil uji coba Hitung akar 27 dan akar 50 dengan metode Newthon Raphson dan Secant. a b N e Iterasi Biseksi Iterasi Regula Falsi 0.1 0.01 0.001 0.0001
  • 78.
    Metode Numerik PENS-ITS 78 Soal(3/3) 3. Tentukan nilai puncak pada kurva y = x2 + e-2xsin(x) pada range x=[0,10]. Dengan metode newthon raphson 4. Bagaimana menghitung nilai 1/c dengan menggunakan Newton Raphson 5. Carilah 3 akar dengan metode Newthon Raphson. Gunakan e=0.00001. Tentukan tebakan awal akar x0 untuk mendapatkan ketiga akar tersebut. Tentukan tebakan awal akar x0 untuk mendapatkan hasil yang divergen. 2 5)( xexf x 