中華民國高中物理教材 高三選修物理-99課綱

1. 阿 Samn 的物理課本 http://mysecretpark.blogspot.tw/
6 靜電學 Electrostatics
靜電學 ELECTROSTATICS
高中物理
2020/7/29
版權說明：
 部分圖片來自各版本教科書或網
路，版權仍屬原創者所有
 講義內容採用創用授權，不得商
業化(印給學生工本費除外)
本章學甚麼?
生活周遭與電有關的裝置多半根據物理學的電磁學理
論所製造，比如電腦、電磁爐等。然而大自然比人類更
早就開始應用電磁學，比方說閃電，又為什麼靠近地面
的閃電會往地表，在高空的時候則是往上（紅色精靈）
因此本章是進入電磁學的第一章，討論的內容是屬於
「靜」的電，重點在於庫侖定律、電場強度、電位、電
位差、電位能等等。藉由基本理論的學習，讓我們可以
更瞭解自然，並學習應用。
兩個金屬球是因為什麼原因產生類似閃電的電弧？本章將給予解答

2. 6-2 靜電學 Electrostatics
REVIEW AND SUMMARY

3. 6-3
6.1 電荷與電量
學習目標
閱讀完這節，你應該能夠…
1. 區分物質的電中性、負電、正電，並能夠找出額外
電荷數量。
2. 區分導體、絕緣體、半導體、超導體
3. 解釋如何讓導體藉由靜電感應帶電
4. 理解在任何獨立物理過程中，電荷總量不會發生改
變
電的認知
1.電(electricity)的字義為希臘文琥珀(electron)，因為用毛皮摩擦過
的琥珀可以吸引很輕的小物體。
2.電荷的命名(富蘭克林,Benjamin Franklin)
 玻璃棒與絲絹摩擦，玻璃棒所帶的電稱為 正電 (Positively
Charged)
 塑膠棒與毛皮摩擦後，塑膠棒所帶的電稱為 負電
(Nagatively Charged)
 同性相斥、異性相吸
3.電荷守恆 charge conservation
 任何一個孤立的系統中，電荷的 總和 是不變的。
 不論是 物理變化 、 化學變化 或是 核反應 均成立
 當產生一個正電荷，必然產生一個負電荷，任何一個孤立系統
的總電荷量維持不變
導體、半導體、絕緣體及超導體
1.絕緣體 insulators：物質中的帶電質點無法自由移動稱為絕緣體
如：玻璃、橡膠、乾燥的木材
2.半導體 Semiconductors：導電性在導體與絕緣體中間的物體，
導電性可由外界因素而改變如：矽、鍺
3.導體 Conductors：物體中具有可自由移動的帶電質點稱為導體
 金屬：擁有 自由電子 電荷可以在物質內自由移動
 電解質水溶液：具有 正、負離子 而導電
 游離的氣體：具有 正、負離子 而導電
4.超導體 Superconductors:可視為完美導體，電子在材料中移動時
候沒有任何阻礙。
 指可以在在特定溫度以下，呈現電阻為零的導體。
 使超導體電阻為零的溫度，叫超導臨界溫度。
 零電阻和抗磁性是超導體的兩個重要特性。
圖 6-1 1748 年，班傑明·富蘭
克林將電荷分為「正」、
「負」，而且發現兩者的數
量是守恆的。1752 年，富蘭
克林進行了一項著名的實
驗：在雷雨天氣中放風箏，
以證明「雷電」是由電力造
成，更發明了避雷針。From
守恆定律是自然界最重要也
是最基本的定律，包括：
 物理範圍：能量守恆定
律、動量守恆定律 、
角動量守恆定律、電荷
守恆定律
 化學範圍：質量守恆定
律

4. 6-4 靜電學 Electrostatics
摩擦起電的現象
1.原子基本結構：質子、中子、電子
 當物體內質子與電子的數目相等時，則成 電中性 。
 若物體內質子與電子數目不相等時，則稱物體為 帶電
體 。
2.摩擦起電：電中性的兩物體互相摩擦時，原子獲得能量，使 自
由電子 從一物體轉移到另一物體(取決兩物體游離能的差異)
其中獲得電子者帶 負電 ，失去電子者帶 正電
兩者所帶的電量 相等 ，但電性 相反 。
範例：
玻璃棒與絲絹：電子從玻璃棒移到絲捐。
塑膠棒與毛皮：電子從毛皮移動到塑膠棒。
靜電感應(electrostatic induction)的現象
1.金屬導體：帶電體接近導體時，導體上靠近帶電體的一端會產
生異性電，相距較遠的一會端會產生同性電，這種正、負電荷
分離的現象稱為 靜電感應
2.絕緣體：帶電體接近絕緣體時，絕緣體上電子雖然無法自由移
動，離開原子的束縛，但仍會稍稍調整位置，使物體呈現 極
化 的現象
3.感應起電：利用 靜電感應 可使中性導體帶電，稱為感應起
電。
帶電體(正電)靠近 A、C 兩個互相接觸
的金屬球，會因為靜電感應的關係，
A 球右端出現負電荷集中的狀態、C
球左端出現正電荷集中的狀態。
帶電體保持原來位置，將 A、C 兩球
分離後，則 A 球、C 球各自帶不同電
性。
帶電體移走後，A、C 兩球電荷則呈現
平衡分佈。
+ -
+ -
+ -
+ -
++++++++++
導體
帶電體
圖 6-2 靜電感應
+++++++
絕緣體
帶電體
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
圖 6-3 絕緣體-極化

