TUGAS KALKULUS 2

1. TUGAS MAKALAH
ATURAN TRAPESIUM
Tugas ini Diajukan Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Kalkulus Integral
Dosen pengampu : Glori Indira Diana Br Purba, S.Pd, M.Pd.
DISUSUN
NAMA KELOMPOK :
1. ESRA JULIANA HARIANJA (4172131015)
2. FEBE KAREN REHULINA Br GINTING (4173131014)
3. FRANS HARDI SAMOSIR (4172131016)
4. LINDA ROSITA (4173131020)
5. PELITA ANANDA SIANTURI (4173331038)
KELOMPOK : IV
KELAS : KIMIA DIK B 2017
JURUSAN : KIMIA
PROGRAM : S-1 PENDIDIDKAN KIMIA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
2018
DAFTAR ISI
Kata Pengantar

2. BAB I PENDAHULUAN
1. Latar Belakang masalah................................................................................... 1
2. Rumusan Masalah........................................................................................... 2
3. Tujuan.............................................................................................................. 2
BAB II PEMBAHASAN
1. Dasar Teori...................................................................................................... 3
BAB III PENUTUP
1. Kesimpulan .................................................................................................... 14
2. Saran............................................................................................................... 14
DAFTAR PUSTAKA........................................................................................... 15

3. KATA PENGANTAR
Alhamdulillah puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT, karena atas berkah
dan rahmat-Nya kami bisa menyelesaikan makalah kami ini, tak lupa pula shalawat
bertangkaikan salam kami hadiahkan kepada putra Abdullah buah hati Aminah ialah Nabi
besar kita Muhammad SAW, yang selalu kita harapkan syafaatnya di hari kelak, dan semoga
kita menjadi salah satu orang yang mendapatkannya kelak. Amin.
Kami menyadari bahwa dalam proses penyelesaian makalah ini tidak terlepas dari peran
dan sumbangsih pemikiran serta intervensi dari banyak pihak. Karena itu dalam kesempatan
ini, kami ingin menyampaikan terimakasih dan penghargaan sedalam-dalamnya kepada semua
pihak yang membantu kami dalam menyelesaikan penulisan makalah ini yang tidak dapat kami
sebutkan satu per satu.
Terimakasih juga kami ucapkan kepada dosen mata kuliah Kalkulus Integral Ibu Glori
Indira Diana Br Purba, S.Pd, M.Pd. yang telah membimbing kami sehingga kami bisa
menyelesaikan makalah ini, dengan selesainya makalah ini kami berharap agar makalah ini
nantinya bisa menjadi bukti bahwa kami telah melaksanakan tugas makalah yang dilakukan
pada 16 Mei 2018 Semoga makalah ini bermanfaat. Amin.
Kami menyadari bahwa dalam makalah ini masih terdapat banyak kekurangan dan jauh
dari kesempurnaan sehingga kritik dan saran yang membangun sangat kami harapkan. Semoga
makalah ini bermanfaat. Amin.
Medan, 16 Mei 2018
TIM PENYUSUN

4. BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Sulitnya menentukan sebuah nilai yang absolute dari penyelesaian persamaan
matematik maka dicari sebuah solusi yang tepat, yaitu dengan menggunakan sebuah
metode atau cara yang akan mendapatkan sebuah hasil pendekatan yang bisa dianggap
sebagai sebuah penyelesaian yang layak. Ketelitian yang cukup tinggi sangat
diperlukan dalam suatu perhitungan karena sangat mempengaruhi hasil perhitungan.
Hal ini mendorong diciptakannnya berbagai macam metode. Metode numeris yang
merupakan teknik-teknik yang digunakan untuk menyelesaikan masalah matematis
dengan cara operasi hitungan. Disini diperlukan suatu perhitungan yang berulang-
ulang (iterative) dalam jumlah yang banyak. Oleh karena itu diperlukan suatu
program komputer yang dapat meyelesaikan perhitungan dengan cepat dan teliti
sehingga kesalahan perhitungan dapat dihindari.
Salah satu operasi matematika yang sering digunakan dalam dunia ilmu
pengetahuan dan teknologi adalah masalah integrasi. Integrasi numerik merupakan
suatu proses mencari nilai integral suatu fungsi yang dibatasi titik variable tertentu
dengan membagi dari kedua titik tersebut menjadi beberapa pita atau subinterval.
Penyelesaian didapat dari sejumlah literasi tertentu, dengan penambahan pita atau
subinterval dari masing-masing iterasi, sehingga didapatkan sebuah nilai yang layak.
Nilai layak maksudnya nilai pendekatan yang mempunyai error kecil. Sedangkan error
dimaksudkan untuk membatasi tingkat ketelitian perhitungan untuk mendapatkan hasil
yang layak. Error dapat dihitung dari selisih dua buah hasil iterasi yang berurutan. Error
yang diinginkan adalah batas kesalahan yang sangat kecil.
Dari beberapa metode yang digunakan untuk menyelesaikan integral dari suatu
fungsi-fungsi persamaan diatas adalah Metode Luas Trapesium. Dengan begitu sebuah
nilai dapat dianggap sebagai penyelesaian numeric jika memenuhi syarat yaitu error
yang kecil, karena untuk membatasi tingkat kesalahan perhitungan.
1.2 Rumusan Masalah
1. Apa definisi metode numerik ?
2. Bagaimana teorema yang digunakan pada aturan trapesium?
3. Bagaimana modifikasi aturan trapezoidal (aturan trapesium) ?

