Ada banyak cara untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linear diantaranya dengan menggunakan metode langsung, misalnya Gauss dan variasi-variasinya dan metode iterasi, diantaranya Jacobi dan Gauss-Seidel. Metode iterasi Gauss-Seidel merupakan proses rekursi berulang untuk mendekati bilangan tidak diketahui. Sebagai titik awal pada proses rekursi tersebut diperlukan nilai awal dan biasanya X = 0. Pada proses selanjutnya nilai yang sudah diketahui tahap sebelumnya dipergunakan untuk mencari nilai pada tahap berikutnya. Proses tersebut terus berulang hingga diperoleh nilai yang sesungguhnya atau berhenti jika toleransi kesalahan tertentu telah dicapai.
APG Pertemuan 7 : Manova and Repeated MeasuresRani Nooraeni
Dokumen tersebut membahas tentang desain pengukuran berulang untuk membandingkan beberapa perlakuan. Secara singkat, dokumen menjelaskan bahwa MANOVA digunakan untuk menguji apakah vektor rata-rata populasi sama atau berbeda, kemudian memberikan contoh soal untuk memperjelas penerapannya.
Metode iterasi Jacobi dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan menghitung nilai variabel secara berulang hingga mencapai toleransi kesalahan yang diinginkan. Algoritma Jacobi menghitung nilai baru variabel berdasarkan nilai lama variabel lainnya. Analisis galat dilakukan dengan membandingkan nilai baru dan lama setiap variabel. Kasus sistem persamaan linear 3 variabel ditunjukkan dapat dise
APG Pertemuan 7 : Manova and Repeated MeasuresRani Nooraeni
Dokumen tersebut membahas tentang desain pengukuran berulang untuk membandingkan beberapa perlakuan. Secara singkat, dokumen menjelaskan bahwa MANOVA digunakan untuk menguji apakah vektor rata-rata populasi sama atau berbeda, kemudian memberikan contoh soal untuk memperjelas penerapannya.
Metode iterasi Jacobi dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan menghitung nilai variabel secara berulang hingga mencapai toleransi kesalahan yang diinginkan. Algoritma Jacobi menghitung nilai baru variabel berdasarkan nilai lama variabel lainnya. Analisis galat dilakukan dengan membandingkan nilai baru dan lama setiap variabel. Kasus sistem persamaan linear 3 variabel ditunjukkan dapat dise
Dokumen tersebut membahas analisis regresi untuk mempelajari hubungan antara variabel bebas dan variabel terikat berdasarkan data-data yang diberikan. Dijelaskan cara menentukan persamaan regresi linier untuk memprediksi nilai variabel terikat berdasarkan nilai variabel bebas. Contoh penerapannya yaitu menentukan hubungan antara skor inteligensi dan nilai mata pelajaran berdasarkan data 12 mahasiswa.
APG Pertemuan 4 : Multivariate Normal Distribution (2)Rani Nooraeni
Data ramus bone tersebut tidak mengandung outlier berdasarkan analisis standarisasi dan jarak kuadrat. Semua nilai zjk dan dj2 berada dalam kisaran yang diizinkan untuk distribusi normal multivariate.
APG Pertemuan 5 : Inferensia Satu Vektor Rata-rataRani Nooraeni
Dokumen tersebut membahas tentang inferensi statistik untuk vektor rata-rata dengan asumsi normal dan varian-kovarian diketahui atau tidak diketahui. Terdapat penjelasan mengenai hipotesis statistik, asumsi, statistik uji, dan interval kepercayaan untuk kasus univariat dan multivariat. Diberikan juga contoh soal dan latihan soal untuk menerapkan konsep tersebut.
APG Pertemuan 3 : Sample Geometry and Random Sampling (1)Rani Nooraeni
Dokumen tersebut membahas tentang sample geometry dan random sampling. Secara ringkas, dokumen menjelaskan tentang diagram p-dimensi dan n-dimensi untuk mewakili data sampel, serta menghitung nilai rata-rata vektor dan dekomposisi vektor menjadi komponen rata-rata dan deviasi. Dokumen juga membahas mengenai nilai ekspektasi dari sample mean dan covarians matriks, serta generalized variance untuk mewakili variasi data pada lebih d
APG Pertemuan 5 : Inferences about a Mean Vector and Comparison of Several Mu...Rani Nooraeni
Dokumen tersebut membahas tentang inferensi statistika multivariat yang meliputi tiga kalimat utama:
1. Membandingkan rata-rata beberapa populasi menggunakan statistik uji Hotelling's T2 yang berdistribusi F.
2. Membuat wilayah kepercayaan untuk vektor rata-rata dan matriks varians-kovarians menggunakan ukuran sampel dan nilai kritis F.