5. 6-5
靜電感應原理的應用：驗電器
1.基本構造
 上端金屬球以導體棒接於下端，下端則掛上兩片薄的金箔。
 待測物接近金屬球時，如果待測物帶電則會使金箔產生感應
2.用途
檢驗待測物是否帶電
說明：
待測物帶電接近金屬球時則會使金箔產生感應電荷金箔 張開
判別待測物所帶的電性。
說明：
當待測物與金箔互為異性電金箔張開角度變 小
當待測物與金箔互為同性電金箔張開角度變 大
3.總整理
帶電體靠近或接觸 帶電體的電性
驗電器不帶電
(金箔垂閉)
金箔將張開 帶電體帶電
金箔呈現垂閉 中性體
驗電器帶電
(金箔打開)
金箔張開角度
變大
帶電體與驗電器帶
同性電
金箔張開角度
先變小再變大
帶電體與驗電器帶
異性電
電荷量子化(電荷的不連續性)
1.電荷觀念的演進
2.源自十九世紀末，J.J. Thomson 與 H.A.Lorentz 的理論
3.1909 年在 Millikan 的油滴實驗中，發現每個油滴所帶的電荷都
有一個「最大公約數」
最大公約數是電荷的基本單位:
-19
1e.c 1.60 10= × (C)(庫侖)
電量的 SI 單位稱為 庫侖 ，記為 C 。
電流體
的觀念
法 拉 第
電 解 定 律
J.J. homson 的實驗
H.A.Lorentz 的理論
Millikan
油滴實驗
電荷的不連續性 電荷的量子性
證實
圖 6-4 金箔驗電器

6. 6-6 靜電學 Electrostatics
例題1：感應起電
一個輕而未帶電的金屬小球乙，用一絕緣線懸掛著，如右圖所
示。若將一帶電的金屬球甲靠近乙，則下列敘述何者正確？(A)
乙先被甲排斥，然後被甲吸引與甲接觸 (B)乙被甲吸引，然後一
直保持與甲接觸 (C)乙先被甲吸引接觸甲，然後被甲排斥離開甲
(D)乙被甲排斥，不可能碰觸甲 (E)乙不受影響，保持不動。【89
推甄】
答：C
題組
富蘭克林為研究雷電現象，設計了如圖 3 所示的裝置。他將避雷
針線路與接地線分開，並在分開處裝上帽形的金屬鐘 A 與 B，兩
鐘之間另以絲線懸吊一個金屬小球 C，A 鐘下方另以導線連接兩
個很輕的金屬小球，形成驗電器 D。當避雷針上空附近的雲不帶
電時，三個小球均靜止下垂。依據以上所述，並假設驗電器周圍
的空氣不導電，試回答 6-7 題。【98 學測】
1. 當低空帶電的雲接近避雷針頂端時，下列有關小球 C 的敘
述，何者正確？ (A)小球會保持靜止下垂，不會擺動 (B)小
球會在 A 與 B 間擺動，來回撞擊 A 與 B (C)小球會先擺向
A，撞到 A 後被 A 吸住，不再分離 (D)小球會先擺向 B，
撞到 B 後被 B 吸住，不再分離
2. 驗電器 D 的兩個小球原本靜止下垂，互相接觸。當避雷針因
為帶有負電的雲接近，而出現尖端放電時，下列有關驗電器
上兩個小球的敘述，何者正確？ (A)兩個小球會帶負電而
分離，並保持張開，不相接觸 (B)兩個小球會帶正電而分
離，並保持張開，不相接觸 (C)兩個小球會帶負電而分離，
在張開後會再次下垂，並互相接觸 (D)兩個小球會帶正電
而分離，在張開後會再次下垂，並互相接觸
範例 演練
AB
C
D
避 雷 針
接 地 線

7. 6-7
6.2 庫侖定律
學習目標
閱讀完這節，你應該能夠…
1. 知道庫侖定律只能適用質點或是可以被當成質點
的物體(ex.球體)
2. 說明兩個點電荷間相互作用力的量值與兩者距離、
兩者電荷電量的關係。
3. 應用向量解釋三個以上的電荷系統的電力總和
4. 應用庫侖定律解決力學-靜力平衡，等速率圓週運
動、簡諧運動的相關問題
庫侖定律 Coulomb's law
1. 1785 年，庫侖仿照卡文迪西扭秤實驗之方法確定電荷間的力與
距離的關係
與兩者電量乘積成 正比 ，與兩者間的距離平方成 反比
力的方向在兩者所連成的 連心線 ，為一種 連心力
異性電，為 吸引力
同性電，為 排斥力
圖 6-6 (a) 兩電荷為異性電，則靜電力為吸引力；(b) 兩電荷同為正電荷(同性
電)，則靜電力為排斥力；(c) 兩電荷同為負電荷(同性電)，則靜電力也為排斥
力
僅適用在 點電荷 或 球型帶電體
說明：若帶電體體積極大或不規則，則另一帶電體靠近時
候，電荷會重新分佈，導致兩者間的靜電作用力不滿足庫侖
定律 (大學電磁學範圍)
作用範圍：自原子核外之距離到無窮遠處均適用
2. 作用力大小：
1 2 1 2
2 2
0
1
4
q q q q
F k
r rπε
⋅ ⋅
= =
k 為一個常數，在真空中的值約為 8.99.0×109
N ∙ m2
/C2 1
說明：基於歷史因素-
0
1
4
k
πε
= ，其中，ε0 為真空中的電容率
Permittivity of free sapce
1
k 是庫倫常數 或 靜電常數，有些書本會寫 k=9.0×109
N ∙ m2
/C2
A B
F
r
q1 q2
(a)
F
A B F
r(b)
q2
F
q1
A B F
r(c)
q2
F
q1
+ + + ---
圖 6-5 夏爾·奧古斯丁·德·庫侖
（Charles Augustin de
Coulomb，1736 年－1806
年），法國物理學家、軍事
工程師、土力學奠基人
庫侖是法國的一位軍官，原
來是從事摩擦力和扭轉方面
的實驗研究，後來他轉而研
究電學，利用他發明的扭力
計來測量二個電荷之間的
力，1785 年證實了電荷間平
方反比的關係。

