Modul ini membahas metode Regula-Falsi untuk menemukan akar persamaan aljabar non-linier tunggal. Metode ini memodifikasi metode Bisection dengan mempertimbangkan 'kesebangunan' pada kurva fungsi. Algoritmanya menghasilkan formula rekursif untuk menentukan nilai baru. Metode ini konvergen secara linear dengan faktor pengali lebih besar dari metode Bisection, dan dapat digunakan untuk fungsi yang turunannya

1. Seri Kuliah Metode Numerik (Modul 6: Metode Regula-Falsi untuk Solusi PANLT (Persamaan Aljabar Non-Linier Tunggal) (1/1)
Modul 6
METODE REGULA-FALSI (False Position) untuk
Solusi Akar PERSAMAAN ALJABAR NON-LINIER TUNGGAL
A. Pendahuluan
Seperti telah dijelaskan pada modul terdahulu, Metode Bisection
memiliki kelemahan pokok, yaitu: kecepatannya dalam mencapai
divergensi; maka beberapa ahli matematika telah berusaha
menyempunakan metode tersebut. Namun demikian, metode ini
memiliki kelebihan yaitu: kepastian atau jaminannya dalam menuju
konvergensi.
Dalam modul ini akan dibahas suatu metode solusi baru yang
memodifikasi metode bisection, yang kinerjanya lebih cepat dalam
mencapai konvergensi, namun masih tetap memiliki kepastian atau
jaminan menuju konvergensi.
B. Solusi Akar PANLT dengan Metode Regula-Falsi
Solusi akar (atau akar-akar) dengan menggunakan Metode Regula-
Falsi merupakan modifikasi dari Metode Bisection dengan cara
memperhitungkan ‘kesebangunan’ yang dilihat pada kurva berikut:
y
xαα
a
b
y = f(x)
c
(b,f(b))
(a,f(a))
P
Q R
Gambar 6.1. Representasi grafis metode Regula-Falsi.

2. Seri Kuliah Metode Numerik (Modul 6: Metode Regula-Falsi untuk Solusi PANLT (Persamaan Aljabar Non-Linier Tunggal) (2/2)
Perhatikan kebangunan 2 segitiga Pcb dan PQR di atas, sehingga
persamaan berikut dapat digunakan:
RQ
PR
bc
Pb
=
atau
ab
afbf
cb
bf
−
−
=
−
− )()(0)(
sehingga






−
−
−=
)()(
)(:
afbf
ab
bfbc
Persamaan di atas disebut sebagai persamaan rekursif dari
Metode Regula Falsi.
Kecepatan atau laju konvergensi dari Metode Regula-Falsi sama
dengan Metode Bisection, yaitu ‘konvergensi linier’, namun
dengan faktor pengali (konstanta) yang lebih besar dari 21 (faktor
pengali berkisar antara 21 … 1).
C. Algoritma Metode Regula-Falsi
Asumsi awal yang harus diambil adalah sama seperti pada Metode
Bisection, yaitu: ‘menebak’ interval awal [a,b] dimana f(x) adalah
kontinu padanya, demikian pula interval tersebut harus terletak
‘mengapit’ (secara intuitif) nilai akar α, sedemikian rupa sehingga:
0)()( ≤⋅ bfaf
Meskipun pada algoritma berikut masih mengandung beberapa
kelemahan, namun secara umum masih sangat menguntungkan
untuk dipakai. Perbaikan dan modifikasi secara numeris dilakukan
oleh Brent (Atkinson, 1978), untuk algoritma tersebut.

3. Seri Kuliah Metode Numerik (Modul 6: Metode Regula-Falsi untuk Solusi PANLT (Persamaan Aljabar Non-Linier Tunggal) (3/3)
Algoritma REGFAL(f,a,b,akar,ε,iter,itmax,flag)
1. Tebak harga interval [a,b]; tentukan ε;
dan itmax
2. Set xold = 2*b-a; iter = 0; flag = 0;
3. Tentukan atau hitung akar = c = b –
f(b) [(b – a)/(f(b) – f(a)); iter = iter + 1;
4. Jika f(b)·f(c) ≤ 0 maka a = c jika tidak
b = c;
5. Jika abs(c – xold) ≤ ε maka flag = 1
atau jika iter > itmax maka flag = 2
atau jika tidak maka iter = iter + 1 dan
akar = c;
6. Jika flag = 0 ulangi ke nomor 3;
7. Selesai.
Gambar 6.2. Algoritma Metode-Regula Falsi
Sehingga formula rekursif dari Metode REGULA-FALSI: dapat
dituliskan dalam resume berikut:



==
==
<⋅
−
−
=
++
++
−
+
nnnn
nnnn
nn
nn
nnnn
n
bbxa
xbaa
xfaf
afbf
afbbfa
x
11
11
,
,
?0)()(
)()(
)()(
)(
)(
Adapun sifat atau karakteristik metode ini secara umum adalah:
ð Memerlukan 2 harga awal (≡ a0 dan b0 sedemikian rupa
sehingga f(a0)·f(b0) ≤ 0)
ð Konvergensi Superlinier (≡ Sedang, antara linier dan kuadrat)

4. Seri Kuliah Metode Numerik (Modul 6: Metode Regula-Falsi untuk Solusi PANLT (Persamaan Aljabar Non-Linier Tunggal) (4/4)
ð Baik digunakan untuk fungsi yang turunannya tak terdefinisi
dengan jelas (≡ diskontinyu)
ð Divergen (RTE, run time error) bila an = bn (≡ ∆ ≅ εmesin)
ð Kriteria penghentian iterasi : ε≤− nn ab dan atau
ε≤)( nxf
Adapun tabel kerja dari metode ini (sesuai dengan algoritmanya),
dapat disajikan secara sistematis sebagai berikut:
Tabel 6.1. Tabel Kerja Metode Regula-Falsi
n xn an bn f(an) f(bn)
0 --- … … … …
1 … … … … …
… … … … … …
D. Listing Program Metode Regula-Falsi
Diberikan persoalan untuk menghitung akar (akar-akar) persamaan
f(x) = 0, sebagai berikut:
0)( 1
=−≡ x
exxf
Listing program sederhana (non-subroutine) dan program dengan
subroutine untuk Metode Regula-Falsi disertakan dalam gambar-
gambar 6.2. dan 6.3. di bawah ini, yang ditulis dalam Bahasa
FORTRAN 77 (kompatibel dengan Bahasa FORTRAN 90/95):

5. Seri Kuliah Metode Numerik (Modul 6: Metode Regula-Falsi untuk Solusi PANLT (Persamaan Aljabar Non-Linier Tunggal) (5/5)
C Program: Solusi Persamaan Aljabar Non-Linier Tunggal (PANLT)
C dengan Metode 'Regula Falsi'
C VARIAN: Program sederhana/Non-Subroutine
C Kondisi proses dinyatakan dalam variabel 'flag'
C flag = 0; berarti sistem masih dalam proses iterasi
C flag = 1; berarti proses telah mencapai konvergensi
C flag = 2; berarti jumlah iterasi maksimum telah terlampaui
C -------------------------------------------------------------
implicit none
REAL*8 eps,f,f0,f1,x,xold,x0,x1
INTEGER flag,iter,maxiter
WRITE(*,'(A,$)') 'Harga-harga awal x0, x1 : '
READ(*,*) x0,x1
WRITE(*,'(A,$)') 'Jumlah iterasi maksimum : '
READ(*,*) maxiter
WRITE(*,'(A,$)') 'Epsilon/kriteria proses : '
READ(*,*) eps
iter = 0
flag = 0
xold = 2*x1 - x0
DO WHILE(flag .EQ. 0)
x = x1 - (x1 - x0)/(f(x1) - f(x0))*f(x1)
IF ((f(x1)*f(x)) .LE. 0.0D0) THEN
x0 = x
ELSE
x1 = x
ENDIF
IF (ABS(x - xold) .LE. eps) THEN
flag = 1
ELSEIF (iter .GT. maxiter) THEN
flag = 2
ELSE
iter = iter + 1
xold = x
ENDIF
ENDDO
WRITE(*,*) 'x0 = ',x0
WRITE(*,*) 'x1 = ',x1
WRITE(*,*) 'xold = ',xold
WRITE(*,*) 'x = ',x
WRITE(*,*) 'f(x) = ',f(x)
WRITE(*,*) 'Flag = ',flag
WRITE(*,*) 'Jumlah iterasi = ',iter
STOP
END
FUNCTION f(x)
REAL*8 f,x
f = x - exp(1.0D0/x)
RETURN
END
Gambar 6.3. Listing program sederhana (tanpa subroutine).