3. Melakukan perbandingan banyak rata-rata menggunakan met
APG Pertemuan 6 : Inferensia Dua Faktor Rata-rataRani Nooraeni
Dokumen tersebut membahas perbandingan vektor rata-rata dari dua populasi independen dan dua populasi tergantung. Secara ringkas, dokumen menjelaskan cara menguji hipotesis perbedaan rata-rata antar dua populasi, wilayah kepercayaan, dan selang kepercayaan hasil uji statistik. Contoh kasus diberikan untuk membandingkan hasil analisis kimia dari dua laboratorium berbeda.
Makalah ini membahas perumuman Teorema Stokes di R4. Teorema Stokes menghubungkan integral garis batas suatu daerah dengan integral luas daerah tersebut. Makalah ini menggunakan parameterisasi dan teorema Green di bidang untuk memperluas Teorema Stokes ke R4, dengan menghubungkan integral garis batas benda berdimensi dua di R4 dengan integral volume benda tersebut.
Skripsi ini membahas solusi sistem persamaan diferensial linear tak homogen dengan metode koefisien tak tentu. Metode ini digunakan untuk menentukan solusi khusus dari sistem persamaan diferensial tak homogen dengan menentukan fungsi pemisalan yang sesuai dengan bentuk fungsi tak homogen, lalu menghitung koefisiennya. Langkah-langkahnya adalah menuliskan sistem dalam bentuk matriks, mencari solusi homogen, memilih fungsi pemisalan sesuai bentuk
Dokumen tersebut membahas metode posisi palsu untuk menyelesaikan persamaan non-linear. Metode ini mempercepat konvergensi dari metode bagi dua dengan menentukan titik potong garis lurus antara dua titik awal yang memiliki nilai fungsi berlawanan tanda. Langkah-langkahnya meliputi penentuan nilai awal x1 dan x2, kalkulasi x3 berdasarkan rumus, dan penentuan subinterval baru berdasarkan tanda nilai fungsi x1 dan
Jawaban latihan soal bagian 2.1 pada buku Analisis Real karangan Drs. Sutrima, M.SI
cetakan : pertama, Juni 2010
penerbit : Javatechno Publisher (Jln. Ahmad Yani 365A, Kartasura, Sukoharjo, Jawa Tengah, Indonesia - 57162
Sistem persamaan nonlinear dapat diselesaikan dengan metode Newton-Raphson dan metode Jacobian. Metode Newton-Raphson melibatkan turunan pertama dan kedua, sementara metode Jacobian menggunakan persamaan simultan. Perbandingan kedua metode menunjukkan bahwa metode Jacobian lebih dekat dengan nilai pasti meskipun membutuhkan lebih banyak iterasi. Dalam kasus ini, metode Newton-Raphson lebih cepat mencapai hasil meskipun metode Jacobian memberikan has
Dokumen tersebut membahas analisis regresi untuk mempelajari hubungan antara variabel bebas dan variabel terikat berdasarkan data-data yang diberikan. Dijelaskan cara menentukan persamaan regresi linier untuk memprediksi nilai variabel terikat berdasarkan nilai variabel bebas. Contoh penerapannya yaitu menentukan hubungan antara skor inteligensi dan nilai mata pelajaran berdasarkan data 12 mahasiswa.
APG Pertemuan 4 : Multivariate Normal Distribution (2)Rani Nooraeni
Data ramus bone tersebut tidak mengandung outlier berdasarkan analisis standarisasi dan jarak kuadrat. Semua nilai zjk dan dj2 berada dalam kisaran yang diizinkan untuk distribusi normal multivariate.
APG Pertemuan 5 : Inferensia Satu Vektor Rata-rataRani Nooraeni
Dokumen tersebut membahas tentang inferensi statistik untuk vektor rata-rata dengan asumsi normal dan varian-kovarian diketahui atau tidak diketahui. Terdapat penjelasan mengenai hipotesis statistik, asumsi, statistik uji, dan interval kepercayaan untuk kasus univariat dan multivariat. Diberikan juga contoh soal dan latihan soal untuk menerapkan konsep tersebut.