8. 6-8 靜電學 Electrostatics
空間有多重電荷時，單一電荷所受的力為合力，需用向量計算
庫倫靜電力向量 1 2 1 2
2 2
0
1
ˆ ˆ
4
q q q q
F k r r
r rπε
⋅ ⋅
= =

 
圖 6-8 電荷 q 的合力為 𝐹𝐹⃑1 + 𝐹𝐹⃑2 + 𝐹𝐹⃑3
庫侖靜電力與牛頓萬有引力的比較(侷限高中物理範圍)
1. 相同點：
 超距力，力的大小與 距離平方 成反比，均為 保守力
說明：
重力：重力位能
靜電力：電位能
遵守「力學能」守恆電位能+動能=定值
2. 相異點：
 庫侖靜電力因為物體 帶電 的特性造成，萬有引力因物體
具有 質量 的特性造成
 庫侖力有 吸引力 、 排斥力 ，萬有引力只有 吸引力
 庫侖靜電力的量值與帶電體所在的介質(環境)有關，而萬有
引力與物體所在的環境無關。(大學電磁學)
說明：電容率又稱為介電常數，會隨環境/介質而改變。
𝐹𝐹⃑1
𝐹𝐹⃑2
𝐹𝐹⃑3
𝐹𝐹⃑+Q1
+Q3
+Q2
𝐹𝐹⃑2
𝐹𝐹⃑1
𝐹𝐹⃑3
𝐹𝐹⃑
𝑞𝑞
r 距離 r
電力
r 距離 r
重力
圖 6-7 當年的實驗設備圖

9. 6-9
例題2：萬有引力與庫侖靜電力的比較-基本題
已知質子的質量為 1.7×10-27
kg 、電子的質量為 9.1×10-31
kg，則質
子與電子間庫侖力大小為其間萬有引力大小的幾倍？
Hint:請學會使用工程計算機，在大學的日子，你會快樂點^0^
解：
答：2.2×1039
倍
類題：兩點電荷分別為 q1=4×10−7
庫侖、q2=-2×10−7
庫侖，二者相
距 3 公尺，求受力大小？ 答：-8×10-5
牛頓
例題3：與靜力平衡的概念的結合
質量各為 m1、m2 電量各為 q1、q2 兩帶電球 A 與 B 分別以長 L 的
輕繩懸起，如右圖所示，球 A 可自由擺動，球 B 則固定不能運動:
求 (l)A 被 B 斥開的距離 x (2)A 所受之靜力 Fe (3)OA 繩之張力 T?
解：
答： 1 2 1 2 1
3 3 1
1 1
(1) (2) (3)
kq q L kq q L m g
m g
m g m g L
類題：如圖兩小球帶電量各為-q 與+q，當靜力平衡時二球相距
r，兩球質量均為 m，繩長 L 與鉛直線夾角為 θ，則 q 等於? 答：
tanmg
r
k
θ
⋅
類題：如圖所示，在一直線上有兩個點電荷。電量為
+4Q的點電荷固定於x = 5a，電量為-Q的點電荷固定
於x = 9a。將一點電荷+Q置於直線上何處時，此+Q電
荷所受的靜電力為零？(A) 3a (B) 7a (C) 11a
(D) 13a (E) 15a 【95學測】 答：D
範例 演練
θ
B
A
x
10a5a0 15a
+4Q -Q

10. 6-10 靜電學 Electrostatics
例題4：庫侖靜電力連結等速率圓週運動
電子以相同的軌道半徑繞 H+
與 He2+
原子核做等速率圓週運
動，求繞 He2+
的電子與繞 H+
的電子之(1)速率比 (2)週期比。
解：
答：(1) 2 ：1 (2)1： 2
類題：質量 m 及 2m 的 A、B 兩小球相距 r，各帶有 Q 及−Q 的電
量，繞其共同質心轉動，若重力不計，則 A 球的動能為 ？答：
r
kQ
3
2
例題5：庫侖靜電力連結 SHM
A、B 各為帶電量為 Q 的點電荷，固定不動且相距 2r，另一質量
m，電量 q 的點電荷在 AB 中點 C 沿 AB 線上作振幅 x 的 S.H.M，
且 x << r ，則其振動週期為何？
解：
答：
3
2mr
kQq
π
類題：圓環半徑為a，在軸線上距環心 3d a= 處有電荷Q，，若
環上帶電量為q，則(1)電荷Q受力多大？(2)若 x << a，電荷Q可
做週期運動，求其週期?答：(1) 2 2 3/2
( )
kQqx
F
a x
=
+
(2)
3
2
ma
T
kQq
π=