6. Seri Kuliah Metode Numerik (Modul 6: Metode Regula-Falsi untuk Solusi PANLT (Persamaan Aljabar Non-Linier Tunggal) (6/6)
C Program: Solusi Persamaan Aljabar Non-Linier Tunggal (PANLT)
C dengan Metode 'REGULA-FALSI'
C VARIAN: Program dengan Subroutine
C -------------------------------------------------------------
implicit none
external f
REAL*8 eps,f,x,x0,x1
INTEGER flag,iter,maxiter
WRITE(*,'(A,$)') 'Harga-harga awal x0, x1 : '
READ(*,*) x0,x1
WRITE(*,'(A,$)') 'Jumlah iterasi maksimum : '
READ(*,*) maxiter
WRITE(*,'(A,$)') 'Epsilon/kriteria proses : '
READ(*,*) eps
CALL REGFAL(f,x0,x1,x,eps,iter,maxiter,flag)
WRITE(*,*) 'x0 = ',x0
WRITE(*,*) 'x1 = ',x1
WRITE(*,*) 'x = ',x
WRITE(*,*) 'xold = ',x
WRITE(*,*) 'f(x) = ',f(x)
WRITE(*,*) 'Flag = ',flag
WRITE(*,*) 'Jumlah iterasi = ',iter
STOP
END
FUNCTION f(x)
REAL*8 f,x
f = x - exp(1.0D0/x)
RETURN
END
SUBROUTINE REGFAL(ff,x0,x1,x,eps,itnum,itmax,prflag)
C --------------------------------------------------------
C Sub-program: Solusi PANLT dengan metode REGULA-FALSI |
C sebagai perbaikan dari metode BISECTION |
C ff : fungsi f(x) = 0 yang akan dicari akarnya |
C x0 : nilai x-awal di sebelah kiri akar f(x) |
C x1 : nilai x-awal di sebelah kanan akar f(x) |
C x : akar f(x), nilai paruh (antara x0 dan x1) |
C eps : kriteria atau ketelitian penghitungan |
C itnum : jumlah iterasi yang dilakukan proses |
C itmax : jumlah pembatas iterasi untuk proses |
C prflag : identifikasi untuk konvergensi, yaitu: |
C 0 = proses sedang/akan berlangsung |
C 1 = proses mencapai konvergensinya |
C 2 = itmax telah terlampaui |
C --------------------------------------------------------
REAL*8 eps,ff,x,xold,x0,x1
INTEGER prflag,itnum,itmax

7. Seri Kuliah Metode Numerik (Modul 6: Metode Regula-Falsi untuk Solusi PANLT (Persamaan Aljabar Non-Linier Tunggal) (7/7)
itnum = 0
prflag = 0
xold = 2*x1 - x0
DO WHILE(prflag .EQ. 0)
x = x1 - (x1 - x0)/(ff(x1) - ff(x0))*ff(x1)
itnum = itnum + 1
IF ((ff(x1)*ff(x)) .LE. 0.0D0) THEN
x0 = x
ELSE
x1 = x
ENDIF
IF (ABS(x - xold) .LE. eps) THEN
prflag = 1
ELSEIF (itnum .GT. itmax) THEN
prflag = 2
ELSE
xold = x
ENDIF
ENDDO
RETURN
END
Gambar 6.4. Listing program dengan subroutine.
Tugas:
Cari akar (akar-akar) dari persamaan: )ln()( xexf x
⋅= −
!
E. Pustaka yang bersesuaian
Atkinson, Kendal E., “An Introduction to Numerical Analysis”,
John Wiley & Sons, Toronto, pp. 44-48, 1978.
Atkinson, L.V., Harley, P.J., “An Introduction to Numerical
Methods with Pascal”, Addison-Wesley Publishing Co., Tokyo,
pp. 49-51, 1983.
Bismo, Setijo, “Modul Kuliah Metode Numerik”, TGP-FTUI, 1999.