APG Pertemuan 3 : Sample Geometry and Random Sampling (1)Rani Nooraeni
Dokumen tersebut membahas tentang sample geometry dan random sampling. Secara ringkas, dokumen menjelaskan tentang diagram p-dimensi dan n-dimensi untuk mewakili data sampel, serta menghitung nilai rata-rata vektor dan dekomposisi vektor menjadi komponen rata-rata dan deviasi. Dokumen juga membahas mengenai nilai ekspektasi dari sample mean dan covarians matriks, serta generalized variance untuk mewakili variasi data pada lebih d
APG Pertemuan 5 : Inferences about a Mean Vector and Comparison of Several Mu...Rani Nooraeni
Dokumen tersebut membahas tentang inferensi statistika multivariat yang meliputi tiga kalimat utama:
1. Membandingkan rata-rata beberapa populasi menggunakan statistik uji Hotelling's T2 yang berdistribusi F.
2. Membuat wilayah kepercayaan untuk vektor rata-rata dan matriks varians-kovarians menggunakan ukuran sampel dan nilai kritis F.
3. Melakukan perbandingan banyak rata-rata menggunakan met
APG Pertemuan 6 : Inferensia Dua Faktor Rata-rataRani Nooraeni
Dokumen tersebut membahas perbandingan vektor rata-rata dari dua populasi independen dan dua populasi tergantung. Secara ringkas, dokumen menjelaskan cara menguji hipotesis perbedaan rata-rata antar dua populasi, wilayah kepercayaan, dan selang kepercayaan hasil uji statistik. Contoh kasus diberikan untuk membandingkan hasil analisis kimia dari dua laboratorium berbeda.
Makalah ini membahas perumuman Teorema Stokes di R4. Teorema Stokes menghubungkan integral garis batas suatu daerah dengan integral luas daerah tersebut. Makalah ini menggunakan parameterisasi dan teorema Green di bidang untuk memperluas Teorema Stokes ke R4, dengan menghubungkan integral garis batas benda berdimensi dua di R4 dengan integral volume benda tersebut.
Skripsi ini membahas solusi sistem persamaan diferensial linear tak homogen dengan metode koefisien tak tentu. Metode ini digunakan untuk menentukan solusi khusus dari sistem persamaan diferensial tak homogen dengan menentukan fungsi pemisalan yang sesuai dengan bentuk fungsi tak homogen, lalu menghitung koefisiennya. Langkah-langkahnya adalah menuliskan sistem dalam bentuk matriks, mencari solusi homogen, memilih fungsi pemisalan sesuai bentuk
Dokumen tersebut membahas metode posisi palsu untuk menyelesaikan persamaan non-linear. Metode ini mempercepat konvergensi dari metode bagi dua dengan menentukan titik potong garis lurus antara dua titik awal yang memiliki nilai fungsi berlawanan tanda. Langkah-langkahnya meliputi penentuan nilai awal x1 dan x2, kalkulasi x3 berdasarkan rumus, dan penentuan subinterval baru berdasarkan tanda nilai fungsi x1 dan
Jawaban latihan soal bagian 2.1 pada buku Analisis Real karangan Drs. Sutrima, M.SI
cetakan : pertama, Juni 2010
penerbit : Javatechno Publisher (Jln. Ahmad Yani 365A, Kartasura, Sukoharjo, Jawa Tengah, Indonesia - 57162
Sistem persamaan nonlinear dapat diselesaikan dengan metode Newton-Raphson dan metode Jacobian. Metode Newton-Raphson melibatkan turunan pertama dan kedua, sementara metode Jacobian menggunakan persamaan simultan. Perbandingan kedua metode menunjukkan bahwa metode Jacobian lebih dekat dengan nilai pasti meskipun membutuhkan lebih banyak iterasi. Dalam kasus ini, metode Newton-Raphson lebih cepat mencapai hasil meskipun metode Jacobian memberikan has
Dokumen tersebut membahas tentang metode numerik sebagai algoritma komputasi untuk menyelesaikan masalah matematika yang sulit diselesaikan secara analitis. Metode numerik menggunakan pendekatan iteratif untuk memperoleh hasil yang mendekati nilai sebenarnya. Dokumen ini juga membahas bilangan bulat, pecahan, akurasi, presisi, dan jenis kesalahan dalam metode numerik."
Metode Eliminasi Gauss Jordan digunakan untuk menyelesaikan persamaan linier simultan dengan mengubah augmented matrix menjadi matrix diagonal. Algoritmanya meliputi membuat augmented matrix, membuat unsur diagonal menjadi satu, dan menghitung nilai x dengan menggerakan baris ke atas. Penukaran baris matrix dapat mempengaruhi hasil akhir penyelesaian persamaan.