11. 6-11
6.3 電場與電力線
學習目標
閱讀完這節，你應該能夠…
1. 解釋在電場中的任意位置，放置一個小型測試正電
荷，電場與靜電力之間的關係
2. 計算在環繞帶電粒子周遭空間中的任意位置的電
場大小及方向
3. 瞭解電力線，包含從哪裡開始，到哪裡結束及如何
表示
4. 瞭解電力線疏密程度不同，電場強度就不相同
5. 瞭解靜電平衡的意義
6. 瞭解帶電平行板形成均勻電場
7. 應用帶電平行板的特性，驗證帶電粒子在均勻電場
中的運動模式
電場 Electric Field，符號 E
1.物理意義：
 帶電體(可以是帶電粒子，或是帶電金屬板)其靜電力所能到
達的作用範圍成為 電場 。
 任何帶電體都會在空間中建立自己的電場，此時該帶電體稱
為 場源
 「場」概念提出者： 法拉第
2.電場強度：在某一空間中，放置一單位正電荷(或稱測試電荷)，
若此電荷受到電力 F 作用，則該位置的單位正電荷 q 所受到的
靜電力，稱為該位置的電場強度。
F
E
q
=


單位：牛頓/庫侖
 電場是向量場，具有方向性，以 測試電荷(正電荷) 受力方向
為該處電場方向
說明：
 空間中某位置的電場強度及性質只和場源有關，與放入的電
荷量值及電性 無關。
舉例：在該處放置 q 或 2q，該處電場E��⃑依然是不變。
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
F
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
E
P
P
圖 6-9 電場與電力之間的關係
上圖：帶正電的測試電荷放在帶電
物體附近的 P 點上，可知靜電力 F
作用在測試電荷上
下圖：可視為帶電物體在 P 點上產
生的電場 E

12. 6-12 靜電學 Electrostatics
電場線 Electric Field Lines 又稱 電力線 Line of Electric Force
1.1840 年前後，法拉第(Michael Faraday)提出電力線模型以模擬
電場的概念。
說明：將空間中彼此鄰近、而電場方向相同的各點連接起來的
曲線或直線即為電力線
2.性質
電場本身是肉眼無法看到，因為他不是物質，是一種抽象的
物理概念
電力線被用來解釋電場分佈的最佳方法，並非真實存在的線
條-描述 庫侖靜電力的作用的方向、範圍
 電力線由 正 電荷出發，終止於 負 電荷，但屬於 非
封閉曲線
圖 6-12 空間中同時具備正、負電荷的電場(電力線)分佈圖。
在電力線上各點的切線方向為該點的 電場方向 ，
電力線不一定為電荷在電場中的運動軌跡。
電力線不會相交，空間中同一位置的電場方向只能有一個
電荷所發出或終止的電力線數量於其電量成正比關係
說明：電力線越密集代表電荷電量越 大 ，該電荷造成的電
場強度也越大
電力線 垂直 帶電導體表面。
PhET Exploration 電荷與電場
短網址：https://goo.gl/Su56q9
圖 6-10 法拉第肖像圖，法拉第
提出出力線（line of force）概
念，認為電荷和磁極周圍充滿了
力線，靠力線(包括電力線和磁力
線)將電荷(或磁極)聯繫在一起；
這概念就是場的觀念，並藉此來
解釋靜電力的超距作用（action
at a distance）
圖 6-11 2q 與-q 電荷的之間電力線

13. 6-13
點電荷 Q 建立的電場
1.數學定義：點電荷 Q 在距離 r 處的電場 2
F kQ
E
q r
= ⇒


單位：牛頓/庫侖
3.性質
 點電荷的電場強度與點電荷的 電量 成正比並與 距離平
方 成反比
 若 Q 為正電荷，產生的電場其方向指向外電場向外 發散
 若 Q 為負電荷，產生的電場其方向指向內電場向內 收斂
 電場強度是電荷自身所建立的性質，與是否有其他電荷存在
無關 。
例題6：電場的向量性質
邊長為 d 的正四邊形，其四個頂點各置點電荷 －q、q、2q 及 q（如
圖所示），則四邊形中點 O 處電場之量值為______（以 q，d 及庫
侖定律比例常數 k 表示之）。
解：
類題：如下圖所示，正三角形 ABC 之各邊長為 a，P 為重心。若
在頂點 A、B、C 各置一電量均為 q 之電荷，則 P 點之電場之量值
若干？?
r
距離 r
電場
範例 演練
2q
q -q
q
圖 6-13
上圖：正電荷電場呈現發散
下圖：負電荷電場呈現收斂

14. 6-14 靜電學 Electrostatics
例題7：環狀物體的電場計算
半徑為 a 的金屬圓環，均勻分布電荷於環上，其電量為 Q。試求
(1)垂直於環面通過環心的線上，距環心為 r 處之 P 點的電場。
(2)若 r >> a，則結果為何？
(3)在環中心 C 點處的電場。
(4)若 r << a，將電量為－q（與 Q 異號）、質量為 m 的質點由 P 點
釋放，則其作簡諧運動的週期為何？
解：
答：
3
2 2 3/2 2
(1)E= (2) (3)0 (4) 2
( )
kQr kQ ma
E T
r a r kQq
π= =
+

15. 6-15
均勻帶電的無限大金屬平板
1.無限大均勻帶電的平板在其周圍所產生的電場量值為「定值」
和 位置 無關
說明：電場的量值和平板上 電荷面積密度σ 成正比：
4
2
2
kQ
E k
A
π
π σ= =
圖 6-14 左：均勻帶正電的金屬平板的電場/電力線示意圖。
右：均勻帶負電的金屬平板的電場/電力線示意圖。
均勻帶電的雙平行金屬板間的電場
1.電場僅存於兩平行電板之間的區域，為 均勻電場 （理論），
平行電版外側無任何電場。
且電場強度： 4E kπ σ=
說明：
2.帶電質點在均勻電場中的運動
說明:
置入一帶電質點 q，若不考慮其重力，故其必為等加速度運
動，運動軌跡為直線或拋物線，如下圖所示。
加速度： .
F qE
a const
m m
= = =
圖 6-15 平行帶電板的實際電
場分佈圖。平行電版邊緣的電
場並非穩定值，而是在平行電
版中央區域才可以視為均勻電
場
+ + + + + + + + + + + + + + +
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
圖 6-16 帶電質點在均勻電場中
的運動