5. 4. Bagaimana metode trapesium dengan banyak pias ?
5. Bagaimana ketelitian dari hampiran trapesium ?
1.3 Tujuan
1. Mengetahui definisi metode numerik.
2. Mengetahui teorema yang digunakan pada aturan trapesium.
3. Mengetahui modifikasi aturan trapezoidal (aturan trapesium).
4. Mengetahui metode trapesium dengan banyak pias.
5. Mengetahui ketelitian dari hampiran trapesium.

6. BAB II
PEMBAHASAN
A. METODE NUMERIK
Metode Numerik adalah adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan
persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungana ritmatika
biasa (tambah, kurang, kali, dan bagi). Metode artinya cara, sedangkan numerik artinya
angka, jadi metode numerik secara harafiah berarti cara berhitung dengan
menggunakan angka-angka (Nirsal, 2014)
Selain Metode Numerik, ada yang namanya Metode Analitik. Dan yang dimaksud
dengan Metode Analitik adalah metode penyelesaian model matematika dengan rumus-
rumus aljabar yang sudah baku (lazim). Metode Analitik disebut juga metode sejati,
karena ia memberi kita solusi sejati (exact solution) atau solusi sesungguhnya, yaitu
solusi yang memiliki galat (error) sama dengan nol.
Ada perbedaan utama antara Metode Numerik dan Metode Analitik yang terletak
pada dua hal. Pertama, solusi dengan menggunakan metode numerik selalu berbentuk
angka. Bandingkan dengan metode analitik yang biasanya menghasilkan solusi dalam
bentuk fungsi matematik yang selanjutnya fungsi matematik yang selanjutnya fungsi
matematik tersebut dapat dievaluasi untuk menghasilkan nilai dalam bentuk angka.
Kedua, dengan metode numerik, kita hanya memperoleh solusi yang menghampiri
atau mendekati solusi sejati sehingga solusi numerik dinamakan juga solusi hampiran
atau solusi pendekatan. Namun, solusi hampiran dapat dibuat seteliti yang kita
inginkan. Solusi hampiran jelas tidak tepat dengan solusi sejati, sehingga ada selisih
antara keduanya. Selisih inilah yang disebut dengan Galat (error) atau nilai kesalahan.
Kesalahan ini penting artinya, karena kesalahan dalam pemakaian algoritma
pendekatan akan menyebabkan nilai kesalahan yang besar, tentunya ini tidak
diharapkan. Sehingga pendekatan metode numerik selalu membahas tingkat kesalahan
dan tingkat kecepatan proses yang akan terjadi.
1. ATURAN TRAPESIUM
Mengevaluasi suatu integral tertentu dxxf
b
a
 )( untuk f(x) sebarang fungsi yang kontinu
pada selang [a,b], dengan metode analitik biasanya sulit bahkan ada yang tak dapat
dievaluasi. Mengatasi persoalan ini dan persoalan integrasi yang lebih umum yang