Artikel ini membahas metode iterasi Jacobi untuk menyelesaikan sistem persamaan linier (SPL). Metode iterasi Jacobi adalah metode numerik yang menghasilkan serangkaian vektor yang konvergen ke penyelesaian SPL melalui proses iterasi berulang. Artikel ini menjelaskan algoritma dan contoh penerapan metode iterasi Jacobi menggunakan MATLAB untuk menyelesaikan SPL.
Metode iterasi Jacobi merupakan salah satu metode numerik untuk menyelesaikan persamaan linear dengan cara melakukan perhitungan iteratif hingga mendapatkan solusi yang konvergen. Metode ini digunakan untuk sistem persamaan linear berukuran besar dengan proporsi koefisien nol yang besar, dengan langkah penyelesaian sederhana meskipun proses iterasinya lambat.
Dokumen tersebut membahas berbagai metode untuk menemukan akar persamaan, termasuk metode grafik, metode bagi dua, metode posisi palsu, metode carian inkremental, metode iterasi satu titik sederhana, metode Newton Raphson, dan metode Secant. Metode-metode tersebut menggunakan berbagai algoritma untuk memperkirakan nilai x yang membuat nilai fungsi f(x) sama dengan nol.
Dokumen tersebut membahas penggunaan metode numerik, khususnya metode iteratif Newton-Raphson, untuk menentukan akar-akar persamaan yang rumit. Metode ini melibatkan pendekatan awal dan perulangan perhitungan untuk mencapai ketepatan yang diinginkan. Contoh penerapannya adalah menentukan akar persamaan e-x – x dan 4 + 5x2 – x3 = 0.
Dokumen tersebut membahas tentang sistem persamaan linear dua variabel, termasuk bentuk umum sistem persamaan tersebut dan beberapa metode penyelesaiannya seperti metode grafik, substitusi, eliminasi, dan eliminasi substitusi.
Dokumen tersebut memberikan penjelasan mengenai konsep-konsep matematika dasar seperti nilai mutlak, persamaan dan pertidaksamaan satu variabel, sistem persamaan linear dua dan tiga variabel beserta contoh soal dan penyelesaiannya.
Laporan Pembina Pramuka SD dalam format doc dapat anda jadikan sebagai rujukan dalam membuat laporan. silakan download di sini https://unduhperangkatku.com/contoh-laporan-kegiatan-pramuka-format-word/
Modul Ajar Matematika Kelas 11 Fase F Kurikulum MerdekaFathan Emran
Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka - abdiera.com. Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka.
Workshop "CSR & Community Development (ISO 26000)"_di BALI, 26-28 Juni 2024Kanaidi ken
Dlm wktu dekat, Pelatihan/WORKSHOP ”CSR/TJSL & Community Development (ISO 26000)” akn diselenggarakan di Swiss-BelHotel – BALI (26-28 Juni 2024)...
Dgn materi yg mupuni & Narasumber yg kompeten...akn banyak manfaat dan keuntungan yg didpt mengikuti Pelatihan menarik ini.
Boleh jga info ini👆 utk dishare_kan lgi kpda tmn2 lain/sanak keluarga yg sekiranya membutuhkan training tsb.
Smga Bermanfaat
Thanks Ken Kanaidi
Materi ini membahas tentang defenisi dan Usia Anak di Indonesia serta hubungannya dengan risiko terpapar kekerasan. Dalam modul ini, akan diuraikan berbagai bentuk kekerasan yang dapat dialami anak-anak, seperti kekerasan fisik, emosional, seksual, dan penelantaran.
Universitas Negeri Jakarta banyak melahirkan tokoh pendidikan yang memiliki pengaruh didunia pendidikan. Beberapa diantaranya ada didalam file presentasi
Teori Fungsionalisme Kulturalisasi Talcott Parsons (Dosen Pengampu : Khoirin ...nasrudienaulia
Dalam teori fungsionalisme kulturalisasi Talcott Parsons, konsep struktur sosial sangat erat hubungannya dengan kulturalisasi. Struktur sosial merujuk pada pola-pola hubungan sosial yang terorganisir dalam masyarakat, termasuk hierarki, peran, dan institusi yang mengatur interaksi antara individu. Hubungan antara konsep struktur sosial dan kulturalisasi dapat dijelaskan sebagai berikut:
1. Pola Interaksi Sosial: Struktur sosial menentukan pola interaksi sosial antara individu dalam masyarakat. Pola-pola ini dipengaruhi oleh norma-norma budaya yang diinternalisasi oleh anggota masyarakat melalui proses sosialisasi. Dengan demikian, struktur sosial dan kulturalisasi saling memengaruhi dalam membentuk cara individu berinteraksi dan berperilaku.