16. 6-16 靜電學 Electrostatics
3.帶電平行金屬板應用
 噴墨印表機噴頭
例題8：均勻電場的靜力平衡-基礎題
如右圖，質量為 m 的帶電小球，以長為 L 的絕緣細線懸吊於均勻
電場 E 內。小球平衡時，細線與鉛垂方向成 37°角，小球所帶電
量為何？
解：
答：
3
4
mg
E
類題：帶等量異性電的二平行金屬板，板面鉛直而立，在二板間
以絕緣細線懸吊一質量 m，帶電量+q 的小球，發現絲線與鉛直線
之夾角為 θ，則二板間的電場強度大小為何? 答：
q
mg θtan
範例 演練

17. 6-17
例題9：電荷在均勻電場的運動-直線等加速度運動-標準題
真空匣內有一對平行金屬板帶等量異性電荷相距 d，兩板間的電
場強度 E，有質量 m 的質點帶有電量–q，自靜止離開負板飛越兩
板空隙抵達正板，設不考慮重力作用，求：(1)抵達正板時的動
能？ (2)抵達正板時的動量大小？ (3)抵達正板時的速度大小？
(4)由負板到正板歷時若干?
答：(1)qEd (2) mqEd2 (3)
m
qEd2
(4)
qE
md2
類題：一質子與一 α 質點同時均勻電場的正極板由靜止釋放，在
不計重力及空氣阻力的影響下，求兩者 (1)在板間所受電力大小之
比？ (2)在板間加速度大小之比？ (3)抵達負極板時速率之比？
(4)在板間所經歷時間之比？答：(1) 1 : 2 (2)2 : 1 (3) 2 : 1 (4)1: 2
類題：兩荷等量異性電荷之平板間，H+
與 H+
皆由靜止起動自正板
向負板運動，則 (A)二者於運動期間所受電力大小為 1 : 1 (B)加
速度大小為 4 : 1 (C)到達負板瞬間動能比為 1 : 1 (D)運動中所受
衝量大小比為 1 : 2 (E)達負板所需時間比為 1 : 2。 答：全

18. 6-18 靜電學 Electrostatics
例題10：電荷在均勻電場的運動-拋體運動-標準題
如圖所示，一質量為 m、電量為 +q 之質點，以速度 v0 沿 x 軸射
入長度為 L，內部電場為 E 的平行電板中。平行電板所帶的電量
相等但電性相反，若忽略重力的影響，則
(1)質點的加速度為何？
(2)在電場中的運動歷時多少？
(3)當其自平行板射出時的 y 坐標為何？
(4)承上題，質點獲得多少動能？
解：
答：
2 2 2 2
2 2
0 0 0
(1) (2) (3) (4)
2 2
k
qE L qEL q E L
a t y E
m v mv mv
= = = =
類題：如圖所示，設兩個水平平行金屬板中的電場為 E，兩板距
離為 d，板長為 L。一個質量為 m、電荷為 q（q>0）的粒子，以
水平方向射入兩板之間，且剛進入電場區域時，與兩板等距離。
如果不考慮重力，為了使粒子在運動中不至於撞到金屬板，其初
速率至少需為__________。 答：
qE
L
md
d
L
q

19. 6-19
例題11：均勻電場的力學能守恒
質量為 m 的帶電小球，以長為 的絕緣細線懸吊於垂直水平面的
兩平板之間。平行板內有一均勻電場（垂直板面），強度為 E。小
球平衡時，細線與鉛垂方向成θ （如圖），此時細線的張力為 T。
若將小球移至使細線與鉛垂方向成ϕ 角，然後將小球由靜止釋
放，小球擺至最低點 O 時，速度恰為零，則下列敘述何者正確？
(A)小球帶正電
(B)小球所帶電量為 tan
mg
q
E
θ= ，g 為重力加速度
(C)張力 sin cosT mg qEθ θ= + 。
(D)若ϕ 角為 600
，則θ 角為 300
(E) 小球擺至最低點 O 時，加速度值為零。
答：ABD
m

20. 6-20 靜電學 Electrostatics
靜電平衡 electrostatic equilibrium
1.一孤立導體帶電後，其最後淨電荷互相排斥而分布於導體表面
稱為 靜電平衡
說明：
當導體處於靜電平衡時，導體內部的電場必定為 零 ，內部
無電力線，不然導體內的自由電子將會繼續受力作用。
電荷在導體表面上的電場(電力線)方向必 垂直表面 ，不然
自由電子在依然沿導體表面移動。
帶電實心導體球或帶電金屬球殼-電量為 Q，半徑為 R 的金屬球
1.球體外側(r > R)： 2
Q
E k
r
=
電荷均勻分佈在球殼表面視為 點電荷
2.球體表面： 2
Q
E k
R
=
3.球體內部( r < R)  0E =
說明：內部無電荷，故無電場
圖 6-17 達成靜電平衡的帶電導體，
電荷分佈在導體表面上，導體內部
電場=0
圖 6-18 實心導體球的電場分佈