7. hanya mempunyai beberapa nilai dari f(x) (dengan argumen x = xi, i = 0, 1, 2, ..., n)
dibutuhkan beberapa pendekatan.
Pilihannya adalah mencari sebuah fungsi, misalnya g(x) yang sesuai untuk mengatasi
kedua persoalan yaitu merupakan pendekatan dari f(x) yang mudah untuk diintegralkan
secara analitik.
Diberikan dua buah titik data (x0, f(x0)) dan (x1, f(x1)). Karena f(x) melalui dua buah
titik (x0, f(x0)) dan (x1, f(x1)), maka dipakai interpolasi berorde satu f(x) ≈ P1(x).
Integral dengan Aturan Trapesium, h = b – a
Menurut interpolasi beda terbagi Newton orde satu : P1(x) = f0+ f[xo,x1] (x-x1).
Dengan memakai f(x) ≈ P1(x) tersebut diperoleh :
   dxxxxxffdxxpdxxf
b
a
b
a
b
a
   01001 ,)()(  dxxx
xx
ff
xf
b
a
b
a
0
01
01
0 ] 


 
Dapat ditunjukkan bahwa bentuk terakhir ini sama dengan
 10
2
ff
ab


atau  ba ff
ab


2
Jadi aturan trapesiumnya adalah
Pada aturan ini,fungsi 𝑓( 𝑥) pada [a,b] dibagi dalam beberapa selang (n). Perhatikan
gambar berikut :
 )()(
2
)( bfaf
h
dxxf
b
a

denganh = b - a

8. Kita tahu bahwa integral dari suatu fungsi adalah luas daerah pada fungsi tersebut yang
dibatasi oleh selang pengintegralan. Gambar diatas menunjukkan bahwa funsgi 𝑓( 𝑥)
dihampiri luasan trapesium. Jadi menghitung fungsi 𝑓( 𝑥) dengan batas [a,b] adalah
jumlah dari luas trapesium (Purcell, 2004).
Kita juga ketahui bahwa rumus dari luas trapesium adalah L=
ℎ
2
(c+d). Rumus luas ini
akan membantu kita untuk mencari luas pada gambar pertama.
Karena a = 𝑥0 dan b = 𝑥 𝑛 maka luas sebuah trapesium pada gambar diatas adalah
A =
ℎ
2
(𝑓(𝑥1−1 + 𝑓(𝑥1))
Untuk lebih akurat, maka kita harus memperbanyak trapesium dalam fungsi tersebut
sehingga luas seluruhnya adalah
A total = 𝐴1 + 𝐴2 + .... + 𝐴 𝑛
Dengan
A =
ℎ
2
(𝑓(𝑥0)+ 𝑓(𝑥1))
A =
ℎ
2
(𝑓(𝑥1)+ 𝑓(𝑥2))
A =
ℎ
2
(𝑓(𝑥 𝑛−1+ 𝑓(𝑥 𝑛))
Sehingga dapat kita simpulkan bahwa
∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = 𝐴1 + 𝐴2 + .... + 𝐴 𝑛
∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 =
ℎ
2
(𝑓(𝑥0)+ 𝑓(𝑥1)) +
ℎ
2
(𝑓(𝑥1)+ 𝑓(𝑥2)) +
ℎ
2
(𝑓(𝑥 𝑛−1+ 𝑓(𝑥 𝑛))

9. Sehingga hasil diatas dapat kita sederhanakan menjadi
∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 ≈
ℎ
2
(𝑓(𝑥0)+ 2 𝑓(𝑥1)) + 2𝑓(𝑥2)+ ....+ (2𝑓(𝑥 𝑛−1+ 𝑓(𝑥 𝑛))
≈
ℎ
2
(𝑓(𝑥0)+ 2 𝑓(𝑥1)) + 2𝑓(𝑥2)+ ....+ (2𝑓(𝑥 𝑛−1+ 𝑓(𝑥 𝑛))
≈
ℎ
2
[(𝑓(𝑥0)+ 2∑ 𝑓𝑛−1
𝑖=1 (𝑥1)) + 𝑓(𝑥 𝑛)]
Dengan
ℎ =
𝑏 − 𝑎
𝑛
Sekarang kita akan menguji coba aturan ini dengan integral yang akan kita ketahui nilai
eksaknya.
1. Dengan menggunakan aturan Trapeziodal dengan n = 8 hampirilah nilai
∫ 𝑥2
2
0
𝑑𝑥
Penyelesaian :
Karena n = 8 maka ℎ =
2−0
8
=
1
4
= 0,25
𝑖 𝑥 𝑖 𝑓(𝑥 𝑖) 𝑐𝑖 𝑐𝑖 𝑥 𝑓(𝑥𝑖)
0 0 0 1 0
1 0,25 0,625 2 0,125
2 0,5 0,25 2 0,5
3 0,75 0,5625 2 1,125
4 1,00 1,00 2 2
5 1,25 1,5625 2 3,125
6 1,50 2,25 2 4,5
7 1,75 3,0625 2 6,125
8 2,00 4,00 1 4
Jumlah 21,5
Jadi, ∫ 𝑥22
0
𝑑𝑥 =
0,25
2
(21,5) = 2,6875
Jika kita bandingkan dengan nilai eksaknya yaitu
∫ 𝑥22
0
𝑑𝑥 = [
𝑥3
3
]
2
0