2. Distribusi Kekuasaan dan Otoritas: Struktur sosial menentukan distribusi kekuasaan dan otoritas dalam masyarakat. Nilai-nilai budaya yang dianut oleh masyarakat juga memengaruhi bagaimana kekuasaan dan otoritas didistribusikan dalam struktur sosial. Kulturalisasi memainkan peran dalam melegitimasi sistem kekuasaan yang ada melalui nilai-nilai yang dianut oleh masyarakat.
3. Fungsi Sosial: Struktur sosial dan kulturalisasi saling terkait dalam menjalankan fungsi-fungsi sosial dalam masyarakat. Nilai-nilai budaya dan norma-norma yang terinternalisasi membentuk dasar bagi pelaksanaan fungsi-fungsi sosial yang diperlukan untuk menjaga keseimbangan dan stabilitas dalam masyarakat.
Dengan demikian, konsep struktur sosial dalam teori fungsionalisme kulturalisasi Parsons tidak dapat dipisahkan dari kulturalisasi karena keduanya saling berinteraksi dan saling memengaruhi dalam membentuk pola-pola hubungan sosial, distribusi kekuasaan, dan pelaksanaan fungsi-fungsi sosial dalam masyarakat.
KKTP Kurikulum Merdeka sebagai Panduan dalam kurikulum merdeka
Laporan alpro
1. PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR METODE ITERASI
GAUSS SEIDEL DENGAN MATLAB
KELOMPOK 2
ANGGOTA :
1. YOHANA KEVISA EVALIANI H1071151015
2. ZULIYA EKA FITRIANA H1071151028
3. DESI INDAH PURNAMA H1071151037
4. SALAWATI H1071151040
LABORATORIUM FISIKA KOMPUTASI
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS TANJUNGPURA
PONTIANAK
2017
2. Ekstraksi
Yohana Kevisa Evaliani*1, Zuliya Eka Fitriana*,Desi Indah Purnama*,Salawati*
*Mahasiswa Program Studi S1 Geofisika Fakultas Matematika Dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Tanjungpura Pontianak Jalan Prof. Dr. Hadari
Nawawi, Pontianak, Indonesia
1yohanakevisa@student.untan.ac.id
ABSTRAK
Ada banyak cara untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linear diantaranya dengan
menggunakan metode langsung, misalnya Gauss dan variasi-variasinya dan metode iterasi,
diantaranya Jacobi dan Gauss-Seidel. Metode iterasi Gauss-Seidel merupakan proses rekursi
berulang untuk mendekati bilangan tidak diketahui. Sebagai titik awal pada proses rekursi
tersebut diperlukan nilai awal dan biasanya X = 0. Pada proses selanjutnya nilai yang sudah
diketahui tahap sebelumnya dipergunakan untuk mencari nilai pada tahap berikutnya. Proses
tersebut terus berulang hingga diperoleh nilai yang sesungguhnya atau berhenti jika toleransi
kesalahan tertentu telah dicapai.
Kata kunci : Sistem persamaan Linear, Metode Gauss-Seidel
A. PENDAHULUAN
1. Latar Belakang Masalah
Sistem persamaan linear yang terdiri
dari n persamaan dengan n variabel
𝑥1, 𝑥2,….𝑥 𝑛 (Anton, 2007:24), dinyatakan
dengan
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 +..........+ 𝑎1𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏1
𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 +..........+ 𝑎2𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏2
……..+………+……...+…….. =…
𝑎 𝑛1 𝑥1 + 𝑎 𝑛2 𝑥2 +..........+ 𝑎 𝑛𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏 𝑛
Sistem persamaan linear dapat
diselesaikan dengan metode langsung yaitu
diantaranya metode eliminasi Gauss, metode
eliminasi Gauss Jordan atau metode iterasi.
Metode iterasi lebih cocok digunakan dalam
kasus tertentu, yaitu sistem yang besar.
Metode iterasi menggunakan algoritma
secara rekursi dalam menentukan
penyelesaian sistem persamaan linear.
Algoritma tersebut dilakukan sampai
diperoleh suatu nilai konvergen dengan
toleransi yang diberikan atau sesuai dengan
3. batas galat yang kita perbolehkan, dengan
kata lain besar galat dapat dikendalikan
sampai batas yang bias diterima (Munir,
2010:173). Ada dua metode iterasi yang
sering digunakan, yaitu metode Jacobi dan
metode Gauss-Seidel.