21. 6-21
例題12：同心球殼的電場
電中性的金屬球殼內外半徑各為 R1 和 R2，今在其球心處置一點
電荷+Q，如圖所示，則
(1)在 A、B、C 各點處的電場強度為何？
(2)若將球殼接地，則各點的電場強度又為何？
答：(1) 2 2
( ) 0A B C
A E
kQ kQ
E E
r r
= = =發散 E (2)
2
0A B C
C
kQ
E E
r
= = =E
類題：兩個同心的空心金屬球半徑各為 R1、R2(R1<R2)，小球
帶電量-Q，大球帶電量 Q，彼此絕緣，請依下列條件求距球
心 r 處的電場大小？(1) r < R1 (2)R1 < r < R2 (3) r >R2
答：(1)0 (2) 2
kQ
r
(3)0
範例 演練
R1
R2
A
B
C

22. 6-22 靜電學 Electrostatics
例題13：感應電場
一不帶電之中空金屬球殼外徑為 R，中心位於 O 點。今在球殼外
距球心距離為 d 處放置一點電荷−Q（Q>0），則金屬球上會產生
感應電荷（如右圖所示）。所有感應電荷在球心 O 點處產生之電
場其量值及方向為：(A) 2
R
kQ
，方向向右 (B) 2
R
kQ
，方向向左 (C)
2
d
kQ
，方向向左 (E)0。 【82 日大】 C
科學小故事：靜電屏蔽electrostatic shielding- How Faraday Cages Work
表演時先請幾位觀眾進入籠體后關閉籠門，
操作員接通電源，用放電杆進行放電演示。
這時即使籠內人員將手貼在籠壁上，使放電
杆向手指放電，籠內人員不僅不會觸電，而
且還可以體驗電子風的清涼感覺。
R
O
d
−

23. 6-23
6.4 電位能、電位、電位差
學習目標
閱讀完這節，你應該能夠…
1. 瞭解靜電力是保守力並且靜電力做功會導致位能
產生變化。
2. 瞭解電位能、電位的定義及相互關係。
3. 在已知電場中，電荷從最初位置移動到最後位置，
應用兩位置之間的電位差、電荷電量、電位能變化，
及靜電力做功的相互關係
4. 瞭解等位線並能描述它與電力線之間的關係
5. 依據電場方向判斷電位是降低或是升高
6. 從電場-位置關係圖，計算某個位置區間的電位差
7. 轉換焦耳與電子伏特兩種不同的能量單位。
電位能 Electric Potential Energy
1.意義：靜電力為保守力，因此電荷在電場中就具有電位能，而移
動電荷位置所產生的能量變化，可視為電場對電荷作功
2.電位能的一般式(點電荷的電位能)
定義：將電荷 q，從無窮遠處(零位能)緩慢並且均速移動至場
源 Q 的距離 r 時，靜電力所做的功的負值就是電位能。同
時，也可稱外力反抗靜電力所需作的功稱為該電荷在該處的
電位能。
e
kQq
U
r
=
說明：
令無窮遠處的電位能當零
根據功能原理：施外力 F 使電荷 q 從無窮遠處等速移動到距
離 r 處外力抵抗庫侖靜電力作功
r∆
2
kQq
W r
r
∆= ⋅∆
F

24. 6-24 靜電學 Electrostatics
3. 性質
位能是兩物體或兩帶電體是 共同擁有 ，缺一不可
系統的電位能是可以累加的（因為位能是純量）。
2 3 3 11 2 kq q kq qkq q
U
r r r
= + +
在無窮遠處時，電位能為 零 ，且都與 距離 成反比
電荷在電場中移動時，其電位能變化與 移動前後的位置
有關，與 路徑 無關
例題14：點電荷的電位能-基礎題
點電荷 Q 帶電量 2×10−4
庫侖，另一點電荷 q 帶電量 4×10−3
庫
侖，求二者相距 r=3 公尺時之互斥力？及電位能？
解
答：(1) 800 牛頓 (2) 2400 焦耳
類題：在一正方形 ABCD 各角上分別有+q、+q、-q、-q 的點電
荷，而正方形邊長為 a，則(1)四電荷間的總電力位能為何﹖(2)
將Ａ點的電荷移到無窮遠處至少需作功若干﹖答：
2
2kq
a
− ,
2
2
kq
a
類題：在 A、B 兩點各固定一個電子，設此兩個電子的電位能為
U1，今引入另一電子至 A、B 中點，而這三個電子的總電位能為
U2，則 2
1
U
U
為若干？ 答：5
範例 演練
q
2
q1
q
3
圖 6-19 系統電位能是可累加的

25. 6-25
例題15：帶電質點系統的力學能守恆、動量守恆
設原子核質量 M，帶電 Q，在距其極遠處，一帶電質點質量 m，
帶正電 q，以初動能 Ek 向 M 做正向碰撞。(1)假設只有庫侖力作
用，求兩者最近距離，設原子核恆靜止；(2)若原子核原為靜止，
但可自由移動，則又如何？
解：
答：(1) (2)
k k
kQq m M kQq
E M E
+
⋅
類題錯誤! 找不到參照來源。-1：A 和 B 兩質點各帶有電量+2.0×10-
6
C 和-5.0 × 10-6
C，彼此相距 5.0 m。今將 A 質點固定，B 質點由
靜止釋放，當兩者相距 2.0 m 時，則 B 質點的動能為何？
類題錯誤! 找不到參照來源。-2：具有動能 5.0×10−19
J 的 α 質點
自無窮遠處正面射向一原為靜止的質子，當兩者相距最近時，求
(1)總動能(2)電位能(2)兩者速度(3)相對於質心的總動能 (4)此最小
距離為若干？答：(1) 4×10−19
J (2) 1×10−19
J (3) 均為 9.8×103
m/s
(4) 0 (5) 4.6×10−9
m
類題錯誤! 找不到參照來源。-3：總電量 Q 均勻分佈於一半徑為
R 的固定圓環上，今將一帶有 q 電量的質點 A，以 v0 的速率由環
心 O 垂直於環面向 E 射出（如圖），q 與 Q 符號相異，質點 A 沿
OE 軸運動時可達的最遠點為 P，而 OP=√3𝑅𝑅 (a)質點 A 從 O 向
E 射出時，速率最小要若干，才可達無限遠處？(b)今將質點 A 改
為一質量相同，但電量為-q 的另一質點 B。當質點 B 從 O 處，
由靜止狀態逐漸加速向 E 運動時，試求它到達 P 點時的速率。
答：(a) √2𝑣𝑣0；(b)v0
PR
O E