10. =
8
3
= 2,6666667
Kesalahan pada aturan Trapezoidal 𝐸 𝑛 dinyatakan dengan
𝐸 𝑛 =
( 𝑏 − 𝑎)3
12𝑛2
𝑓" (𝑐)
Dengan c adalah suatu titik tengah diantara a dan b
Jika dibandingkan dengan nilai eksaknya maka masih terdapat perbedaan yang cukup
signifikan. Sehingga kita akan mencoba beralih pada aturan selanjutnya.
Modifikasi aturan Trapezoidal (Aturan Trapesium)
Aturan Trapezoidal diutus dapat dimodifikasi sebagai berikut
Sekarang kita akan mencoba mengaplikasikan dalam contoh diatas .
∫ 𝑥22
0
𝑑𝑥 ≈ 𝑇 −
[𝑓′( 𝑏)−𝑓"(𝑎) ℎ3
12
≈
ℎ
2
(𝑓(𝑥0)+ 2 𝑓(𝑥1)) + 2𝑓(𝑥2)+ ....+ (2𝑓(𝑥 𝑛−1+ 𝑓(𝑥 𝑛))-
[𝑓′( 𝑏)−𝑓"(𝑎) ℎ3
12
Sekarang kita akan mencoba mengaplikasikannya dalam contoh diatas
1. Dengan menggunakan aturan Trapeziodal dengan n = 8 hampirilah nilai
∫ 𝑥2
2
0
𝑑𝑥
Penyelesaian :
Karena n = 8 maka ℎ =
2−0
8
=
1
4
= 0,25
𝑖 𝑥 𝑖 𝑓(𝑥 𝑖) 𝑐𝑖 𝑐𝑖 𝑥 𝑓(𝑥𝑖)
0 0 0 1 0
1 0,25 0,625 2 0,125
2 0,5 0,25 2 0,5
3 0,75 0,5625 2 1,125
4 1,00 1,00 2 2
5 1,25 1,5625 2 3,125
6 1,50 2,25 2 4,5
7 1,75 3,0625 2 6,125
8 2,00 4,00 1 4

11. Jumlah 21,5
Jadi, ∫ 𝑥22
0
𝑑𝑥 =
0,25
2
(21,5) = 2,6875
Jika kita bandingkan dengan nilai eksaknya yaitu
∫ 𝑥22
0
𝑑𝑥 = [
𝑥3
3
]
2
0
=
8
3
= 2,6666667
Selanjutnya, 𝑓′( 𝑥) = 2𝑥 => 𝑓′(0) = 0 𝑑𝑎𝑛 𝑓′(2) = 4 𝑚𝑎𝑘𝑎
[𝑓′( 𝑏)−𝑓"(𝑎) ℎ2
12
=
(4−0)(0,25)2
12
=
4(0,0625)
12
= 0,020833
Sehingga
∫ 𝑥22
0
𝑑𝑥 ≈ 2,6875 − 0,020833
≈ 2,666667
Hasilnya sama dengan nilai eksak.
Aturan komposisi trapesium
Selang [a,b]dibagi menjadi n selang bagian dengan lebar selang :
n
ab
h

 .
Berdasarkan aturan trapesium diperoleh
              
           121
1211
2...22
2
2
...
22
)(....)()()(




   
n
n
b
a
b
a
b
a
b
a
xfxfxfbfaf
h
bfxf
h
xfxf
h
xfxf
h
dxxfdxxfdxxfdxxf
Jadi (Martono,1984 )
Metode trapesium dengan banyak pias
Untuk mengurangi kesalahan yang terjadi maka kurva lengkung didekati oleh sejumlah
garis lurus, sehingga terbentuk banyak pias. Luas bidang adalah jumlah dari luas
     





 