Seperti halnya metode iterasi Jacobi,
metode iterasi Gauss-Seidel juga merupakan
proses rekursi berulang untuk mendekati
bilangan yang tidak diketahui (x). Sebagai
titik awal pada proses rekursi tersebut
diperlukan nilai awal dan biasanya adalah
x=0. Pada proses selanjutnya nilai yang
sudah diketahui tahap sebelumnya (X(1))
dipergunakan untuk mencari nilai pada
tahap berikutnya (X(2)). Proses tersebut
terus berulang hingga diperoleh nilai X yang
sesungguhnya atau berhenti jika toleransi
kesalahan tertentu telah dicapai.(Ruminta,
2009:311).
2. Perumusan Masalah
Berdasarkan uarian di atas,
permasahan yang dibahas adalah
bagaimana penurunan
algoritma metode Gauss-
Seidel ?
bagaimana menganalisis
error secara numerik metode
Gauss-Seidel ?
bagaimana penerapan
metode Gauss-Seidel pada
suatu kasus ?
3. Tujuan
Tujuan makalah ini adalah
menjelaskan tentang
penurunan algoritma metode
Gauss-Seidel.
menjelaskan bagaimana
menganalisis error secara
numerik metode Gauss-
Seidel.
menjelaskan tentang
penerapan metode Gauss-
Seidel pada suatu kasus.
B. PEMBAHASAN
1. Penurunan Algoritma Metode
Gauss-Seidel
Kita bahas sistem persamaan linear
(Anton, 2007:24) :
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 +..........+ 𝑎1𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏1
𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 +..........+ 𝑎2𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏2
……..+………+……...+…….. =…
𝑎 𝑛1 𝑥1 + 𝑎 𝑛2 𝑥2 +..........+ 𝑎 𝑛𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏 𝑛
Persamaan ke-i dari persamaan di
atas adalah 𝑎𝑖1 𝑥1 + 𝑎𝑖2 𝑥2 + 𝑎𝑖𝑖 𝑥 𝑖 +…….+
𝑎𝑖𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏𝑖
dimana i = 1,2,3,….,n.
4. dapat diekspresikan sebagai
𝒂𝒊𝒊 𝒙𝒊+ ∑ 𝒂𝒊𝒋 𝒙𝒋
𝒏
𝒋=𝟏,𝒋≠𝒊 = 𝒃𝒊 dengan i
= 1,2,3,………n
Karena dalam metode Gauss-Seidel,
nilai estimasi baru digunakan dalam
perhitungan maka penyelesaian persamaan
ke-i diekspresikan sebagai
𝒙𝒊 =
𝟏
𝒂 𝒊𝒊
[𝒃𝒊 – ∑ 𝒂𝒊𝒋 𝒙𝒋
𝒊−𝟏
𝒋=𝟏 –
∑ 𝒂𝒊𝒋 𝒙𝒋
𝒏
𝒋=𝒊+𝟏 ]
Dengan demikian, algoritma metode Gauss-
Seidel diekspresikan sebagai
𝒙𝒊
(𝒌−𝟏)
=
𝟏
𝒂 𝒊𝒊
[𝒃𝒊 – ∑ 𝒂𝒊𝒋
𝒊−𝟏
𝒋=𝟏 𝒙𝒋
(𝒌−𝟏)
–
∑ 𝒂𝒊𝒋 𝒙𝒋
(𝒌)𝒏
𝒋=𝒊+𝟏 ], k= 1,2,3,…..n
Untuk menyelesaikan sistem
persamaan linear dengan metode Gauss-
Seidel diperlukan suatu nilai pendekatan
awal yaitu 𝑥0. biasanya tidak diketahui dan
dipilih 𝑥0=0
2. Analisis Error Pada Metode
Gauss-Seidel
Menurut May (dalam Nugroho,
2003:3) untuk menyelesaikan persamaan
linear dengan metode iterasi, koefisien
matriks A dipecah menjadi dua bagian, N
dan P, sedemikian hingga A=N − P.
Diperoleh bahwa N (x - 𝑥(𝑘−1)
) = P ( x −
𝑥 𝑘
) atau (x − 𝑥(𝑘−1)
= M (𝑥 − 𝑥 𝑘
) dengan
M = 𝑁−1
P.