26. 6-26 靜電學 Electrostatics
例題16：靜電系統的力學能守恆＆動量守恆
兩點電荷，荷電量各為 +Q 與 +q，質量各為 M 與 m，兩者原
相距 r，由靜止釋放，當兩者相距 2r 時，兩者的動能各為何?
解：
類題錯誤! 找不到參照來源。-1：質量比為 1：2，荷電量分別為
q1 及 q2 之正負質點 A 與 B，自甚遠處由靜止起動，受電力作用相
吸，當它們運動至相距 r 時，A 質點所具動能為何？ 答：
1 22
3
kq q
r
類題錯誤! 找不到參照來源。-2：帶正電荷的甲、乙兩粒子，質
量分別為 m1、m2，電荷分別為 q1、q2，被置於 x 軸上，距離為
d。今若同時讓這兩個粒子由靜止釋放，重力影響不計，則乙粒
子最後的速率為__________。 答： 1 2 1
1 2 2
2
( )
kq q m
d m m m+
例題17：類原子結構的帶電質點系統的能量關係
在單電子離子中(原子序 Z)，設電子繞核以半徑為 r 作等速率圓周
運動，電子電量以 e 表示，求：(1)電子的動能(2)系統的位能 (3)
系統的力學能(4)電子的游離能(束縛能)
答：
2 2 2 2
(1) (2) (3) (4)
2 2 2
ke ke ke ke
r r r r
− −
這類型題目和第七章非常類
似，包含束縛能、脫離能等
等的題目都需要大家多練
習；
最大的不同在於電荷有正負
之分，這和重力位能中的題

27. 6-27
電位(Electric Potential)
1. 定義：在電場中，將單位正電荷由無窮遠處等速移至電場中某
點，外力抵抗靜電力所作之功，即為該點的的電位：
( ) eU
V r
q
= 單位：J/C=V（伏特）
說明：
在電位能的式子中，如果我們將 q 視為單位正電荷（＋1 庫
侖）
這和前面討論電場時的方法一樣
不論該處是否有電荷 q 存在，都分布了一個純量的物理量
1( ) ( )
( ) ( )q CkQq U r kQ
U r V r
r q r
=
= → = =
結論：可看成場源電荷 Q 形成一個純量形式的物理量，因此當
場源變成均勻帶電金屬板時，也會形成電位
2.性質
 電位是純量，可為 正 、 負 或 零 也是 相對量 ，
因此必須先定義零電位。
說明：
由點電荷造成的電場，無窮遠處的電位可視為 0
由帶電均勻金屬板造成的電場，負電荷處的電位可視為 0
 電荷自然移動方向：朝電位能減少的趨勢移動
說明：
正電荷：由 高 電位移動 低 電位
負電荷：由 低 電位移動 高 電位
電子伏特 electron volt-eV
微觀狀態的電位能單位-

28. 6-28 靜電學 Electrostatics
3. 帶電荷 Q 並呈現靜電平衡的金屬球(半徑 R)的電位
 球體外：
kQ
r R V
r
≥ =
 球體內： E=0
kQ
r R V
R
< = =定值
說明：
靜電平衡時，電荷不會移動，故導體內部電場為零，因此電荷
均勻分佈在導體表面，代表導體內部不存在電位差，也就是說
導體內部應該是等電位的
等位線/面(Equipotential Line/Surface):
1.定義：將鄰近及相等電位的點連成線或面，非真實存在的線或
面
2.性質：
 彼此不相交、不相切
 與電力線的切線方向垂直
 等位線的分佈與帶電體形狀有關
圖 6-20 點電荷造成的等位線(虛線)、電力線(實線) 右圖：電偶極造成的等位線(虛線)、電力線(實線)

29. 6-29
圖 6-21 均勻帶電金屬板產生的電場，將使等位線均勻分佈
例題18基礎題
起電器上產生的 10−9
庫侖之電荷，會使半徑 10 公分之絕緣導體
球的電位升若干伏特？
解：
答：90V
類題：一半徑為 0.5 公尺 的金屬球體，置於乾燥空氣中，充電於
其上使電壓達 60 萬 伏特而無放電現象產生，則此球的帶電量為
何？答：3.3×10−5
庫侖
範例 演練

30. 6-30 靜電學 Electrostatics
例題19多點電荷的電位及能量
如圖所示，正三角形 ABC 之各邊長為 a，P 為重心。若在頂點 A、
B、C 各置一電量均為 q 之電荷，則(1)P 點之電位若干？(2)若 P 點
有一靜止電荷 Q，則 Q 脫離 P 點而遠走時，其動能最大為若干？
類題：二點電荷+q 與−q 相距 2d，求：(1)在二電荷連線的中垂線
上，距連線中心點為 r 處的電位？(2)距二者連線中點距離 r 之延
長線之一點較靠近−q 之電位？ (3)若 r >> d，則(1)與(2)之答案又
各為何？ 答：(1) 0 (2) 22
2
dr
kdq
−
−
(3) VA=0， VB= 2
2
r
kdq−
例題20：特殊形狀物體的電位計算
有一均勻帶電的圓環，半徑為 R，其總電量為 Q。求(1)在此中垂
軸上距環面為 x 處(2)環心處 (3)距環心甚遠處的電位各若干?
答： 2 2 1/2
(1) (2) (3)
( )
kQ kQ kQ
R x R x+