1
1
2
2
)(
n
i
i
b
a
xfbfaf
h
dxxf

12. beberapa pias tersebut. Semakin kecil pias yang digunakan hasil
yang didapat semakin teliti (Kanginan, 2007).
Panjang tiap pias adalah sama yaitu Ax. Apabila terdapat n pias, berati panjang masing-
masing adalah :
∆x =
𝑏 − 𝑎
𝑛
Batas–batas pias diberi notasi 𝑥0 = 𝑎, 𝑥 𝑖 , 𝑥2, ..... , 𝑥 𝑛 = 𝑏
Intgeral total dapat ditulis dalam bentuk
2. KETELITIAN DARI HAMPIRAN ATURAN TRAPESIUM
Integrasi Numerik adalah Integral suatu fungsi dimana operator matematik yang
dipresentasikan dalam bentuk:
merupakan integral suatu fungsi f (x) terhadap variabel x dengan batas-batas integrasi
adalah dari x = a sampai x = b.
Integral adalah nilai total atau luasan yang dibatasi oleh fungsi f (x) dan sumbu-x, serta
antara batas x = a dan x = b. Dalam integral analitis, persamaan dapat diselesaikan
menjadi:

13. Integral numerik dilakukan apabila:
1. Integral tidak dapat (sukar) diselesaikan secara analisis.
2. Fungsi yang diintegralkan tidak diberikan dalam bentuk analitis, tetapi secara
numerik dalam bentuk angka (tabel).
Metode Trapesium
Menurut rumus geometri, luas trapesium adalah lebar kali tinggi rerata, yang berbentuk:
I ≈ (b − a) =
𝑓(𝑎) − 𝑓(𝑏)
2
Contoh soal:
Gunakan metode trapesium satu pias untuk menghitung :
𝐼∫ 𝑒 𝑥
4
0
𝑑𝑥
Penyelesaian:
Bentuk integral diatas dapat diselesaikan secara analitis:
𝐼 ∫ 𝑒 𝑥4
0
𝑑𝑥 = [ 𝑒 𝑥]
4
0
= [ 𝑒4 − 𝑒0] = 53,598150
Hitungan integral numerik dilakukan dengan menggunakan persamaan :
I ≈ (b − a) =
𝑓( 𝑎) − 𝑓( 𝑏)
2
= (4 − 0)
𝑒0 − 𝑒4
2
= 111,1963
Untuk mengetahui tingkat ketelitian dari integral numerik, hasil hitungan numerik
dibandingkan dengan hitungan analitis.
Kesalahan relatif terhadap nilai eksak adalah:

14. Terlihat bahwa penggunaan metode trapesium satu pias memberikan kesalahan sangat
besar (lebih dari 100 %).

15. BAB III
KESIMPULAN DAN SARAN
3.1 Kesimpulan
Menurut interpolasi beda terbagi Newton orde satu : P1(x) = f0+ f[xo,x1] (x-x1).
Dengan memakai f(x) ≈ P1(x) tersebut diperoleh :
   dxxxxxffdxxpdxxf
b
a
b
a
b
a
   01001 ,)()(  dxxx
xx
ff
xf
b
a
b
a
0
01
01
0 ] 


 
Dapat ditunjukkan bahwa bentuk terakhir ini sama dengan
 10
2
ff
ab


atau  ba ff
ab


2
Jadi aturan trapesiumnya adalah
 )()(
2
)( bfaf
h
dxxf
b
a

dengan h = b - a
Integral numerik dilakukan apabila:
1. Integral tidak dapat (sukar) diselesaikan secara analisis.
2. Fungsi yang diintegralkan tidak diberikan dalam bentuk analitis, tetapi secara
numerik dalam bentuk angka (tabel).
Menurut rumus geometri, luas trapesium adalah lebar kali tinggi rerata, yang berbentuk:
I ≈ (b − a) =
𝑓(𝑎) − 𝑓(𝑏)
2
3.2 Saran
Kami menyadari bahwa dalam penulisan makalah ini, masih banyak terdapat
kekurangan dan masih jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu, kami mengharapkan
sumbangsi pikiran dari para pembaca demi penyempurnaan makalah ini.

16. DAFTAR PUSTAKA
Ilmi, U. 2012. Membandingkan Metode Trapesium Satu Pias, Banyak Pias Dan Koreksi Ujung.
Jurnal Teknika. 1(1). 356-358.
Nirsal. 2014. Penggunaan Ekstrapolasi untuk Menyelesaikan Fungsi Integral Tentu. Jurnal
Ilmiah komputer. 4(2). 45-54.
Kanginan, Marthen. 2007. Matematika Integral. Bandung : PT Grafindo Media Pratama.
Martono, K. 1984. Kalkulus Dan Ilmu Ukur Analitik 2. Angkasa : Bandung.
Purcell, Edwin. 2004. Kalkulus Jilid I. Jakarta : Erlangga.