Perhatikan bahwa :
𝒂𝒊𝒊 𝒙𝒊
(𝒌−𝟏)
=−[ ∑ 𝒂𝒊𝒋 𝒙𝒋
(𝒌)𝒏
𝒋=𝟏,𝒋≠𝒊 ] + 𝒃𝒊
Sehingga diperoleh :
N = diag (𝑎11 𝑎22,………..𝑎 𝑛𝑛) =
[
𝑎11 0 0
0 𝑎22 0
0 0 𝑎 𝑛𝑛
]
P = [
0 −𝑎12 −𝑎1𝑛
−𝑎21 0 −𝑎2𝑛
−𝑎 𝑛1 −𝑎 𝑛2 0
]
Karena M = 𝑁−1
P maka :
M =
[
1
𝑎11
0 0
0
1
𝑎22
0
0 0
1
𝑎 𝑛𝑛 ]
x
[
0 −𝑎12 −𝑎1𝑛
−𝑎21 0 −𝑎2𝑛
−𝑎 𝑛1 −𝑎 𝑛2 0
]
M =
[
0 −
𝑎12
𝑎11
−
𝑎1𝑛
𝑎11
−
𝑎21
𝑎22
0 −
𝑎2𝑛
𝑎22
−
𝑎 𝑛1
𝑎 𝑛𝑛
−
𝑎 𝑛2
𝑎 𝑛𝑛
0 ]
Dengan demikian, dapat diperoleh
∥ 𝑀 ∥∞ = 1≤𝑗≤𝑛
𝑚𝑎𝑥 ∑ |
𝑎 𝑖𝑗
𝑎 𝑖𝑖
|𝑛
𝑗=1,𝑗≠𝑖
5. Oleh karena itu, syarat cukup agar metode
Gauss-Seidel konvergen adalah :
∑ |
𝒂𝒊𝒋
𝒂𝒊𝒊
|
𝒏
𝒋=𝟏,𝒋≠𝟏
< 1 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝒂𝒊𝒊 > ∑ |𝒂𝒊𝒋|
𝒏
𝒋=𝟏,𝒋≠𝟏
, 𝒊
= 𝟏, 𝟐, 𝟑 …… 𝒏
Dengan demikian metode Gauss-Seidel akan
konvergen jika koefisien matriks dominan
secara diagonal. Dalam hal ini, perlu dicatat
bahwa menyusun ulang persamaan akan
membuat koefisien matriks dominan secara
diagonal. Iterasi Gauss-Seidel dapat
dihentikan jika toleransi kesalahan tertentu
telah tercapai
|
𝒙 𝒌+𝟏 − 𝒙 𝒌
𝒙 𝒌+𝟏
| x 100 < 𝜺
3. Penerapan Metode Gauss-Seidel
Dalam Kasus
Diberikan sistem persamaan linear
yaitu:
10 𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 = 6
−𝑥1 + 11 𝑥2 − 𝑥3 + 3𝑥4 = 25
2𝑥1 − 𝑥2+10𝑥3 − 𝑥4 = −11
3𝑥2 − 𝑥3 + 8𝑥4 = 15
Persamaan diatas ditulis lagi :
𝑥1
(𝑘)
=
1
10
𝑥2
(𝑘−1)
−
2
10
𝑥3
( 𝑘−1)
+
6
10
𝑥2
(𝑘)
=
1
11
𝑥1
(𝑘)
+
1
11
𝑥3
(𝑘−1)
−
3
11
𝑥4
(𝑘−1)
+
25
11
𝑥3
(𝑘)
= −
2
10
𝑥1
(𝑘)
+
1
10
𝑥2
(𝑘−1)
+
1
10
𝑥4
(𝑘−1)
−
11
10
𝑥4
(𝑘)
= −
3
8
𝑥2
(𝑘)
+
1
8
𝑥3
(𝑘)
+
15
8
Diperoleh Hasil :
𝑘 0 1 2 3 4 5
𝑥1
( 𝑘) 0,00000 0,6000 1,030 1,0065 1,009 1,0001
𝑥2
(𝑘) 0,00000 2,3272 2,037 2,0036 2,0003 2,0000
𝑥3
(𝑘) 0,00000 -0,9873 -1,014 -1,0025 -1,0003 -1,0000
𝑥4
(𝑘) 0,0000 0,8789 0,9844 0,9983 0,9999 1,0000
6. C. PENUTUP
Kesimpulan
Berdasarkan penurunan algoritma
dan penerapan dalam kasus di atas, dapat
diperoleh kesimpulan sebagai berikut.