31. 6-31
電位差(Electric Pontential Difference)
1.定義：在相同電場中，任兩點的電位的差值
2 1V V V∆ = −
2.物理意義：在相同電場中，將單位正電荷由 A 點等速移至另一
B 點，外力抵抗靜電力所作之功，即為 A、B 兩點間的電位差
ΔV
3.點電荷電場中的電位差： ( ) ( )
1 1
A B
A B
V V r V r kQ
r r
 
∆= − = − 
 
說明：在某處放置一個電荷 Q，則由電位的公式可知
SA 電位為
A
kQ
r
、SB 電位為
B
kQ
r
在 SA 上的任一點與 SB 上的任一點之間存在 電位差
4.均勻電場中(兩平行帶電金屬板)的電位差
說明：
正電荷 q 從高電位落至低電位電位降低 V E d∆ =− ⋅

當電場 E 為定值電壓 V 大小與間距 d 成正比
當電壓 V 為定值電場 E 大小與間距 d 成反比
rA
rB
A
A
Q
V k
r
=
B
B
Q
V k
r
=
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-

32. 6-32 靜電學 Electrostatics
5.電位差的性質
 只需要考慮兩點之間的位置，不考慮移動的過程與路徑
 任兩點之間若存在電位差(電壓)電荷放置其間一定會 移
動
兩點之間也存在 電場 驅使電荷移動移動過程中， 能
量 也會改變
 反過來說：若無電位差，則電荷呈現 靜電平衡 狀態
6.電位差的應用
電子學、電路學、電力學、電機學之基礎：電流來自電位差
電力學：探討大電流(強電), 高功率的電路為主的科學，電力
領域分成電力系統、電機機械及電力電子等三大領域, 並大量
地應用於發電、供電、輸電、配電、電能轉換、電力使用及
電力轉換器等相關技術。
電路學：以克希荷夫定律（Kirchhoff's rules）為基礎，探討電
子元件之「電壓」與「電流」關係。
電子學：作用於包括主動電子元器件，例如真空管、二極
體、三極體、積體電路，和與之相關的無源器件電路的互連
技術。
補充說明：以上學門並沒有誰包含誰的順序問題，而是人類
科學文明發展過程中必然出現的分支，是可以互相支援。
生物科學：動物細胞的內部與外部處於不相等的電位，這是
因為細胞內外液體中不同的離子濃度
神經脈衝(nerve impulse)：沿軸突(Axon)傳播(Na+離子濃度的
不同而造成)
圖 6-22 神經元結構 、作用電位 From 網路/From Google Search
大學普物的觀點
配合微積分(數學觀點)，
電位為電場對路徑的積分
結果電場可視為電位對
路徑的微分結果
說明
根據定義可得電位能
所以：

33. 6-33
醫學：心電圖(ElectrocardiographyEKG)
說明：
心臟生物電由心臟竇房結産生，在心臟內按一定的路徑和時程
傳播，引起心臟有節律的活動，完成心臟的生理功能。
圖 6-23 From Google
例題21：靜電平衡概念-標準題
A 與 B 兩荷同性電之金屬球其電位分別為 V、5V，將其接觸後二
者電位皆變為 4V，求此二金屬球 A 與 B 的半徑比。
Hint：導體上的電荷不再移動，代表該導體上電位處處相等
答：1:3
類題：帶電量 Q 的水銀球，分離成三顆水銀珠，半徑比為 1:2:3，
求(1)各球表面的電位比(2)電荷密度比(3)電場強度比(4)帶電量比
答：(1)1:1:1 (2)6:3:2 (3)6:3:2 (4)1:2:3
範例 演練

34. 6-34 靜電學 Electrostatics
例題22：電位差與靜力平衡
質量 m 的油滴恰在板距 d、電位差 V 的平行金屬板間靜止不
動，則油滴帶電量為？
解：
答：
mgd
V
類題：如圖，A、B 為兩個水平放置的平行帶金屬板，兩板間距
離為 d。板間有一正電荷質量 m、電量 q，處於平衡狀態，則兩
板間電位差及電位高低為：答：
mgd
q
，VA < VB
例題23：均勻電板的電位差
如圖所示，兩片帶電量相等、電性相反的平行金屬板，相距 d。
已知兩板中電場為 E，若忽略重力的影響，則(1)兩板間電位差為
何？(2)一電荷 q 由靜止開始自上板向下板運動，到達下板時的動
能為何？
解：
類題：有兩大平行金屬板，相距 10 公分，分別載有等量而電性
相反的電荷，若一電子位於兩板間之中央位置時，受力恰為
3.2×10−16
牛頓，則兩板間之電位差為？答：200V
類題：兩板間電位差 200 伏特，相距 10 ㎝，則(A)板間電場
2.0×104
N/C (B)Vab=600 伏特 (C)Vac=800 伏特 (D)將
q=−3×10−2
C 之電荷自 a→b→c 需作功 24 焦耳 (E)同(D)由 a→d
需作功 24 焦耳。答：ACDE
a
b
c
d
3㎝
4 ㎝
4㎝