o Algoritma metode Gauss-Seidel
adalah
𝒙𝒊
(𝒌+𝟏)
=
𝟏
𝒂 𝒊𝒊
[𝒃𝒊 – ∑ 𝒂𝒊𝒋
𝒊−𝟏
𝒋=𝟏 𝒙𝒋
(𝒌+𝟏)
–
∑ 𝒂𝒊𝒋 𝒙𝒋
(𝒌)𝒏
𝒋=𝒊+𝟏 ]
Dimana k = 0, 1, 2, …., dengan nilai
pendekatan awal biasanya diambil X(0) = 0.
o Suatu kasus sistem persamaan linear
akan mendapatkan penyelesaian
yang konvergen jika memenuhi
syarat yaitu
∑ |
𝒂𝒊𝒋
𝒂𝒊𝒊
|
𝒏
𝒋=𝟏,𝒋≠𝟏
< 1 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝒂𝒊𝒊
> ∑ |𝒂𝒊𝒋|
𝒏
𝒋=𝟏,𝒋≠𝟏
, 𝒊
= 𝟏, 𝟐, 𝟑 …… 𝒏
DAFTAR PUSTAKA
Munir, Renaldi. 2008. metode numerik. Bandung: Informatika
Ruminta. 2009. matrik persamaan linier dan pemrograman linier. Bandung: Rekayasa Sains
Luknanto, Djoko. 2001. metoda numerik. Yogyakarta: UGM
Anton, Howard. 2003. dasar-dasar aljabar linier. Tanggerang: Binarup Aksara Publisher
Nugroho, Susilo. 2003. penyelesaian sistem persamaan linier dengan metode iterasi. Jurnal
matematika
7. Lampiran
1. Script Matlab
clear all
clc
disp('Metode Gauss Seidel')
disp('___________________')
disp('----------nilai awal----------')
xlama=zeros(4,1)%matrik data lama
n=4 %jumlah elemen vektor
itermaks=10 %jumlah iterasi
maksimal
sc=0.001 %stopping-criteria
for i=1:itermaks
%------nilai update-------------
xbaru(1,1)=(1/10)*xlama(2,1)-
(2/10)*xlama(3,1)+(6/10)
xbaru(2,1)=(1/11)*xbaru(1,1)+(1/11)
*xlama(3,1)-
(3/11)*xlama(4,1)+(25/11)
xbaru(3,1)=-
(2/10)*xbaru(1,1)+(1/10)*xbaru(2,1)
+(1/10)*xlama(4,1)-(11/10)
xbaru(4,1)=-
(3/8)*xbaru(2,1)+(1/8)*xbaru(3,1)+(
15/8)
xbaru
%------norm selisih-------------
s=0;
for i=1:n
s=s+(xbaru(i,1)-xlama(i,1))^2;
end
epsilon=sqrt(s)
%------memeriksa stopping criteria,
sc--------
if epsilon<sc
break
end
xlama=xbaru; %xbaru dijadikan
xlama untuk iterasi berikutnya
end
2. Variabel yang digunakan
Break = keluar dari suatu loop
Epsilon = bilangan yang sangat kecil
mendekati nol (0) yang merupakan
batas akurasi perhitungan
Length = untuk mengetahui ukuran
atau dimensi dari matriks
Norm = fungsi distribusi normal
gaussian
Operasi (:) = sampai dengan
Operasi(;) = perhitungan tanpa
menampilkan hasil
Operasi (‘) = operasi transposisi
untuk matriks berisi bilangan rill
atau transposisi dan konjugasi untuk
matriks kompleks
Operasi (*)= perkalian
Operasi(/)= pembagian
Operasi (+) = penjumlahan
Operasi (-)= pengurangan dan tanda
negatif
Zeros = membuat matriks atau
vektor nol
Sc = batas perhentian
8. 3. Flow Chart MULAI
INPUT MATRIKS
INPUT VEKTOR
TENTUKAN DIMENSI
VEKTOR
𝟏
𝒂 𝒊𝒊
[𝒃𝒊 – ∑ 𝒂𝒊𝒋 𝒙𝒋
𝒊−𝟏
𝒋=𝟏 – ∑ 𝒂𝒊𝒋 𝒙𝒋
𝒏
𝒋=𝒊+𝟏 ]
FOR i = 1:n
BERHENTI
s=s+(xbaru(i,1)-xlama(i,1))^2;
epsilon=sqrt(s)
FOR i=1:ITERMAKS
xlama=xbaru
If epsilon<sc
BREAK